新教材2021-2022學(xué)年人教B版必修第一冊(cè)2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)作業(yè)

2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)].如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于5,那么這個(gè)直角三角形面積的最大值等于()A25口25A彳B.y一5-5班C.5D.-z-解析：選A.設(shè)直角三角形的斜邊為C,直角邊分別為4,b,由題意知c、=5,則〃2+。2=25,則三角形的面積S=%b.25因?yàn)?5=。2+/22。6,所以出?小萬(wàn)，則三角形的面積5=/代卜沫=今當(dāng)且僅當(dāng)。=方=平時(shí)取等號(hào)，即這25個(gè)直角三角形面積的最大值為亍.2.某工廠第一年產(chǎn)量為4,第二年的增長(zhǎng)率為小第三年的增長(zhǎng)率為九這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則()a-\-bA.x=2B.xW-2a+ba+bC.x>~2-D.-5-解析：選B.由條件知B(l+〃)(l+b)=A(l+x)2,所以(l+x)2=(l+a)(l+b)一(1+〃)+(1+b)]2,.所以1+x<1+――,故xW2..(多選)設(shè)AO,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2~\~\>aC,(。+份(十+￡)24D.若:+]=1,則HW4解析：選ABC.由于〃+l—4=（a—+1>0,所以4+1>〃，故A恒成立；由于a+522,匕+"22,所以（。+0,+力24,當(dāng)且僅當(dāng)。=8=1時(shí)，等號(hào)成立，故B恒成立；由于〃+心2，^,5+拉2\^,所以（〃+〃）?（十+?24,當(dāng)且僅當(dāng)a=h時(shí)，等號(hào)成立，故C恒成立；因?yàn)椤?gt;0,b>0,所以所以ab24,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2Cl口\/Cl'時(shí)，等號(hào)成立，故D不恒成立.故選ABC..三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們可用該圖證明（）A.如果a>b,b>c,那么a>cB.如果公6>0,那么/C.對(duì)任意正實(shí)數(shù)。和〃，有〃2+b222ab,當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?時(shí)等號(hào)成立D.如果c>0那么qc>Z?c解析：選C.可將直角三角形的兩直身邊長(zhǎng)記作a,b,斜邊長(zhǎng)為c（c2=/+護(hù)）.則外圍的正方形的面積為c2,也就是。2+序，四個(gè)直角三角形所在的陰影面積之和剛好為2ab.故對(duì)任意正實(shí)數(shù)〃和〃，有。2+及22〃/?,當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?時(shí)等號(hào)成立..已知〃=x+4（xv0）,則加，〃之間的大小關(guān)系是（）A.m>nB."z<〃C.m=nD."W/i解析：選A.因?yàn)閍>2,所以“一2>0."7=。+~==。-2+-二+222、/（。-2）?~二+2=4,

a-2。一2\1a—2當(dāng)且僅當(dāng)。-2=」，即。=3時(shí)，等號(hào)成立.a~2因x<0,則〃=x+4<4,所以m>n..當(dāng)時(shí),不等式三的最小值是TOC\o"1-5"\h\z「11/I解析：~~~=x4-14-r=x-14-^+222、/(x-1)?-4-2=4,x—1x—1x—1\]x—1當(dāng)且僅當(dāng)工一1=」7，即x=2時(shí)，等號(hào)成立.X—1答案：4.如圖有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dml圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm,左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是dm2.解析：設(shè)陰影部分的高為xdm,72則寬為一dm,四周空白部分的面積是ydn?.由題意，得)，=(x+4)(￥+2)-72=8+2(x+9/~14428+2X2、/巴-=56(dm2).144當(dāng)且僅當(dāng)工=——，即x=12dm時(shí)等號(hào)成立.答案：56.規(guī)定記號(hào)表示一種運(yùn)算，即。。力=兩+。+仇m8為正實(shí)數(shù)).若1。仁3,則Z的值為,此時(shí)函數(shù)尸童的最小值為.解析：由題意得1。&=#+1+k=3,即女+#—2=0,所以#=1或#=人工”、，，kQx市+x+l,r,1.一2(舌去)，所以4=1,y===11+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)也=左，即x=l時(shí)，等號(hào)成立.答案：13.設(shè)。>0,Z?>0,且證明：〃+822.證明：由于a>0,Z?>0,則a+H+9用abab由于〃+/?0,則于=1,即有〃+/?22礪=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=\時(shí)取得等號(hào)，所以。+/?22..已知a,b,c￡(0,+°°),且〃+Z?+c=1.求證：1+；+1N9.證明：因?yàn)閙byc￡(0,+°°),且。+6+c=l,所以abc〃+/7+c,〃+/?+<?,〃+/?+c=~a-+-b-+-c-=3+（婚23+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=：時(shí)，等號(hào)成立.IB能力提升].若實(shí)數(shù)心>（）,>>（）,且x+4v=町，，則x+y的最小值為（）A.7B.8C.9D.1（）|4解析：選C.根據(jù)題意，實(shí)數(shù)Q0,)>0,若工+4)，=冷，，^]-+-=1,x+y=(x+y)停+鄉(xiāng)寸+?+5^^|^+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即犬=6,)，=3時(shí)等號(hào)成立，即x+y的最小值為9,故選C.12.已知不等式(x+)，)g+需16對(duì)任意正實(shí)數(shù)工，y恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為()A.1B.2C.4D.6解析:選C（x+y）（：+j）=4+a+（?+竽）,因?yàn)閤>0,y>0,a>0,所以?+"22'/生羋=4或，當(dāng)且僅當(dāng)仝=結(jié)時(shí)取等號(hào).由已知可得4+。+4g216,Vxy.1y即。+4g一1220,解得g22或gW—6（舍去），所以。24,即。的最小值為4..（2020?揚(yáng)州期末）如圖,在半徑為4（單位:cm）的半圓形（。為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料A8CQ,其頂點(diǎn)A,8在直徑上，頂點(diǎn)C,。在圓周上，則矩形ABCO面積的最大值為（單位：cm）解析：如圖所示，連接。C,設(shè)|O8|=x（0vx<4）,則|80=2|0。2一|08|2="16—',\AB\=2\OB\=2x.所以，由均值不等式可得，矩形A5CQ的面積為S=|A3|?田。|=川々16一病=2、（16—4）fW（16-f）+f=16,當(dāng)且僅當(dāng)16—/uji2時(shí)，即當(dāng)x=2啦時(shí)，等號(hào)成立.答案：16.不等式9x+?2〃+l（常數(shù)。>（））,對(duì)一切正實(shí)數(shù)工成立，求。的取值范圍.TOC\o"1-5"\h\z序a2解：常數(shù)〃>0,若9l+—2〃+1對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a+lW9x+J的最小值，22又9x+?26。，當(dāng)且僅當(dāng)9犬=午，人人即X=W時(shí)，等號(hào)成立.故必有6〃2。+1,解得。所以〃的取值范圍為42a.15.設(shè)a,乩c均為正數(shù)，且a+8+c=l.證明:(l)ab+be+acW；；〃2吩。2（2）石+7守,證明：（1）由。2+/22H,,廬+^22兒,血+。222cm得c^-\-b1+c1'^ab+bc-\rca.由題設(shè)得(〃+/，+c)2=l,得。z+3+d+ZH+ZA+Zconl.所以33。+權(quán)、+。。)(1,即ab+bc+cci<g.TOC\o"1-5"\h\z/hr/(2)因?yàn)榱?力，2〃，一+。力2〃，一+〃22c,CCl〃2/故石+]+；Ha+/?+c)22(a+〃+c)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，(T[)r金即5+l+￡》a+b+c又a+/?+c、=1,/F/所以牛+幺+J21.bca[C拓展探究]16.(2020?上海中學(xué)高一期中)某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為憶輪船的最大速度為15海里/小時(shí),當(dāng)船速為1()海里〃卜時(shí).時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用(不論速度如何)總計(jì)是每小時(shí)15()元.假定輪船以速度。勻速航行.⑴求出的值；(2)求該輪船航行100海里的總費(fèi)用W(燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用)的最小值.解:(1)由題意,設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為用=切2,因?yàn)楫?dāng)船速為10海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)96元，所以當(dāng)。=10時(shí)，Wi=96,可得96=%X1()2,解得-0.96.(2)因?yàn)槠溆嗪叫羞\(yùn)作費(fèi)用(不論速度如何)