角形內(nèi)心充要條件的證明

三角形內(nèi)心充要條件的證明三角形內(nèi)心充要條件的表述以下：在以下三角形ABC中，則O為ABC內(nèi)心的充要條件是：uuuraOA

uuurbOB

uuurcOC

r0圖示1(r為內(nèi)接圓半徑)下面證明：充分性：充分性表述成，若uuuruuuruuuraOAbOBcOC

rO為ABC所在平面內(nèi)的點，當滿足條件：0時，O即為ABC的內(nèi)心。證明：uuuruuuruuurraOAbOBcOC0uuuruuuruuuruuuruuurraOAb(OAAB)c(OAAC)0(abuuuruuurcuuurrc)OAbABAC0(abuuur(buuurcuuurc)OAABAC)uuurbuuurcuuurOABACAabcabcuuurbc1uuurbc1uuur(這一步最為要點)OAabcBAabcbCAcuuurbcuuuruuurBACAOAabc()cbuuurbcuuuruuurBACA)OAabc(uuruuur|BA||CA|uuuruuuruuuruuurBACAuuur即為BA方向的單位向量，uuur即為CA方向單位向量，因此|BA||CA|uuuruuuruuuruuurBACAuuuruuur即為以BA和CA構成角的角均分線。|BA||CA|(原因以以下圖所示：uruuuruuruuurruruururuururuurBACAe1uuur，e2uuur，ee1e2，向量e1e2即為以e1和e2為邊構|BA||CA|uruur成的平行四邊形的對角線，由于e1和e2為單位向量，即構成的平行四邊uruurruruur形為菱形，因此e1e2即e為以e1和e2構成角的角均分線)圖示2由上面的解析，我們可以獲?。簎uurrbcLLLLLL(*)OAe(D為常數(shù),且)uuurabcruuurBACAeuuuruuur|BA||CA|uuurA所在角均分線上，同理可證，uuuruuurB和C即OA在OB、OC在在所在角均分線上，即O為ABC內(nèi)角均分線的交點，即為內(nèi)心的定義，充分性的證明達成。必要性：解析：由上面充分性的證明中的(*)表達式可知，只要由內(nèi)心的定義bc證明常數(shù)即可。abc證明：r在圖示3中，e的長度為：

圖示3rurAA|e|2|e1|cos2cosuuur22在圖示1中，OA的長度為：uuurr|OA|Asinuuurr2將|OA|用|e|來表示，有：ruuursinA|OA|2rrAsinA|e|2cos2uuurrrL(1)|OA||e|LLsinAuuurA所在角均分線上，因此有：由O為ABC的內(nèi)心，則OA在uuuruuuruuuruuuruuurrBACA)BACAOA(uuuruuur()e|BA||CA|cb對上式兩邊取模長，并由(1)可得：uuuruuuruuurrBACA|OA||(uuuruuur)||e||BA||CA|uuurr|OA|rsinA|e|由SABCSAOCSBOCSAOB可得：SABC1A(正弦定理)bcsin2111SAOCSBOCSAOBbrarcr2221(abc)r2rbcsinAabc即：uuuruuuruuuruuuruuurbc(BACABACAOAuuuruuur)()|BA||CA|abccb依照前面充分性的證明過程逆推：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurbc(BACA)bc(BOOACOOA)OAaabccbbccbbuuuruuurcuuuruuurabc(BOOA)ab(COOA)cuuurbuuurcuuurbcuuurOABOCOOAabccababcuuurbcuuurbuuurcuuurOAabcOAbcBOabCOacau