大學文科數(shù)學-導數(shù)與微分-導數(shù)的定義

第1講大學文科數(shù)學主講教師|第2章導數(shù)與微分導數(shù)地定義2引言導數(shù)是微分學重要地基本概念之一,在科學技術,工程建設等領域有著極為廣泛地應用．大量與變化率有關地量,都可以用導數(shù)表示。本節(jié)將介紹導數(shù)地定義,幾何意義及有關內(nèi)容。3引言為了便于敘述與表達,首先回顧第一章介紹過地一個概念—增量。??定義1.18.??注設變量從它地一個初值變到終值,終值與初值地差稱為變量地增量,記為,即:增量也稱為改變量,對應于函數(shù)顯然有:4本節(jié)內(nèi)容02導數(shù)地定義03導數(shù)地幾何意義04可導與連續(xù)地關系01兩個引例501兩個引例歷史上,導數(shù)地概念主要起源于兩個著名地問題（1）求平面曲線地切線斜率問題;（2）求變速直線運動質(zhì)點地瞬時速度問題。下面我們首先從這兩個經(jīng)典引例地研究出發(fā),看是否能歸納出導數(shù)地定義。601兩個引例設連續(xù)曲線上有一個定點試求曲線在該點處切線地斜率（假設存在）。問題:什么是切線？切線是"與曲線只有一個交點地直線"？切線是割線地極限！引例1:切線斜率問題7極限地思想！01兩個引例記連續(xù)曲線上地定點為動點為.做割線當動點沿曲線趨向定點時,稱割線地極限位置為曲線在點處地切線。yOxy=f(x)αφx0M0x0+ΔxΔxΔyTM8割線地斜率為即切線斜率為01兩個引例當動點沿曲線無限逼近點時,割線地斜率地極限就是切線地斜率,故yOxy=f(x)αφx0M0x0+ΔxΔxΔyTM9設一質(zhì)點做直線運動,試求質(zhì)點在時刻地瞬時速度。問題:如何確定速度？瞬時速度=？01兩個引例引例2:瞬時速度問題勻速直線運動:速度=變速直線運動:平均速度=10而如果時間間隔越小,則這種近似地精度越高。01兩個引例設質(zhì)點地位移函數(shù)為則在內(nèi)地平均速度為可以用這段時間地平均速度近似代替時刻地瞬時速度,但有誤差,當時,11上述兩個引例雖分別屬于幾何與物理問題,但解決問題地思想與方法是相同地:這種求函數(shù)增量與自變量增量比地極限問題就是求導數(shù)問題。01兩個引例12本節(jié)內(nèi)容02導數(shù)地定義03導數(shù)地幾何意義04可導與連續(xù)地關系01兩個引例13??定義2.102導數(shù)地定義設函數(shù)在點地某鄰域內(nèi)有定義,當自變量在處有增量時,相應地函數(shù)增量為如果極限存在,則稱函數(shù)在點處可導,并把這個極限值稱為函數(shù)在點處地導數(shù),記作或14即02導數(shù)地定義若當時,這個比值地極限不存在,則稱函數(shù)在點處不可導。15（2）若令則有??注02導數(shù)地定義（1）若令則有（3）引例1平面曲線處地切線斜率（4）引例2變速直線運動質(zhì)點在時刻地瞬時速度16即或??定義2.202導數(shù)地定義如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)地每一點都可導,即仍是地函數(shù),則稱為地導函數(shù),簡稱導數(shù),記作或17??例1解根據(jù)導數(shù)地定義,有02導數(shù)地定義求函數(shù)地導數(shù)。即:常數(shù)函數(shù)地導數(shù)等于0。18??例2解根據(jù)導數(shù)地定義,有

練習:02導數(shù)地定義已知函數(shù)試求19??例3解根據(jù)導數(shù)地定義,有02導數(shù)地定義求函數(shù)地導數(shù)。2002導數(shù)地定義即:同理可得:21??例4解根據(jù)導數(shù)地定義,有02導數(shù)地定義求函數(shù)地導數(shù)。2202導數(shù)地定義即:23??例5解根據(jù)導數(shù)地定義,有02導數(shù)地定義求地導數(shù)．24??定義2.302導數(shù)地定義設函數(shù)在點地某左鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱此極限值為函數(shù)在點處地左導數(shù),記作25同理,右導數(shù)為02導數(shù)地定義26函數(shù)在點處可導地充要條件是左,右導數(shù)都存在且相等。??定理2.1??定義2.4??定義2.502導數(shù)地定義若在區(qū)間內(nèi)地每一點都可導,則稱在開區(qū)間可導。若在內(nèi)可導,且在處右導數(shù)存在,在處左導數(shù)存在,則稱在閉區(qū)間可導。27本節(jié)內(nèi)容02導數(shù)地定義03導數(shù)地幾何意義04可導與連續(xù)地關系01兩個引例2803導數(shù)地幾何意義回顧引例1知,導數(shù)就是曲線在點處切線地斜率,這就是導數(shù)地幾何意義。若在處可導,則曲線在該點處地切線方程為;當時,曲線在該點處地法線方程為yOxy=f(x)αφx0M0x0+ΔxΔxΔyTM29??例6解03導數(shù)地幾何意義求拋物線在點處地切線方程與法線方程。這里又因為故因此,所求地切線方程為即所求地法線方程為即30??例7解03導數(shù)地幾何意義曲線上哪一點地切線與直線平行？求此切線方程。由于而直線地斜率為3.因此令得:進一步地有:3103導數(shù)地幾何意義于是,在點與點處地切線與所給直線平行,所求地切線方程分別為:與,即:與32本節(jié)內(nèi)容02導數(shù)地定義03導數(shù)地幾何意義04可導與連續(xù)地關系01兩個引例33關于函數(shù)地性質(zhì),我們已經(jīng)給出了兩個概念:有何關系？??定理2.2如果函數(shù)在點處可導,則在點處必連續(xù)。可導必連續(xù)04可導與連續(xù)地關系連續(xù):可導:34證明04可導與連續(xù)地關系如果函數(shù)在點處可導,則由定義知故即從而在點處連續(xù)。35??注04可導與連續(xù)地關系（1）定理2.2地逆命題不一定成立,即:連續(xù)不一定可導。例如,函數(shù)在點處連續(xù),但在點處不可導.y=|x|yOx因此,3604可導與連續(xù)地關系由定理2.1可知,在點處導數(shù)不存在.（2）定理2.2地逆否命題:不連續(xù)一定不可導。37??例8解判斷分段函數(shù)對于分段函數(shù)地可導性,首先需要判斷連續(xù)性。04可導與連續(xù)地關系在處是否可導。由于即左右極限不相等,故