第一周 集合-2024屆高考數(shù)學(xué)大單元每周拔高練【新高考版】（含解析）

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大單元每周拔高練

1.已知集合，，若中有三個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值集合為()

A.B.C.D.

2.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合是()

A.B.C.D.

3.設(shè)數(shù)集M同時(shí)滿足條件：

①M(fèi)中不含元素-1，0，1，

②若，則.

則下列結(jié)論正確的是()

A.集合M中至多有2個(gè)元素B.集合M中至多有3個(gè)元素

C.集合M中至少有4個(gè)元素D.集合M中有無窮多個(gè)元素

4.設(shè)所有被4除余數(shù)為的整數(shù)組成的集合為，即，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.B.

C.，，則D.，則，

5.將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，這種有理數(shù)的分割就是數(shù)學(xué)史上有名的戴德金分割.試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)不可能成立的是()

A.M有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

C.M沒有最大元索，N有一個(gè)最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素

6.定義集合，若，，且集合中有3個(gè)元素，則由實(shí)數(shù)n的所有取值組成的集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為()

A.2B.6C.14D.15

7.規(guī)定：在整數(shù)集Z中，被7除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“家族”，記為，即，，給出如下四個(gè)結(jié)論：

①；

②；

③若整數(shù)a，b屬于同一“家族”，則；

④若，則整數(shù)a，b屬于同一“家族”.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

8.已知，，其中，，若，，且的所有元素之和為56，則()

A.8B.6C.7D.4

9.（多選）中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問物幾何”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)x為()

A.8B.128C.37D.23

10.（多選）設(shè)A為非空實(shí)數(shù)集，若對(duì)任意，都有，，且，則稱A為封閉集.下列敘述中，正確的有()

A.集合為封閉集

B.集合為封閉集

C.封閉集一定是無限集

D.若A為封閉集，則一定有

11.（多選）集合，集合，則集合可表示為()

A.B.C.D.

12.（多選）用表示集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值可能是()

A.B.0C.1D.

13.設(shè)，集合，，若，則實(shí)數(shù)___________.

14.設(shè)全集，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最??；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第23位的子集是__________.

15.已知有限集(，)，如果A中的元素滿足，就稱A為“復(fù)活集”，給出下列結(jié)論：

①集合是“復(fù)活集”；

②若，則不可能是“復(fù)活集”.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為___________.

16.若集合，，，，且滿足集合A中最大的數(shù)大于集合B中最大的數(shù)，則稱有序集合對(duì)為“兄弟集合對(duì)”.當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有___________對(duì).

17.定義：若對(duì)任意(m，n可以相等)，都有，則集合稱為集合A的生成集.

(1)求集合的生成集B；

(2)若集合，A的生成集為B，且B的子集個(gè)數(shù)為4，求實(shí)數(shù)a的值.

18.設(shè)A是正實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的孿生集.

(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合A的孿生集B；

(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其孿生集B的子集個(gè)數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其孿生集，并說明理由.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因?yàn)橹杏腥齻€(gè)元素，且，，所以或.①當(dāng)時(shí)，解得或，均符合題意；②當(dāng)時(shí)，解得，符合題意.

2.答案：D

解析：.因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則或，解得或.綜上，實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合是.

3.答案：C

解析：由，得，所以，

所以，所以.若，則，無解.因?yàn)?，所以x，，，互不相等，此時(shí)集合M中含4個(gè)元素，所以集合M中至少有4個(gè)元素.故選C.

4.答案：D

解析：對(duì)于A，，所以，故A結(jié)論正確；對(duì)于B，，所以，故B結(jié)論正確；對(duì)于C，，，，則，，所以，故C結(jié)論正確；對(duì)于D，若，則，或，或，或，，故D結(jié)論錯(cuò)誤.

5.答案：A

解析：設(shè)M的最大元素為m，N的最小元素為n，若有，則不能滿足，故A錯(cuò)誤；若，，滿足題意，但此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故B可能成立；若，，則M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故C可能成立；若，，則M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素，故D可能成立.選A.

6.答案：B

解析：因?yàn)?，，，所以，，?當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)，即，(舍去)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即，(舍去)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)n的所有取值組成的集合為，故非空真子集的個(gè)數(shù)為.

7.答案：C

解析：因?yàn)?，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，故②錯(cuò)誤；若a與b屬于同一“家族”，則，，(其中)，故③正確；若，設(shè)，則，不妨令，，則(，)，所以a與b屬于同一“家族”，故④正確.選C.

8.答案：A

解析：由得，所以，易知，所以.

當(dāng)時(shí)，由得，所以，又因?yàn)椋裕?，所以，即?/p>

從而，所以或兩種情況均與題意矛盾.

當(dāng)時(shí)，，從而，所以，

即，從而，

所以，，所以或，

又，所以，.

又，所以，

將，，代入，可得，所以或(舍去)，所以.故選A.

9.答案：BD

解析：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；，則，，則，，則，所以，故B正確；，則，故C錯(cuò)誤；，則，，則，，則，所以，故D正確.

10.答案：BD

解析：對(duì)于A，在集合中，，所以集合A不是封閉集，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，集合，設(shè)，則，，，所以，，，所以集合為封閉集，故B正確；對(duì)于C，封閉集不一定是無限集，如為封閉集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A為封閉集，則取，得，故D正確.

11.答案：ABC

解析：不等式的解集為或，所以或，因?yàn)椋曰?，故B正確；

，則或，故A正確；

因?yàn)椋曰颍蔆正確；

因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.

12.答案：ABD

解析：易知，則，又，所以或，即方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根或3個(gè)實(shí)數(shù)根.

若，則必有或.

若，則或.

當(dāng)時(shí)，，，符合題意.

當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)根為0和，

若，則有以下兩種情況.

①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且根不為0和，

由得.

若，則，，符合題意；

若，則，，符合題意.

②是的一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí).

若，則，，符合題意；

若，則，，符合題意.

綜上所述，a的可能取值為0，，，故選ABD.

13.答案：1或2

解析：由.得，由題意得，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，所以.綜上所述，或.

14.答案：

解析：不含任何元素的子集個(gè)數(shù)有1個(gè)，含有一個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有5個(gè)，含有兩個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，含有三個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè).因?yàn)椋耘旁诘?3位的子集在含有3個(gè)元素的子集中，第26位的子集為，第25位的子集為，第24位的子集為，第23位的子集為.

15.答案：2

解析：①，故①正確.

②根據(jù)集合中元素的互異性知，不妨設(shè)，由，可得.，.于是，無解，即不存在滿足條件的“復(fù)活集”，故②正確.所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為2.

16.答案：14

解析：由題意知，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)集合A中最大數(shù)為1，即時(shí)，無滿足題意的集合B；當(dāng)集合A中最大數(shù)為2，即或時(shí)，只有一種滿足題意的集合，此時(shí)“兄弟集合對(duì)”有2種；當(dāng)集合A中最大數(shù)為3，即，，或時(shí)，滿足題意的集合B有，和三種可能，此時(shí)“兄弟集合對(duì)”有(種).綜上所述，當(dāng)時(shí)，這樣的“兄弟集合對(duì)”有(種).

17.答案：(1)

(2)或

解析：(1)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，或，時(shí)，，

所以.

(2)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，或，時(shí)，.

因?yàn)锽的子集個(gè)數(shù)為4，所以B中有2個(gè)元素，

所以或或，

得或(舍去).

當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.所以或.

18.答案：(1)

(2)最小值為128

(3)不存在，理由見解析

解析：(1)，.

(2)設(shè)，不妨設(shè)，

因?yàn)椋?/p>

所以B中元素