跨階同構(gòu)-2023年高考數(shù)學核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

專題17跨階同構(gòu)

【方法點撥】

1.指對形式同時出現(xiàn)，可能需要利用指對同構(gòu)來解決問題

2.跨階同構(gòu)的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

(1)指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵，湊形是難點.

(2)湊形的常用方法：為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改

頭換面“，常用的方法有：x=**、庇*=6**、1*=網(wǎng)***、￡=lnx+lna=lnov、

X

lnx-l=ln-,有時也需要對兩邊同時加、乘某式等.

3.常見同構(gòu)式：

(1)xlnx與xex型：xlnx=Inx^nx,xex=^nxex;

(2)x+lnx與x+e'型：x+lnx=lnx4-elnr,x+ex=elnx+ex.

【典型題示例】

例1(2022?江蘇天一中學期末?16)已知函數(shù)/(x)=ae”nx(awO),若對于任意

XG(0,1),恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

11

A.—,+ooB.一,4-00C.-,1D.

eee

【答案】A

【解析】/(x)<x2+xlna,BPaex\nx<x2+x\na

n(>xInV

兩邊同時除以x得<x+\na

x

立』minxx+lna_Inxx+lnaInex+InaInae'

兩邊同時除以ae*得——<-------,即n——<------=----------=------

xaexxae'ae'ae'

InY

設(shè)函數(shù)g(x)=—,易得g(x)在(0,1)單增

X

1ex

所以易知〃〉0,故一<一

ax

XX

設(shè)h(x)=—,易得—>e

XX

所以一Ge,故a2一,選4

ae

例2(2022?江蘇省G4(揚州中學、蘇州中學、鹽城中學、常州中學)高三上學期12

月階段檢測)若不等式2e'—2>—aln(x+l)+(a+2)x對x￡(0,+8)恒成立，其中e為自然對

數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為

A.(—co,2)B.(—oo,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】B

【分析】運用同構(gòu)對不等式進行變形，使得兩邊“結(jié)構(gòu)相同”，由于式子中含有e\In(rH)

及關(guān)于戈的?次式，故應(yīng)考慮“跨階同構(gòu)”，即對不等式變形時，應(yīng)使得不等式兩邊一邊含

e\另一邊含In(x+1).

【解析】對2e“一2>—aln(x+l)+(a+2)x變形得：2cv—ax>2(x+1)—aln(x+1)

一方面，2ev—ax=2ev—67Inev,

所以問題轉(zhuǎn)化為2cA—aIne*>2(x+1)—a\n(x+1)對x￡(0,+oo)恒成立

又因為已”>工+1,設(shè)/(x)=2e*—at,則/(x)在(0,+s)為增函數(shù)

故/(x)=2e“一恒成立，故〃W2.

例3已知函數(shù)/(x)=ae'T-Inx+lna,若/(x)N1,則a的取值范圍是.

【答案】a>\

【解析】由f(x)=ae*T-Inx+lnaN1移項得：aex~l+lna>lnx+l

(說明：將變量移至一邊的原則進行變形)

即+]nqzinx+l,兩邊同時加(x-l)^e'na+x~'4-x+lna-l>lnx+x

(說明：系數(shù)升指數(shù)、按左右結(jié)構(gòu)相同的原則進行變形)

r

即eS-xT+(x+ina-l)>lnx+e'"

設(shè)g(x)=x+e*,則g'(x)=l+e*>0,所以g(x)單增

所以lna+x—l>lnx，即x—lnx+ln?-l>0

設(shè)/j(x)=x-lnx+lna-l,貝Ij〃(x)=l-L所以〃(x)在(0,1)單減，在(l,+oo)單增，

X

所以//(乂口加=/?⑴=lna-1±0,所以a21.

點評：

對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩

邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).

例4設(shè)a,b都是正數(shù)，若aea+i+b<b\nb(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))，則()

A.ab>eiB.b>e°+'；C.ab<e；D.b<e°+].

【答案】B

【解析】由已知aea+i+b<blnb移項整理得aea+i<blr>2,

e

為了實現(xiàn)“一邊一個變量”，兩邊同時除以e得aea<±ln2,

ee

為了實現(xiàn)“兩邊結(jié)構(gòu)相同”，對左邊“降階"得a4=lnea

故e。-lnea<-ln-(#)

ee

設(shè)/(x)=x-lnx,(#)即為〃ea)</g)

Va>0,：.ea>l

V/?(lnh-l)>0,b>0,：.\nb>l,故b>e,->1

e

當%>1.時，/z(x)=14-lnx>0,/(%)單增

：.ea<即尸Vb,選B.

e

例5已知函數(shù)/(x)=ae*+ln，一一2(a>0),若/(x)>0恒成立，則實數(shù)a的取值

x+2

范圍是.

【答案】(e,+s)

【解析】V/(x)=?e'+ln---2>0

x+2

：.ex+lna+\na>ln(x+2)+2

兩邊加上x得e**1""+(x+lna)>ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln|'+2)

設(shè)g(x)=x+e"則其單增

x+lntz>In(x+2)，即Ina>ln(x+2)-x

1r-4-1

令kQc)=ln(x+2)—x,則kr(x)=------1=---------

x+2x+2

V/(x)的定義域是(—2,+8)

.,.當xe(—2,—1)時，k\x)>0,々(x)單增；當xe(—1,+co)時，k'(x)<0?女(x)單減

...當x=-l時，A(x)取得極大值即為最大值，且女(X)max=A(-1)=1

A\na>k(x)mM="(—1)=1,；.a>e即為所求.

例6設(shè)實數(shù)；I>0,若對任意的％6(0,+co),不等式e"-^>0恒成立，則;I的取值范

圍是?

【答案】+8)

【解析】由一竽20得之等，即尢住及Nm不,e'n”對任意的xW(0,+8)恒成立.

設(shè)/(￡)=￡e1則/(萩)>/(m%)對任意的％6(0,+8)恒成立，

又尸(t)=+。=(t+l)ef,

???當￡<一1時，f‘a(chǎn))V0,f(t)單調(diào)遞減；當￡>一1時，/(t)>0,/(￡)單調(diào)遞增.畫出圖

象為

①當％N，時，￡1=>0,亡2=Inx>-1,此時函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，???/(4)>/(12)，

即/(&)>/(/nx),所以>/nx對任意的久e(0,+8)恒成立，,2>q■對任意的xe(0,

+8)恒成立.

設(shè)g(x)=等，x>0,貝!|g，(x)=33，則當0<%<e時，g，(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當

x>e時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，，g(x)max=g(e)=.,.A>(

②當0<x<：時，4=Ar>0,t2=Inx<-1,

由/(0)=0-e。=0,結(jié)合函數(shù)/Xt)的圖象可得f(ti)>0>f(t2)，BP/(Ax)>f(lnx)

對任意的x6(0,+8)恒成立.

綜上可得42%.?.實數(shù)入的取值范圍是E，+00).

【解析二】由e'x—W20得e'x>W，即Axe&>Inx'對任意的％e(0,+8)恒成立.

AA

當％E(0,1］時，總有Axe&>0,xlnx<0.

只需考慮%>1的情形，亦即Axe.>Inx-elnx.

t

設(shè)f(t)=te(t>0)9則/'(t)=te1+e?=(t+l)e，>0,

f(￡)在CE(0,+8)上為增函數(shù).

由f(Ax)之f()》)得，Ax>Inx,艮|UN故AN(?)

、r，、Inx,1—Inx

設(shè)g(x)=—,x>0,則g(x)=———,

g(%)max=g(e)=%AA>i.

【解析三】由—WZ0得NW，XeAx>Inx,即(Ax)N%仇%對任意的x€(0,

+8)恒成立.

當％E(0,1］時，總有Axe&>0,xlnx<0.

只需考慮x>1的情形，亦即伍e">xlnx.

設(shè)/(￡)=tlnt(t>l),則廣(t)=14-Znt>0,

/(t)在t€(l,+8)上為增函數(shù).

由f(e&)豈/(x)得,eAx>x,即4之空jftA>(―)

x'*max

,,,、Inx…，，、1—Inx

設(shè)rg(x)=—,x>0,則g(x)=———,

gWmax=g(e)=i,：,X>/

【解析四】由e'x—等20得e'x2竽，XeAx>Inx,即(Ax)e&2x，nx對任意的xe(0,

+8)恒成立.

當x6(0,1]時，總有Axe'*>0,xlnx<0.

只需考慮x>1的情形，得(Ax)+In(Ax)>Inx+ln(/nx).

設(shè)/(t)=t+/nt(t>l),則/''(I)=1+1>0,

f(t)在te(l,+8)上為增函數(shù).

由/(&)2/()%)得，Ax>Inx,BPA>—,故心”)

x、^max

、『，Inx“、1-Inx

&g(x)=—,x>0,則g(x)=———,

gMmax=g(e)=%21-

例7對于任意實數(shù)x>0,不等式2ae2，-lnx+ln〃N0恒成立，則a的取值范圍是.

【答案】a>—

2e

【解析一】將2e2x>-\n-(說明：將參數(shù)移至一

aaa

邊)

兩邊同時乘x得2xe2'w3n土(說明：目的是湊右邊的結(jié)構(gòu))

aa

即2xe2*N2ln±=egln2(說明：目的是湊左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同)(#)

aaa

設(shè)g(x)=xe"則g'(x)=(l+x)e”>0,g(x)單增

故山(#)得2xNln二，\na>\nx—2x

a

再令/z(x)=lnx-2x,則〃(x)=1—2,易知當〃(x)1rax=〃(3=-山2-1

x2

所以ln<7>—ln2-l,BPiz>—.

2e

[解析二)將2a/、—]nx+lnaN0變形為^,n2a+2x-lnx+lna>0,即^,n2fl+2jf+In2aNIn2x

eln2a+2x+2x+\n2a>2x+In2x=e]n2x+In2x

設(shè)g(x)=e*+x,易知g(x)單增

故2x+ln2aNln2x(以下同解法一，從略).

點評：

(1)為了實現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時時對指對式進行“改頭換面”，常用

的恒等變形的方法有：x=elnx(x>0),x=lnex(xGR).

1.xex=ex+lnx；x+Inx=lnxex.

lnxx

2.—ex■=e~-,x—Inx=Inx

3.x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.

4.=ex~2lnx；x—2lnx=ln^.

X2X2

有時也需要對兩邊同時加I、乘某式等.

(2)xlnx與xe”為常見同構(gòu)式：x]nx=\nxe}nt,xex=el,,Aet；x+ln]與x+e*為常見同

構(gòu)式：x+\nx=\nx+einx,x+ex=e]nx+ex.

【鞏固訓練】

1.設(shè)實數(shù)加>()，若對任意的XG(o,+8),不等式一一^20成立，則實數(shù)用的取值范

m

圍是()

rlr1Ar、I"1)

A.[1,+co)B.—,+℃C.[e,+8)D.—,+co

L2J]_e)

m

2.設(shè)實數(shù)機>0,若對任意的xNe,不等式Vlnx-me；20恒成立，則加的最大值是

().

A.-B.-C.eD.2e

e3

3.若eiNlnx+a對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

A(-oo,-]B.(-°°,l]C.(-8,2]D.(-°0,e]

e

4.已知函數(shù)/。)=已\(其中。為參數(shù))，若對任意xw(0,+oo),不等式/(x)>alna

成立，則正實數(shù)。的取值范圍是.

5?對于任意實數(shù)x>0,不等式「-與nx〉0恒成立，則4的最大值是.

6.關(guān)于x的不等式泥m2。111+%(元+1)對任意x>0(其中Z>0)恒成立，則A的取值范圍

是.

7.關(guān)于x的不等式fe”n(4+3)x+21nx+l對任意x>0恒成立，則女的取值范圍是.

8.已知函數(shù)/(%)=(%+；)Inx,g(%)=?71?加+TH若對任意的％E(0,+oo),不等式

2/(%)-g(x)<0恒成立，則m的取值范圍是.

9.(2022?江蘇數(shù)學基地校聯(lián)考*22改編)已知函數(shù)/(x)=4e、-lnxTna,當x>0時，.危)》|,

則a的取值范圍是.

10.(2022?江蘇天一中學)已知關(guān)于％的不等式付上11色>]nx在(0，叱)上恒成立，

龍+1

則實數(shù)義的取值范圍為.

【答案與提示】

I.【答案】D

(分析】把不等式e'”------N0成立，轉(zhuǎn)化為mxen,x>xlnx=eln'-lnx恒成立，設(shè)函數(shù)

m

g(x)=W,進而轉(zhuǎn)化為gOnx)Ng(lnx)恒成立，得出/nxNlnx恒成立，構(gòu)造函數(shù)

力(力=In十JC，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

InxInx

【解析】因為m>0,不等式e小-----20成立，即6叩2—成立，即me""Nlnx，

mm

進而轉(zhuǎn)化為mxe'm>xlnx-e'nx-Inx恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=A?*,可得g'(x)=e*+旄*=(x+l)e2,

當x>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

Inx

則不等式-----20恒成立等價于g(mx)>g(ln%)恒成立，即如2Inx恒成立，

m

InY

進而轉(zhuǎn)化為加之一恒成立，

X

設(shè)。(力=曲二，可得//'(%)=l.,

當0<x<e時,"(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當x>e時，//(%)<(),〃(x)單調(diào)遞減，

所以當x=e,函數(shù)/i(x)取得最大值，最大值為〃(e)=L

e

所以根2工，即實數(shù)〃，的取值范圍是-,+ooI.故選：D.

e\_e)

2.【答案】C

tnm

【提示】x'inx-me7>O?^lnx-e,nAr>--e7,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x/(x>0),等價

X

轉(zhuǎn)化為InxN—,即mWxlnx,只需機W(xlnx).=e,答案為C.

%\/nun

3.【答案】B

【解析】(利用同構(gòu))由Nlnx+a得，一"一々Nlnx,兩邊同時加6“一"+%-。2lnx+x

即ex-a+(x-a)>e]nx+\nx

設(shè)f(x)=e"+x,則/(x)=e”+l>0,/(幻=d+不單增

ex-fl+(x-6z)>^nA+lnx,BP/(x-tz)>/(lnx),故x-aNlnx恒成立

a<x—lnx恒成立

設(shè)g(x)=x-lnx，易得g(x)max=g(D=l，所以。<1.

4.【答案】(°?

【解析】構(gòu)建同構(gòu)式處理不等式

山/(x)>aIn。得^——In?>Inx,即ex~'m-Incz>Inx>

a

兩邊同時加x得ex-,na+x—Ina>elnv+lnx

令g(f)=d+1，則g(x-ln?)>gQnx),

g(f)為單調(diào)增函數(shù)x-lna>Inx.即lna<x-lnx,

令〃(x)=x-Inx，則/?'(》)=-~-

x

...Mx)在(0,1)匕單調(diào)遞減，在(1,+CQ)上單調(diào)遞增，...〃。),而11=/瑁)=0，

,lna<l,解得0<a<e.

5.【答案】e

【提示】變形為ejzxlnx.

6.【答案】(0,e]

【提示】變形為*如”“(1門