求二面角方法定義法

二面角——1定義法二面角二面角大小的求法中知識的綜合性較強(qiáng)，方法的靈便性較大，一般而言，二面角的大小經(jīng)常轉(zhuǎn)變成其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小，在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識。求二面角大小的要點(diǎn)是，依照不同樣問題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式（設(shè)二面角的度數(shù)為S射影三角形，多用于求無棱二面角）求出二面角，則cosS側(cè)面三角形的大小。求二面角的大小的基本方法為先證后算,即先由有關(guān)立幾結(jié)論找出二面角的平面角(大多數(shù)題是用三垂線法去找),爾后借助于解三角形求出平面角.現(xiàn)將二面角大小的求法歸類解析以下：定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點(diǎn)（特別點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特點(diǎn)1.如圖，周圍體ABCD的棱BD長為2，其余各棱的長均是2，求：二面角A－BD－C、B－AC－D的大小解析：(1)取BD的中點(diǎn)O，連AO、OCAA在ABD中，∵AB＝AD＝2，BD＝2，∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BDE∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角。BODBD又AO＝OC＝1，AC＝2，∴∠AOC＝90°CC即二面角A－BD－C為直二面角。(2)取AC的中點(diǎn)E，連BE、DE∵AB＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角在BDE中，BE＝DE＝6，21由余弦定理，得cos3在四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。解：PPAABPAADPB=PDAB=AD=a，HPBPDADBCDCPBDPDC過B作BH⊥PC于H，連PCPCBC結(jié)DH使DH⊥PC，故∠BHD為二面角B－PC－D的平面角。因PB＝2a,BC＝a,PC＝3a,11aPB·BC＝SPBC＝2PC·BH，則BH＝3＝DH又BD＝2a，在△中由余弦定理，得：BHD226622aBH2DH2BD2aa3312BHgBD662cos∠BHD＝2aa3322又0＜∠BHD＜π，則∠BHD＝3，二面角B－PC－D的大小是3。三棱錐A－BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC＝6，AD＝4，求二面角A－BC－D的度數(shù)。解：由已知條件∠BAC＝90°，AB＝AC，設(shè)BC的中點(diǎn)設(shè)為O，則OA＝OC＝3

ABC＝23AC∴AD2AO2OC2CD22AOCDcosB解之得：DB

OCD1504.如圖AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC＝CD＝1，∠ABC＝30°，求二面角CABD的大小。解：cos

3

A3即所求角的大小為arccos3。3DC（此題也可用垂線法）練習(xí)：已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA1B底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。2（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。方案一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD.所以，CD與面PAD內(nèi)兩條訂交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=2，PB=5，cosPBEBE10.PB5（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM2(AC)2AC，2326AN2BN2AB22AN2ANB5.∴AB=2，cos2ANBN3522故所求的二面角為arccos().方法二：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，1).2（Ⅰ）證明：因AP(0,0,1),DC(0,1,0),故APDC0,所以APDC.由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條訂交直線，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因AC(1,1,0),PB(0,2