廣東省河源市順天中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試卷含解析

廣東省河源市順天中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）A．（19+π）cm2 B．（22+4π）cm2 C．（10+6+4π）cm2 D．（13+6+4π）cm2參考答案：C【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的柱體，代入柱體表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的柱體，（也可以看成是一個三棱柱與半圓柱的組合體），其底面面積S=×2×2+π=（2+π）cm2，底面周長C=2++=（2+2+π）cm，柱體的高為3cm，故幾何體的表面積S=2×（2+π）+（2+2+π）×3=（10+6+4π）cm2，故選：C．2.曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為（

）A.2x+y+1=0

B.2x-y+1=0

C.2x-y-1=0

D.x-2y+1=0參考答案：B略3.已知全集，集合，則CUA=A．

B．

C．

D．參考答案：C4.若M={(x，y)||tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，則M∩N的元素個數(shù)是（

）

(A)4

(B)5

(C)8

(D)9參考答案：D解：tanpy=0，y=k(k∈Z)，sin2px=0，x=m(m∈Z)，即圓x2+y2=2及圓內(nèi)的整點數(shù)．共9個．選D．5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289

B.1024

C.1225

D.1378

參考答案：C解析：由圖形可得三角形數(shù)構成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構成的數(shù)列通項，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C.6.已知平面向量，，且，則＝A. B. C.5 D.13參考答案：B【分析】根據(jù)向量平行求出x的值，結合向量模長的坐標公式進行求解即可．【詳解】且，則故故選B.【點睛】本題考查向量模長的計算，根據(jù)向量平行的坐標公式求出x的值是解決本題的關鍵．7.過雙曲線的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，若垂線的延長線與軸的交點坐標為，則此雙曲線的離心率是 （A） （B） （C） （D）參考答案：D考點：雙曲線因為焦點到直線的距離為b，所以

即

故答案為：D8.兩條異面直線在同一個平面上的正投影不可能是

A.兩條相交直線

B.兩條平行直線

C.兩個點

D.一條直線和直線外一點參考答案：C略9.已知：如圖的夾角為的夾角為30°，若等于 （

）A． B．C． D．2參考答案：D10.設實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x2+y2的最小值為（）A．B．10 C．8 D．5參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可得到結論．【解答】解：實數(shù)x，y滿足約束條件的可行域為：z=x2+y2的幾何意義是可行域的點到坐標原點距離的平方，顯然A到原點距離的平方最小，由，可得A（3，1），則z=x2+y2的最小值為：10．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.參考答案：12.已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，則+的最小值是

．參考答案：4【考點】基本不等式在最值問題中的應用；對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，結合題意可得，x+3y=1；再利用1的代換結合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，則x+3y=1，進而由基本不等式的性質(zhì)可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，當且僅當x=3y時取等號，故答案為：4．【點評】本題考查基本不等式的性質(zhì)與對數(shù)的運算，注意基本不等式常見的變形形式與運用，如本題中，1的代換．13.已知,則sina+cosa=______________.參考答案：略14.一個人把4根細繩緊握在手中，僅露出它們的頭和尾，然后另一人每次任取一個繩頭和一個繩尾打結，依次進行直到打完4個結，則放開手后4根細繩恰巧構成4個環(huán)的概率為．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)n==16，由此能求出放開手后4根細繩恰巧構成4個環(huán)的概率．【解答】解：一個人把4根細繩緊握在手中，僅露出它們的頭和尾，然后另一人每次任取一個繩頭和一個繩尾打結，依次進行直到打完4個結，基本事件總數(shù)n==16，∴放開手后4根細繩恰巧構成4個環(huán)的概率為：p=．故答案為：．15.已知數(shù)列{an}中，a1=,an+1=an+，則an=________．參考答案：或或16.以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為，則與公共點的個數(shù)為

參考答案：【知識點】參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的互化；點到直線的距離公式.N3

H2【答案解析】2

解析：，，所以有兩個交點.【思路點撥】先把參數(shù)方程、極坐標方程轉化為普通方程，再利用點到直線的距離公式即可.17.已知，，，則的最小值是____▲_____.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).(Ⅰ)當時，求的極值;

(Ⅱ)當時，討論的單調(diào)性;(Ⅲ)若對任意的恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解:(1)當時,∴

在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)

∴

的極小值為,無極大值

(2)

①

當時,在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù);

②當時,在上是減函數(shù);

③

當時,在和上是減函數(shù),在上是增函數(shù)(3)當時,由(2)可知在上是減函數(shù),∴

由對任意的恒成立,∴

即對任意恒成立,

即對任意恒成立,

由于當時,,

∴

略19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，已知，，于E.（1）求證：；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求二面角的余弦值.參考答案：（1）連接，∵，，是公共邊，∴，∴，∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴.（2）法一：過作于，連接，∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，又平面，∴，又，∴平面，∴為二面角的平面角，∵，，，，∴，，又，所以，∴，，，∴二面角的余弦值為.法二：由平面，平面平面，所以，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示.因為，，，所以，，，則，，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，則，又平面的一個法向量為，設二面角所成的平面角為，則，顯然二面角是銳角，故二面角的余弦值為.

20.已知橢圓的離心率為，以橢圓的上焦點F為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓左頂點做兩條互相垂直的直線，，且分別交橢圓于M、N兩點（M、N不是橢圓的頂點），探究直線MN是否過定點，若過定點則求出定點坐標，否則說明理由.參考答案：(1)(2)MN恒過定點，見解析【分析】（1）由題得，，解方程組即得橢圓的方程；（2）設的方程為，的方程為，當斜率存在時，的方程為，過定點，當MN的斜率不存在時，也過定點.即得解.【詳解】（1）∵，∴，設圓的方程為，圓心為，半徑為，設為圓心到直線的距離，則，∵，∴，即，，∵，∴.所以橢圓的方程為.（2）設的方程為，的方程為，聯(lián)立，可得，整理，設，∵不是橢圓的頂點，∴，代入，得，，聯(lián)立，設，∴，帶入，得，，①若斜率存在，，：

恒過.②若斜率不存在，的方程為，的方程為，，，此時：，亦過，綜上，直線恒過.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求法，考查直線和橢圓中的直線過定點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.21.為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力，按視力情況分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，但不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，只知道前6組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列{)的前六項，后3組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列{}的前三項． (I)求數(shù)列{)和{)的通項公式； （Ⅱ）設數(shù)列，求數(shù)列{的前n項和Sn.參考答案：略22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講如圖，過圓外一點作一條直線與