【全國通用高考數(shù)學(xué)一輪導(dǎo)學(xué)案】第五章-§54-數(shù)列求和課件

數(shù)學(xué)浙（文）§5.4

數(shù)列求和第五章數(shù)列數(shù)學(xué)浙（文）§5.4數(shù)列求和第五章數(shù)基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高1.求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝

＝

.②等比數(shù)列的前n項和公式(Ⅰ)當(dāng)q＝1時，Sn＝

；na1(Ⅱ)當(dāng)q≠1時，Sn＝

＝

.1.求數(shù)列的前n項和的方法Sn＝(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(2)分組轉(zhuǎn)化法(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.(5)錯位相減法2.常見的裂項公式2.常見的裂項公式思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)√√思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.(

)××√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式返回(6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)√返回(6)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法題號答案解析1234

EnterAB50題號答案解析1234EnterAB50解析因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.解析因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，例1

已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和解析思維升華例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和解Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，解析思維升華例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和解析思維升華例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1例1

已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項和Sn.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)特點進行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn)化.特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.解析思維升華例1已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1跟蹤訓(xùn)練1

(1)數(shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}前12項和等于(

)A.76

B.78

C.80

D.82解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，

①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，

②由①②得an＋2＋an＝(－1)n·(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.B跟蹤訓(xùn)練1(1)數(shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，則數(shù)列{an}的通項公式an＝__________，其前n項和Sn＝__________________.解析由已知得數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，則數(shù)列{an}的通項公式an＝__________，其前n項和Sn＝__________________.3n－1＋2n(2)已知數(shù)列{an}的前n項是3＋2－1,6＋4－1,9＋例2

已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和思維點撥解析例2已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.題列方程組求{an}的首項、公差，然后寫出通項an.例2

已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和思維點撥解析列方程組求{an}的首項、公差，然后寫出通項an.例2已知解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.例2

已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型二錯位相減法求和思維點撥解析解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差故an＝3＋(n－1)·(－1)(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)q＝1時，bn為等差數(shù)列，直接求和；q≠1時，用錯位相減法求和.(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華q＝1時，bn為等差數(shù)列，直接求和；q≠1時，用錯位相減法求(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解由(1)得，bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.若q≠1，將上式兩邊同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.兩式相減得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1思維點撥解析思維升華(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)(1)錯位相減法是求解由等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}對應(yīng)項之積組成的數(shù)列{an}，即an＝bn×cn的前n項和的方法.這種方法運算量較大，要重視解題過程的訓(xùn)練.(2)注意錯位相減法中等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用范圍.(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.思維點撥解析思維升華(1)錯位相減法是求解由等差數(shù)列{bn}和等比數(shù)列{cn}對(1)求數(shù)列{an}的通項公式；又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差數(shù)列，∴2(S2＋a2)＝S1＋a1＋S3＋a3，變形得S2－S1＋2a2＝a1＋S3－S2＋a3，(1)求數(shù)列{an}的通項公式；又∵S1＋a1，S2＋a2，即得3a2＝a1＋2a3，即得3a2＝a1＋2a3，【全國通用高考數(shù)學(xué)一輪導(dǎo)學(xué)案】第五章-§54-數(shù)列求和課件∴n的最大值為4.∴n的最大值為4.例3

(2014·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型三裂項相消法求和例3(2014·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n例3

(2014·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；題型三裂項相消法求和由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.例3(2014·山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n解析思維升華解析思維升華當(dāng)n為偶數(shù)時，解析思維升華當(dāng)n為偶數(shù)時，解析思維升華當(dāng)n為奇數(shù)時，解析思維升華當(dāng)n為奇數(shù)時，解析思維升華利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.解析思維升華利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后(1)求Sn的表達式；即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，

①(1)求Sn的表達式；即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，由題意得Sn－1·Sn≠0，由題意得Sn－1·Sn≠0，【全國通用高考數(shù)學(xué)一輪導(dǎo)學(xué)案】第五章-§54-數(shù)列求和課件審題路線圖系列4四審結(jié)構(gòu)定方案審題路線圖系列4四審結(jié)構(gòu)定方案審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒↓Sn是n的二次函數(shù)n＝k時(Sn)max＝Sk＝8↓(根據(jù)Sn的結(jié)構(gòu)特征確定k值)↓利用an、Sn的關(guān)系審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒↓Sn是n的二次函數(shù)↓利用an、Sn的關(guān)系審題路線圖↓根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定求和方法：錯位相減法審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒↓根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定求和方法：錯位相減法審題路線↓①式兩邊同乘以2↓錯位相減審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒↓①式兩邊同乘以2↓錯位相減審題路線圖規(guī)范解答3分

6分

審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒3分6分審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒8分

審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒8分審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒12分

14分

審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒12分14分審題路線圖規(guī)范解答溫馨提(1)根據(jù)數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)特征和最值確定k和Sn，求出an后再根據(jù){}的結(jié)構(gòu)特征確定利用錯位相減法求Tn.在審題時，要審題目中數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征判定解題方案；(2)利用Sn求an時不要忽視n＝1的情況；錯位相減時不要漏項或算錯項數(shù).(3)可以通過n＝1,2時的特殊情況對結(jié)論進行驗證.審題路線圖規(guī)范解答溫馨提醒返回(1)根據(jù)數(shù)列前n項和的結(jié)構(gòu)特征和最值確定k和Sn，求出an方法與技巧非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想：(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相消來完成；(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和.方法與技巧非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種失誤與防范1.直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進行討論.2.在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號；結(jié)論中形如an，an＋1的式子應(yīng)進行合并.3.在應(yīng)用裂項相消法時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項則后剩多少項.返回失誤與防范1.直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范2345678911023456789110234567891012345678910123456789101答案A23456789101答案A2.已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(

)A.0

B.－100

C.100

D.1020034567891102由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，2.已知函數(shù)f(n)＝n2cosnπ，且an＝f(n)＋f得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.答案B34567891102得a1＋a2＋a3＋…＋a100345678911023.數(shù)列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十項，且其和為240，則a1＋…＋ak＋…＋a10的值為(

)A.31 B.120

C.130D.18524567891103解析a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)C3.數(shù)列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十項，4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項和Tn等于(

)A.6n－n2

B.n2－6n＋18235678911044.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|解析∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，且首項為－5，公差為2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3時，an<0，n>3時，an>0，23567891104答案C解析∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差數(shù)列，23567823467891105A.－10 B.－9C.10D.9解析數(shù)列的前n項和為23467891105A.－10 B.－923467891105∴n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，∴在y軸上的截距為－9.答案B23467891105∴n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝23457891106∴an＋2＝an，則a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，623457891106∴an＋2＝an，則a1＝a3＝a5＝234568911072345689110723456891107公差為－1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成了首項為1，公差為1的等差數(shù)列，通過分組求和可得23456891107公差為－1的等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成了首項234567911082345679110823456791108答案100723456791108答案100723456781109(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；又bn＝

－2，故bn＝3n－2(n∈N*).23456781109(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；又bn23456781109(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.23456781109(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.23456781109兩式相減，得23456781109兩式相減，得23456789110(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn＋1>0.23456789110(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；得23456789110所以Sn＝n2＋n(n∈N*).n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1時，a1＝S1＝2適合上式.∴an＝2n(n∈N*).23456789110所以Sn＝n2＋n(n∈N*).23456789110證明由an＝2n(n∈N*)得23456789110證明由an＝2n(n∈N*)得234567891102345678911023456789110234567891101213141511121314151111.已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，…，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2014項之和S2014等于(

)A.2008

B.2010

C.1

D.01213141511解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.11.已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.答案B1213141511故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1，－200812.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于(

)121314151112.1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于()1解析當(dāng)n為偶數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)1213141511當(dāng)n為奇數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2解析當(dāng)n為偶數(shù)時，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n21213141511答案C1213141511答案C1213141511(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.1213141511(1)a3＝________；解析∵an＝Sn－Sn－11213141511解析∵an＝Sn－Sn－112131415111213141511根據(jù)以上{