2021全國高考數(shù)學理科沖刺壓軸模擬卷含答案解析

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2021全國高考數(shù)學理科沖刺壓軸模擬卷含答案解析

2021年全國高考沖刺壓軸卷(四)

理科數(shù)學

注意事項：

1.本卷滿分150分,考試時間120分鐘，答題前.先將自己的姓名、準考證號填寫在試題

卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答:每小題選出答案后.用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在

答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

5.考試結束后.請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.設集合M=(工,/49>.N=｛工|y=ln(1.則％(M。.、)=

A.[-3,1]B.C-3.1)

C.(-OC.-3)UE1.+=C)D.(-8,-3)U(l，+8)

2.已知復數(shù)u=^(i為虛數(shù)單位)?則u的共挽復數(shù)是

01

3.已知函數(shù)/(7)的導函數(shù)為/(.r),/(x)=a-ln1+3工/"(1),則/(e)=

A.--1-B.—yC."I"D.一"

4.已知向量a.b為非零向量.則“向量a.b的夾角為180"'是"a〃b”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

'3?r+y2l?

5.已知變量z?y滿足約束條件《/一2321,則二=I+2y的最大值為

A.一■z-B.-8C.3D.4

6.北京衛(wèi)視大型原創(chuàng)新銳語言競技真人秀節(jié)目《我是演說家，火爆熒屏.在某期節(jié)目中.共有2

名女選手和1名男選手參加比賽.已知備選演講主題共有2道,若每位選手從中有放回地隨

機選出一個主題進行演講.則其中恰有一男一女抽到同一演講主翹的概率為

A.4-B.4-C.D.；

4234

7.已知-y.y)?且12sin2a—5cosQ=9.則cos2a=

1B.-yc.--YD.-j-

I

[2021高考沖刺壓軸卷(四)?理科數(shù)學

8.某幾何體的三視圖如圖所示.則該幾何體的表面積為

A.尹與+&B.1+店+專

。號+與+尊D.+72

9.已知拋物線y=8x的準線為/.點P是拋物線上的動點.宜線/,

的方程為2工一3+3=0.過點P分別作PMJJ,垂足為M.PNJL

，「垂足為N,則IPMI+IPN|的最小值為

A./R喳C.75

00

10.已知等差數(shù)列｛a,｝是遞減數(shù)列.S,,為數(shù)列｛?.1的前，，項和.若S,，四一S,017X0.則下

列結論正確的是

A.020VOR“2Q21>。

C.Ia2o2il<la21>2olD.當S“取得最小正數(shù)時,"=4039

11.如圖所示,“倫敦眼（TheLondonEye”'坐落在英國倫敦泰晤士河畔.是

世界上首座觀景摩天輪.同時也是倫敦的地標.“倫敦眼”為慶祝新千年

2000年而建造.因此又稱“千禧摩天輪”.乘客可以乘坐“倫敦眼”升上半

空,鳥瞰倫敦.??倫敦眼”共有32個乘坐艙,按旋轉順序依次為1?33號

（因宗教忌諱,沒有13號），并且每相鄰兩個乘坐艙與旋轉中心所成的圓

心角均相等.已知乘客在乘坐艙距離地面最近時進入.，min后距離地面的高度/（，）=

Asin（3r+p+B（A>0.s>0哼6（0.20）.一倫敦眼”的旋轉半徑為60m,最高點距地面

135m,旋轉一周大約30min,現(xiàn)有甲乘客乘坐11號乘坐艙，當甲乘坐“倫敦眼”15min時,乙

距離地面的高度為（75+30?。﹎.則乙所乘坐的艙號為

A.7或15B.6或15C.7或16D.6或16

12.已知雙曲線《一￡=1心>0.〃>0）的右焦點為（2.0）.且雙曲線的一條漸近線的斜率為6.

aa

型曲琴焦兩且垂直于工軸的直線交雙曲線左支于A,B兩點,雙曲線上任意一點P滿足

市+”05.則下列說法正確的是

A.,”“有最小值。B.有最小值2C.,""有最大值！D.有最大值上

O10O10

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知二項式的展開式中.常數(shù)項為14.則實數(shù)&=

14.某程序框圖如圖所示.則該程序運行后輸出了的值為.

15.方程1。&（『7-1）一l=lo&（2'T-D的解為.

16.已知數(shù)列儲“｝的各項均為正數(shù)回=3,竽=6a.+ai（”eN'）也=

<+14">1、.數(shù)列（4》的前“項和為S”.若入VS.V”對任意正整

數(shù)〃都成立.則人一〃的取值范圍是.

【2021高考沖刺壓軸卷（四）?理科數(shù)學第2頁（共4頁）】

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（本小題滿分12分）

在△ABC中.角A.B.C的對邊分別為Ar.B.C均為銳角.且滿足6sinB+rsinC=a.

（1）證明:Z\ABC是宜角三角形；

（2）若△ABC面積為8,求△ABC的周長的最小值.

18.（本小題滿分12分）

如圖.在三棱錐P-ABC中，PA=PC=AB=BC=AC=2.平面PAC_L平面ABC.點G是

△ABC的重心.點M是線段PB上一點,且PM翼.

（D證明:MG_LAB；

（2）求PG與平面PAB所成角的余弦值.

19.（本小題滿分12分）

據(jù)了解.現(xiàn)在快節(jié)奏的工作、不健康的生活方式，使人們患上“三高（高血壓、高血脂、高血

糖）”的幾率不斷升高，患病人群也日漸趨向年輕化.為提高轄區(qū)居民個人健康管理意識.了

解,,三高”相關知識,某社區(qū)邀請市專家協(xié)會主任醫(yī)師舉力'“三高”專題健康知識講座.為轄區(qū)

居民解答健康疑問.講座結束后，對參加市民舉行網(wǎng)絡問卷調(diào)查.每一位市民僅有一次參加

機會?通過隨機抽樣?得到參加問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù).統(tǒng)計結果如下

表所示：

組別[0.20)[20.40)[40,60)[60.80)E80.100j

頻數(shù)2010203020

（1）求這100人得分的及格率（60分及以上為及格）.

（2）求這100人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.

（3）社區(qū)為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分及格的可以獲贈2次隨機話費.得分不及格的可以獲贈1次隨機話費;

②每次贈送的隨機話費和對應的概率如下表：

贈送的隨機話費（單位:元）2040

概率J.1

4T

將這100人得分的及格率作為參加問卷調(diào)查及格的概率.記X（單位:元）為某市民參加

問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列及數(shù)學期望.

20.(本小題滿分12分)

已知橢圓C：馬+g=l(a>b>0)的離心率為專，兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面

aoo

積為4&.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)我們稱圓心在橢圓C上運動，半徑為胃的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過原點O作橢圓C的

“衛(wèi)星圓”的兩條切線.分別交橢圓C于A,B兩點，若直線OA.OB的斜率存在.記為

①求證晶燈為定值；

②試問|OA|2+|OB|2是否為定值？若是,求出該定值;若不是，請說明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=er-(x4-a)ln(x+a)+x(a^R).

(D當”=-2時.求函數(shù)g(x)=/(x)-ex+x2的圖象在工=3處的切線方程.

(2)若函數(shù)義工)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù).

①求整數(shù)a的最大值；

②證明：In2+(in)+(ln5)+…+(in].

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計分。

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系工。>中,已知曲線C1的參數(shù)方程為JH=&C°S，，G為參數(shù)).曲線c?的

l3,==sin0

參數(shù)方程為｛:二J'+乃'a為參數(shù)).

(1)寫出曲線的普通方程；

(2)若點P在曲線C1上，求點p到曲線c?距離的最大值.

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)〃H)=|H+1|.

(1)求不等式/(外〈13工一2|-5的解集A；

(2)在(1)的條件下，證明：對于任意的a.bCA,都有成立

沖刺卷?理科數(shù)學（四）參考答案

1.C根據(jù)題意.可知M=（x/49}={工[-KJ＜3},N={H.V=ln（l-j-）}=（x,故MDN={z|-34

工＜1},所以={工1工＜一3或工》】）.故選C.

2.D工=招=潸黯p二虢=一十+打則=的共匏復數(shù)是一十一會.故選D.

3.C由/（H）=*n工一3工/（1）求導得/（幻=卜工-1+3/（1）,令工=1.可得/（1）=1111+1+3，（1）,解得

/⑴=—1?.所以fCrXlnx-■，所以/（e）—故選C.

4.A由a）的夾角為180',可得a〃瓦充分性成立；當a〃b時.不能推得a.b的夾角為180°,有可能a.b的夾

角為0".必要性不成立.所以“a,&的夾角為180"'是，〃，’的充分不必要條件.故選A.

5.C作出約束條件1工一2〉＞1.表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.聯(lián)立”+,1|「"2'L2L1

g仔=2U,2禧方匕；=2,

'解得《1則點A（2.3）.當直線z=z+2y經(jīng)過可行域內(nèi)的點1

'x-2j=i,[y=f，\

人（2.1-）時,目標函數(shù)2=工42,取得最大值》=2+2*+=3.故選C.

6.B根據(jù)題意，設2道備選演講主題分別為Ag§,B題，所以抽取情況共有：AAA.AAB,ABA..4BB.BAA,

BAB.BBA.BBB,其中第1個,第2個分別是兩個女選手抽取的題目,第3個表示男選手抽取的題目,一共有

8種;其中滿足恰有一男一女抽到同一題目的事件有：ABA.ABB.BAA.BAB,共4種,所以根據(jù)古典概型的

概率公式,可得其中恰有一男一女抽到同一演講主圖的概率為三.故選B.

7.B因為12sir?a-5cosa=9,所以12（1—cos:a）—5cosa=9.fiP（3cosa-IXlcos。一3）=0.所以cose=-1-

或cosa=一■I*.因為aW（一"I",號）.所以cosa＞0.所以cosa=y.所以cos2o=2cos;a—1=一?故選K

8.A由三視圖可知.該幾何體是一個四棱錐，如圖所示.其底面是長、寬分別為2,1的長

方形.一條倒棱垂直于底面.高為1.故其表面積為S=2X1++X1X1++X1X2+

plX++X2XVT+F=卜+g+笈.故選A.

9.B由題意可知,拋物線的焦點為F（2.0）,根據(jù)拋物線的定義，|PM=|PF,所以

|PM|+|P.V|=|PF|+IP.V|^|FN|＞12X2+31=故選R

/22+（-l）:5

10.D因為S,1Ml，（0加一冬。”）^）,所以4040儲廣即"）＞＜3%“。＜0.所如的（508+如出）＜0,因為等差數(shù)

列{a.）是遞減數(shù)列.所以公差d＜0,所以a?on＞0，%網(wǎng)上％由＜0,所以a?皿＜0.且Ia?°aI＜!%⑼,因為

S1O3,=4O39a8MC＞O.S（?o=2020（a“g-a”“）＜0,所以當S.取得最小正數(shù)時,"=4039.故選D.

【沖刺卷?理科數(shù)學參考答案第19頁（共36頁）】

11.C因為最高點距地面135m.即/")z=A+B=135①.又因為“倫敦眼”的旋轉半徑為60m,所以最低點

距地面135-60X2=15m.即f")m=-A+B=15②.聯(lián)立①②,解得A=60.B=75.又??倫敦眼”旋轉一

周大約30min.所以周期丁=女=30,所以3=親=表.所以f")=60sin屋，+Q+75.又因為八0)=

60sinq+75="15?解得sing=—1,因為華￡(0?2八),故.=竽，所以/(f)=60sin(金，+竽)+75=

-60cos帝+75.?。?.30］令/⑺=75+30笈得“?；蚨肯噜弮蓚€乘坐艙與旋轉中心所成的圓心

角為矗,故每相鄰兩個乘坐艙旋轉的時間間隔為E=Hmin.當―片時?乙比甲晚出發(fā)15-弓=￥min?

10K10444

15

15

甲乙相差去=4個乘坐艙,由于沒有13號,所以乙在16號乘坐艙.當「竽時?乙比甲早出發(fā)?一15=

16

15

￥min.甲乙相差個乘坐艙.此時乙在7號乘坐艙.故選C.

413

16

12.D因為雙曲線5—*=1、>0.6>0)的右焦點為(2.0).所以/+6：=4①.又雙曲線的一條漸近線的斜

率為G，所以，=6②.聯(lián)立①②.解得,所以雙曲線方程為/一《=1.又直線AB的方程為

-2.

工=一與雙曲線方程聯(lián)立，得<解得(l-或產(chǎn)一一所以設

2,?v22?A(_2.3)?B(-2,-3).

/一1=1,6=3,l>=-3.

P(?r?y),則由QP=〃iQA+〃OB?可得(工.))=〃1(-2.3)+水一2?-3)?所以jr=-—.y=3(m—〃).

乂因為點P是雙曲線上任意一點,代人雙曲線方程,可得+一"號狀=1，化簡得加+，/+

14〃〃1=1,即"/+/=】一14m兒又因為〃『十(當且僅當m=n時等號成立)，即1一14〃5》2，〃〃.即

16小〃41?解得z/iwCA.所以mn有最大值故選D.

1010

13.2因為二項式(sr'-點)"的通項公式為T-嚴&(?/>'-，?(一言)=(一"?廣’?令

21—與=0.解得r=6,所以常數(shù)項為(-D'?a"'?C=14.解得a=2.

14.122初始值:1滿足”<10,

第一次運行，［=3*1-】=2.”=1+2=3;"=3滿足"<10：

第二次運行.*=3X2—1=5.”=3+2=5；”=5滿足”<10；

第三次運行.±=3X5-1=14."=5+2=7；”=7滿足”<10；

第四次運行??r=3X14-l=41.”=7+2=9;”=9滿足n<10s

第五次運行.工=3X41—1=122.”=9+2=1L”=11不滿足“<10.輸出工的值為122.

15.3令2—="，>0),所以原方程可化為1。&㈠一i)-i=io&-由對數(shù)函數(shù)的定義域.可得

(r—1>0.,產(chǎn)一1r—1

解得,>1.乂由b*(*-1)—l=log;(f—1),可得log一二一=log；(f—1),所以一二一=f-1?化

U—1>0.s°0

筒可得『一次+4=0?解方程可得/=4或f=l(舍去).所以1=4,即2'T=4?即2'7=2'?所以/-1=2,解

得2=3.

t沖刺卷?理科數(shù)學參考答案第20頁(共36頁)】

16.(一8?一■)因為？」=64-a—?所以a…a.-6a：=0.所以(a“+i—%,)(右7+2a“)=0,因為

數(shù)列儲/的各項均為正數(shù),所以a?7+2a”>0?所以,所以數(shù)列｛4是以3為首項?3為公比的等

比數(shù)列?所以“產(chǎn)3??所以4=仁+］吃「］廣客；(?<)=±_出.所以數(shù)列他)

的前“項和s.=(#j_/)〒(±―*］)+…+(±一出1)=十一藜七1<十.因為

數(shù)列是遞增數(shù)列,且，，所以當時有最小值部所以/因為“對任意

-5>EN，”=1,S.4sl.c+.A<S.<

正整數(shù)”都成立?所以人〈會“'9,所以一“《一十,所以人一“<一七,所以；1一”的取值范圍

是(一xl七)?

17.(1)證明：由正弦定理.得*in?B+?in'C=sinA,

因為sinA=sin(B-FC)=sin8cosC'+cosBsinC.

所以sinB(sinB-cosC)=sinC(cosB-sinC).(*).....................................................................1分

假設ZiABC不是直角三角形,B+CA|?.則B+C>｝或(XB+CC。.........................2分

當B+O^時

因為B.C均為銳角.所以sin3>sin(-y—C)=cosC.cosB<cos(—C)=sinC.sin8>0.sinOO.

所以sinB—cosOO.cosB-sinCVO?顯然(*)不成立；.....................................I分

當0V"CV-1?時,0VBV號-C?

因為B.C均為銳角?所以sinB<Isin(￡?-C)=cosC.cosB>cos(-y-C)=sinC.sin3>0.sinC>0.

所以rin3-covCVO.covB—sinOO.顯然(*)不成立......................................6分

所以假設不成立.B+C=*f.即△ABC是直角三角形..........................................7分

(2)解：由(1)可知"BC是背角三角形,八是比角.

所以△ABC的闔積S-1?加=8.所以6r=16.......................................................................................8分

所以△ABC的周長/=“""■/，+<■=V>>'—c'V21K_2i/6r=172~8.......................................10分

(當口僅當6=(■時等號成立3.................................................................................................................11分

所以△ABC的周氏的最小值為J4一8...............................................................................................12分

18.(1)證明:連結BG并延K交AC于點().連結P。

因為點G是的重心.

所以改)是rlABC中AC邊上的中線.所以點。是AC的中點.

因為PA-PC,所以PO_LAC..................................................................................................................2分

因為平面PAC_L平面ABC.平面PACA平面ABC=AC.POC平面PAC.

所以PO1平面ABC..............................................................................................................................3分

因為BOC平面八8cABU平面ABC.所以P()_1X).P()±AB...............................................................I分

因為PA=PC'=AB=BC=AC=2.所以BO=PC=6.所以PB=R.

因為PM=,="1?PB.OGT(亞

所以MG/7Po.........................................................................................................................................5分

所以，MG_LAH.......................................................................................................................

【沖刺卷?理科數(shù)學參考答案

(2)解：以。為坐標原點。氏OC.QP所在直線分別為I軸?y軸小軸建

立如圖所示的空間宜角坐標系.則A(0?一1.0),B(萬.0.0),P(0?0?

久3G(g.0.0).

所以#=(0?1?@?前=(一反0?6)花=(曰.0.一⑸.……7分

y

設n=(.r?6=)為平面PA8的一個法向址?則

”?薩=0.1，+6==0.

?BP=0.1-萬/+6==0.

令/=1.得〃=(1?一々?1).....................................................................9分

設PG與平面PA8所成的角為夕(ee[o.g])?則

3

sine=Icos<n.PG>|=旦?匹'=--'~^?___==4....................................................................11分

/T+3^T.7±^3

/

所以cos9=\/l-sin'g='J^.

即PG與平面PAB所成角的余弦值為冬.

12分

19.解:(1)這100人得分的及格率為當掙=50%...............................................................................................2分

1UU

(2)這100人得分的平均值為10X0.2+30X0.H-50X0.2T70X0.3T90X0.2=54(分)........4分

(3)根據(jù)題意.獲贈的話費X的可能值有20.40.60.80元.....................................6分

得20元的情況為得分不及格.概率P(X=20)=+x+=1；

得如元的情況有一次機會獲40元.或者2次機會都是20元.概率P(X=40)=-1-X^-+-1x^-X-^=1|l

得60元的情況為兩次機會.一次10元一次20元,概率P(X=6O)=^-X2X-1-xi=^!

得80元的情況為兩次機會.都是40元.概率為P(X=80>=+X+X!=J.......................................9分

所以變iitX的分布列為：

X20406080

P313

321632

所以E(X)=20X*1+.10X居+60X條+80入擊=泉.....................................12分

工=李，

2。.解:⑴設四的半焦距為,.由精圓的性質.可得反..................................I分

la*=后-rr.

解得〃=屈?〃=笈......................................................................2分

所以橢圓(?的標準方程為今十卷=1................................................................................................................3分

0L

(2)①證明：設切級().\的方程為.、，=54切線OB的方程為.'，=生上.

橢即衛(wèi)星對’的圓心坐標P(，7).半徑r清鳴..................................................................................4分

【沖刺卷?理科數(shù)學參考答案第22頁(共36頁)】

因為點P在橢圓上.所嗎+，=L

瓦乂-

因為宜線與橢圓“衛(wèi)星網(wǎng)''相切?則由點到直線的距離公式可得IM=R

-12

化簡得(2r-3)后一l.rvZr,+2V:-3=0...............................................................................................5分

同理?由宜線(出與橢網(wǎng)??衛(wèi)星圓”相切可得(2/：—3)后一J.Y生一2.\；—3=0?.................................6分

所以k}.k：是關于k的方程（2.r?-3）內(nèi)一LjvS-3=0的兩個不相等的實數(shù)根.

所以2.d—3Ho?△=161二y.-1（2.r：—3）（2v'—3）=16.r'—12>0.

獷-3KHZ⑵L3）

所以后2x

2.r."-3"'―32M—3

所以電刈為定值一孑.....................................................................8分

②解：設A（.F1.v；）?B（.r..v_）.

聯(lián)立J—得.............................................9分

62U

同理可得一闔?工=禺?........................................................10分

因為3壇=_].

后必好一盅)

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所以QA.+“出卜=芍+與十臬一.V尸匚■+口總=,+^^馬了

二6+6后2?18氐_8-24后二

-1+3后一1-3后一]+3后―.

所以。1產(chǎn)上(出,為定值8...............................................................................................................12分

21.解：(1)當a=一2時?/Q)=e-Cr-2Hn(i-2)+.r?

所以g(.r)=/(.r)—4-j-=x'-(.r-2)ln(j,-2)+工

所以“(3)=3?-3=12,即切點為(3.12)...............................................................................................1分

又/J)=2.r—[ln(.r—2)-1n-1=2./,一ln(.r—2>.

所以*'(3)=6?即切線的斜率為6.

所以函數(shù)乂(」?)的圖象住處的切線方程為卜一12=6&-3).即6.T-.V—6=0..............................3分

(2)由即意知/(.r)=e'-In(.rH-cz).

若函數(shù)在定義域上.為單謊I增函數(shù)?則八廣)》0恒成立..

①先證明(*'2/上1.設g(.r)=e/.r—1?則^(.r)=c'—1.

令/(T)V。?得/V(h令?得.r>0.

所以函數(shù)人(/)在(一?0)上單調(diào)遞減?住(。.一)上單調(diào)遞增.

所以K(.r)郵0〉=0?即一>，+1.當且僅當彳=。時等號成立..................................I分

同理?可證Ini&」?一I.所以ln(-1?當且僅當.4——1時等號成立■.....................5分

由于I?.述兩個不等式取等號的條件不同?所以c'>ln(」?十2).

肖。42時?/(?)>()恒成立：

當”23時?/"())=]一出"V0?即/(1)=d一1水/4公不恒成立.

綜上所述?整數(shù)，，的最大值為2...............................................................................................

【沖刺卷?理科數(shù)學參考答案第23負(共36所)】

②由①知,e'>ln(1+2>.令#=二^.則e-JTJ>ln(2LY^-J-2)=lnL^.

所以/'-'>(In叩)...................................................................9分

由此可知.當，=1時.e">ln2.當，=2時.，1>(、等):

當/=3時,e….當’=“時.e"*'>(ln^),...............................................................10分

累加得e”-eJf:+”?+e>ln2-(In')4-(