2022-2023學年河南省商丘市名校高二年級上冊學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（A）【含答案】

2022-2023學年河南省商丘市名校高二上學期期中聯(lián)考（A）數(shù)學試題一、單選題1．直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線的一般式化為斜截式即可求解.【詳解】由，化為斜截式得，所以直線的斜率為.故選：B.2．雙曲線的焦點坐標為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的方程確定焦點的位置和的值，進而得到雙曲線的焦點坐標，得到答案.【詳解】方程可化為，所以雙曲線的焦點在軸上，且，，所以，所以雙曲線的焦點坐標為，．故選：D．3．直線與直線的交點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立兩直線的方程,解方程組即可求出交點坐標.【詳解】聯(lián)立兩直線的方程，得即交點坐標為.直線與直線的交點坐標為.故選:C4．到直線3x－4y＋1＝0的距離為3，且與此直線平行的直線方程是()A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C．3x－4y＋16＝0D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0【答案】D【詳解】在直線3x－4y＋1＝0上取點(1,1)．設(shè)與直線3x－4y＋1＝0平行的直線方程為3x－4y＋m＝0，則，解得m＝16或m＝－14，即所求直線方程為3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.選D5．已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】判斷出圓心的軌跡，從而求得圓心到原點的距離的最小值.【詳解】依題意，半徑為2的圓經(jīng)過點，所以圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為.故選：B6．已知圓的直徑為4，則（

）A． B． C．圓心為 D．圓心為【答案】D【分析】將圓轉(zhuǎn)化成標準方程，由直徑求出，判斷選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，其半徑為，若其直徑為4，則，解可得，故選：D．7．直線l過點與圓C：交于兩點且，則直線l的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】將圓的方程化為標準方程，確定圓心和半徑，考慮直線的斜率是否存在，分類討論，結(jié)合弦長和點到直線的距離公式，即可求得答案.【詳解】將圓C：的方程化為，則圓心C的坐標為，半徑為2.當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為時，代入圓的方程得，解得，此時，符合題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由，得圓心C到直線l的距離為，故，解得，故此時直線的方程為，即，綜上可得，直線l的方程為或，故選：D.8．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（

）A．16 B．25 C．36 D．16或36【答案】C【分析】將圓化成標準方程，求出圓心和半徑，由題可判斷兩圓內(nèi)切，結(jié)合圓心距等于半徑差可求.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑為1，圓，圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，若兩圓有且僅有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，則有，又由，解可得，故選：C．9．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點（不妨設(shè)為橢圓右焦點）的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章，設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁B．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小C．衛(wèi)星向徑的取值范圍是D．衛(wèi)星在右半橢圓弧的運行時間大于其在左半橢圓弧的運行時間【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)和面積守恒規(guī)律，依次判斷每個選項得到答案【詳解】衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，即越小，則e越大，橢圓軌道越扁，故A正確；因為運行速度是變化的，速度的變化服從衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星在近地點時向徑最小，故速度最大，在遠地點時向徑最大，故速度最小，故B正確；由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點到右焦點的距離，所以最小值為，最大值為，故C正確；當衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時，對應的面積更大，根據(jù)面積守恒規(guī)律，速度更慢，所以運行時間大于在右半橢圓弧的運行時間，故D不正確，故選：D．10．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點M，N在C上（M位于第-象限），且點M，N關(guān)于原點O對稱，若，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易判斷四邊形是矩形，設(shè)，由勾股定理得，求得結(jié)合橢圓第一定義得與關(guān)系，進而得解.【詳解】∵四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴．故選：B11．已知分別為雙曲線的左，右頂點，點P為雙曲線C上異于的任意一點，記直線，直線的斜率分別為．若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由斜率定義求出，得，結(jié)合化簡，得的齊次式，進而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，∴，又，∴，故，即．故選：C．12．已知拋物線的焦點為F，直線的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于點A、B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若，則以下結(jié)論不正確的是（

）A． B．F為的中點C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，求得兩點的坐標，根據(jù)求得，求得點的坐標，從而確定正確選項.【詳解】依題意，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，解得，所以，所以，A選項正確.直線的方程為，令，則，故，由于，，所以是的中點，B選項正確，，，，C選項正確，D選項錯誤.故選：D二、填空題13．直線l的一個方向向量為，則它的傾斜角為______．【答案】##【分析】根據(jù)直線的方向向量可求出直線的斜率，進而根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】解：設(shè)直線l的傾斜角為，因為直線l的一個方向向量為，所以直線l的斜率，又因為，所以．故答案為：.14．已知直線l：x＋y＝0與雙曲線無公共交點，則雙曲線C離心率e的取值范圍為_______．【答案】【分析】雙曲線的一條漸近線方程為，由直線與雙曲線無公共點，得，進而可得答案．【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因為直線與雙曲線無公共點，所以，即，所以，又，所以離心率的取值范圍為，故答案為：15．已知圓，圓，M、N分別是圓上的動點，P為x軸上的動點，當P點橫坐標為時取得最小值，則此時______________．【答案】【分析】分別求出圓心半徑，求出點關(guān)于x軸的對稱點為，則，則，由兩點距離公式求出，同時求出方程，進而得到，得解.【詳解】的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4．如圖所示，設(shè)點關(guān)于x軸的對稱點為，則．，而，所以的方程為：，即，所以，此時．故答案為：16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓上一點，滿足(O為坐標原點)．若，則橢圓的離心率為______．【答案】##【分析】由可得，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得為直角三角形，由題意設(shè)，則，由勾股定理可得，再結(jié)合橢圓的定義可求出離心率【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以為直角三角形，即，所以設(shè)，則，所以，得，因為則，所以，所以，即離心率為，故答案為：三、解答題17．在平面直角坐標系中，.(1)若三點共線，求的值；(2)若，求外接圓圓心坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出的值；（2）求出線段，的垂直平分線方程，再求它們的交點，即為圓心坐標.【詳解】（1）三點共線，則即，所以（2），即，則線段垂直平分線方程為，中點為，線段垂直平分線方程為即，兩條中垂線交點坐標為，所以外接圓圓心坐標為18．已知拋物線的焦點為.（1）求.（2）斜率為1的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.【答案】（1）4；（2）16.【解析】（1）由題可得，即可求出；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出.【詳解】（1），則由拋物線性質(zhì)得，∴，∴，即的標準方程是.（2）由題意得，拋物線的焦點為，∴的方程為，，，，，，∴.綜上所述，線段的長度為16.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.19．已知雙曲線的方程為：，直線.（1）求雙曲線的漸近線方程、離心率；（2）若直線與雙曲線有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】⑴，；⑵.【分析】（1）由雙曲線方程求得，利用漸近線與離心率公式可得結(jié)果；⑵設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用判別式大于零列不等式可得結(jié)果.【詳解】⑴由得，∴雙曲線的漸近線方程為和，∴，∴雙曲線的離心率為⑵把代入雙曲線得由得解得.【點睛】本題主要考查雙曲線的方程，漸近線、離心率，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．20．已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標原點）【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【詳解】（1）解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為．（2）解：當直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當直線的傾斜角不為時，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當且僅當時取等號，即面積的最小值為；21．已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.(1)求圓M的方程；(2)設(shè)P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標.【答案】(1)；(2)證明見解析，定點和.【分析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出圓心坐標，再結(jié)合點到直線距離公式計算作答.(2)設(shè)點，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點.【詳解】（1）因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.（2）由(1)知：，設(shè)點，，設(shè)動圓上任意一點當與點P，M都不重合時，，有，當與點P，M之一重合時，對應為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設(shè)條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．22．如圖，橢圓經(jīng)過點，且長軸長是短軸長的倍．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、（均異于點），求證：直線與的斜率之和為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，