上海錢庫高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

上海錢庫高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合，，則（

）A．(4,+∞)

B．(－∞,1]

C．(1,4]

D．(2,4)參考答案：C因?yàn)椋?，因此，故選C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：由，得=．∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，是第一象限的點(diǎn)．故選：A．3.函數(shù)y=的值域是(

)A．（﹣∞，4） B．（0，+∞） C．（0，4] D．[4，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域．【專題】計(jì)算題．【分析】本題是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求其值域可以分為兩步來求，先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再求函數(shù)的值域，內(nèi)層的函數(shù)是一個(gè)二次型的函數(shù)，用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域，外層的函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，和指數(shù)的性質(zhì)求其值域即可．【解答】解：由題意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2∴y=≤=4∴0＜y≤4故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的定義域和值域、定義及解析式，解題的關(guān)鍵是掌握住復(fù)合函數(shù)求值域的規(guī)律，由內(nèi)而外逐層求解．以及二次函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．4.(理科)已知滿足不等式設(shè)，則的最大值與最小值的差為（）

A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：A5.若，且，則下列不等式中，恒成立的是（）A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.已知i是虛數(shù)單位，且的共軛復(fù)數(shù)為，則等于

A．2

B．I

C．0

D．-l參考答案：A略7.設(shè)集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；則A∩B（） A．（1，2） B． [1，2] C． [1，2） D． （1，2]參考答案：B8.已知｜｜=｜｜=1，｜﹣｜=，則｜+｜=（）A．1B．C．D．2參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模的計(jì)算即可求出．【解答】解：｜｜=｜｜=1，｜﹣｜=，∴｜﹣｜2=｜｜2+｜｜2﹣2=1+1﹣2=2，∴2=0∴｜+｜2=｜｜2+｜｜2+2=2，∴｜+｜=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是()A．1

B.

C.

D.參考答案：D略10.若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

或

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是

參考答案：略12.已知表示兩條直線,表示一個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題:

①②

③

④則正確命題的序號(hào)為____________(寫出所有正確命題的序號(hào)).參考答案：答案：①④13.（幾何證明選做題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，延長到使，過作圓的切線交于.若，，則

.參考答案：如下圖:，得.14.已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M–EFGH的體積為

.參考答案：分析：由題意首先求解底面積，然后結(jié)合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.詳解：由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點(diǎn)到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.

15.如圖所示2×2方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為_________．參考答案：略16.極坐標(biāo)方程分別為和的兩個(gè)圓的圓心距為

；參考答案：17.若函數(shù)圖像上第一象限有一點(diǎn)A到軸的距離為1，與軸的交點(diǎn)為B，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)，，若總存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，則；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，則.綜上，不等式的解集為（2）由題意，由絕對(duì)值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.由題意得，解得.19.（12分）每進(jìn)行一次游戲，贏的話可領(lǐng)取1000元，輸?shù)脑拕t要罰300元.在這種游戲中某人贏的概率是，輸?shù)母怕适?，如果這個(gè)人連續(xù)8次進(jìn)行這種游戲.（1）在這8次游戲中，求贏了多少次才能保證在扣除罰款后至少可得6000元；

（2）試求在這8次游戲中，扣除罰款后至少可得到6000元的概率.參考答案：解析：（1）設(shè)在8次游戲中贏了x次，則輸了次

依題意

故

因此在這8次游戲中贏7次或8次，才能得證在扣除罰款后至少可得6000元.………………（6分）

（2）在8次游戲中，至少要贏7次，才能使扣除罰款后至少可得到6000元，必須在8次游戲中贏7，8次

由于這兩個(gè)事件互不相容，因此所求的概率

…………（12分）20.在△ABC中，A，B的坐標(biāo)分別是，點(diǎn)G是△ABC的重心，y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；（Ⅱ）直線l：y=kx+m與軌跡E相交于P，Q兩點(diǎn)，若在軌跡E上存在點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）設(shè)C（x，y），由點(diǎn)G是△ABC的重心，可得G，由y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，即可得出；（II）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得2k2﹣m2+6＞0，由四邊形OPRQ為平行四邊形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根與系數(shù)的關(guān)系可得R．由點(diǎn)R在橢圓上，代入橢圓方程化為2m2=k2+3．結(jié)合△＞0，即可解出m的取值范圍．解答：解：（I）設(shè)C（x，y），∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴G，∵y軸上一點(diǎn)M滿足GM∥AB，∴．∵|MC|=|MB|，∴，化為即為△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；（II）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，化為（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，化為2k2﹣m2+6＞0，∴，．∵四邊形OPRQ為平行四邊形，∴，∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，∴R．∵點(diǎn)R在橢圓上，∴=6，化為2m2=k2+3．代入△＞0，可得m2＞0，又2m2≥3，解得或m．∴m的取值范圍是∪．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其質(zhì)、三角形重心性質(zhì)定理、重心與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、△＞0，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21.（12分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線在x軸上的截距為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)g（x）=f（2x）﹣f（x），求證：g（x）在R上單調(diào)遞增．參考答案：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由y=0，得x=，∵切線在x軸上的截距為．∴=．解得a=1．（2）由（1）知f（x）=f（x）=ex﹣x2，則g（x）=e2x﹣ex﹣3x2，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=2e2x﹣ex﹣6x，令h（x）=2e2x﹣ex﹣6x，h′（x）=2e2x﹣ex﹣6，令h′（x）＞0，得或（舍去），∴當(dāng)x＞ln時(shí)，h（x）遞增，當(dāng)x＜ln時(shí)，h（x）遞減，∴h（x）≥h（）=2（）2﹣﹣6ln=﹣6ln＞=，下面證明：ln（x+1）≤x，（x＞﹣1），設(shè)d（x）=ln（x+1）﹣x，則d′（x）=，則d（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴d（x）≤d（0）=0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x，∴l(xiāng)n（+3）≤，∴h（x），即g（x）在R上單調(diào)遞增．22.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，交通指數(shù)取值范圍為0～10，分為五個(gè)級(jí)別，0～2暢通；2～4基本暢通；4～6輕度擁堵；6～8中度擁堵；8～10嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r(shí)段，從昆明市交通指揮中心隨機(jī)選取了二環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如右圖．（1）

據(jù)此估計(jì)，早高峰二環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌?？?）某人上班路上所用時(shí)間若