高等數(shù)學 課后習題答案第十二章

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習題十二

1．寫出以下級數(shù)的一般項：

1111????357(1)

(2)

；

xxxxx2????22?42?4?62?4?6?8；

；

a3a5a7a9????579(3)31Un?2n?1；解：(1)

(2)

Un?xn2?2n?!!；

n?1(3)

2．求以下級數(shù)的和：

?Un???1?a2n?12n?1；

(1)

??x?n?1??x?n??x?n?1?n?11；

(2)

??n?1?n?2?2n?1?n?；

111?2?3?5(3)55；

un?1?x?n?1??x?n??x?n?1?解：(1)

111?????2??x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???

11111????Sn??2?x?x?1??x?1??x?2??x?1??x?2??x?2??x?3?11?????x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???111?????2?x?x?1??x?n??x?n?1???從而

11limSn?n??2x?x?1?，故級數(shù)的和為2x?x?1?因此

(2)由于

Un??n?2?n?1???n?1?n?

Sn??3?2???2?1???4?3???3?2???5?4???4?3???n?2?n?1?1?21??1?2n?2?n?1??n?2?n?1???n?1?n?從而

所以n??limSn?1?2，即級數(shù)的和為1?2．

111Sn??2??n5551??1?n?1????5??5????11?51??1?n???1????4??5??(3)由于

從而n??3．判定以下級數(shù)的斂散性：

limSn??114，即級數(shù)的和為4．

(1)

??n?1n?1?n?；

(2)

111???1?66?1111?16?1??5n?4??5n?1?；

；

n22223n?12?3?3????1??n3333(3)

1111??3??n?555(4)5；

Sn??2?1???3?2??解：(1)從而n????n?1?n?

?n?1?1，故級數(shù)發(fā)散．

limSn???1?1111111?Sn??1?????????5?661111165n?45n?1?1?1???1??5?5n?1?(2)

11limSn?5，故原級數(shù)收斂，其和為5．從而n??2q??3的等比級數(shù)，且|q|N時，對任何自然數(shù)P恒有Un?1?Un?2??ε>0，取

?Un?p??成立，由

??1?n?1?n柯西審斂原理知，級數(shù)n?1?收斂．

(2)對于任意自然數(shù)P，都有

Un?1?Un?2???Un?pcos?n?p?xcos?n?1?xcos?n?2?x???2n?12n?22n?p111?n?1?n?2??n?p2221?1?1???2n?1?2p??11?211??n??1?p?2?2?1?n2

1??log?2??U?Un?2??，于是，?ε>0(0N時，對任意的自然數(shù)P都有n?1成立，由柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂．

(3)取P=n，則

?Un?p??Un?1?Un?2??Un?p111111???????????3?2n?13?2n?23?2n?3?3?n?1??13?n?1??23?n?1??3?11???3?n?1??13?2n?1n?6?n?1?1?12

1?0?12，則對任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2??Un?p??0，由柯西審斂原從而取

理知，原級數(shù)發(fā)散．

5．用比較審斂法判別以下級數(shù)的斂散性．

111????????n?3n?5(1)4?65?71?21?31?n1?????2221?21?31?n(2)

πsin?3n(3)n?1?；

；(4)

?n?1?n?1?12?n31n；

1?n1?an?1(5)

解：(1)∵

??a?0?；

(6)

??2?1?．

Un?11?2?n?3??n?5?n

1?2而n?1n(2)∵

??收斂，由比較審斂法知

?Un?1?n收斂．

Un?1?n1?n1??1?n2n?n2n

1?而n?1n發(fā)散，由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散．

ππsinnn33lim?limπ??πn??n??1π3n3n(3)∵

??ππsin?n?3n而n?13收斂，故n?1也收斂．

sinUn?(4)∵

12?n3??1n31?1n32

?而

n?1?1n32收斂，故

?n?12?n3收斂．

??1111Un??n??nnna1?an?1n?11?aa(5)當a>1時，，而收斂，故

11limUn?lim??0n??22當a=1時，n??，級數(shù)發(fā)散．

1limUn?lim?1?0n??n??1?an當0也收斂．

綜上所述，當a>1時，原級數(shù)收斂，當02?1?ln2?1?1?1x??2?11lim?ln2n??2?1x?0nnn?1x(6)由知而n?1發(fā)散，由比較審斂法知

xlim1n??發(fā)散．

6．用比值判別法判別以下級數(shù)的斂散性：

(1)

n2?nn?13?；

n!?n3?1；n?1(2)

?33233???231?22?23?2(3)

(1)

3n??n?2n；

2n?n!?nnn?1?22nU??31n?1nn?1lim?lim???1Un?nn??n?12n??Un3n33，解：(1)，

由比值審斂法知，級數(shù)收斂．

??x2n?2x2n?1x2n?1S?x????x??2n?12n?1n?0n?0域為(-1,1)，記，易知級數(shù)n?02n?1收斂域為(-1,1)，記

??x2n?11?S1?x???S1?x???x2n?1?x2n?02n?1，則n?0?，

11?x11?xlnS???S???lnx011?21?x即21?x，S1?0??0，所以故0x1?xS?x??xS1?x??ln?x?1?21?x

xS1??x?dx?13．將以下函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：

(1)f(x)=ln(2+x)；(2)f(x)=cos2x；

f?x??(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；

(4)

x21?x2；

(5)

f?x??x3?x2；(6)

(7