第02章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型DataEnvelopmentanalysis(DEA)東北農(nóng)業(yè)大學工程學院王吉權(quán)2.1第一個DEA模型C2R2.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型2.3兩階段法12九月20232第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

假設(shè)有n個具有可比性部門或單位(稱為決策單元，簡記為DMU)，每個DMU都有m種類型的“輸入”(或稱“投入”，表示DMU對“資源”的耗費量，例如m種生產(chǎn)要素的投入)，以及s種類型的“輸出”(或稱“產(chǎn)出”，表示當消耗了“資源”之后，表明“成效”的量，例如產(chǎn)品的數(shù)量、質(zhì)量、經(jīng)濟效益等)。這n個DMU的投入數(shù)據(jù)和產(chǎn)出數(shù)據(jù)(data)由表2-1給出，其中(i=1,2,…,m;r=1,2,…,s;j=1,2,…,)12九月202332.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

xij=DMU-j對第i種投入的數(shù)量，xij>0

yrj=DMU-j對第r種產(chǎn)出的數(shù)量，yrj>0

vi=對第i種投入的一種度量(或表示重要性的“權(quán)”)

ur=對第r種產(chǎn)出的一種度量(或表示重要性的“權(quán)”)

xij和yrj為已知數(shù)據(jù)，它是根據(jù)歷史的資料或預測得到的。vi、ur為變量。12九月202342.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-112九月202352.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型決策單元12…nv11→x11x12…x1nv22→x21x22…x2n??????vmm→xm1xm2…xmny11y12…y1n→1u1y21y22…y2n→2u2??????ys1ys2…ysn→sus為方便，記xj=(x1j,x2j,…,xmj)T，j=1,2,…,n

yj=(y1j,y2j,…,ysj)T，j=1,2,…,n

x=(x1,x2,…,xn)T，為m

n矩陣

y=(y1,y2,…,yn)T，為s

n矩陣于是，表2-1可以簡化為表2-2和表2-3，其中

v=(v1,v2,…,vm)T

u=(u1,u2,…,us)T我們稱為參考集。12九月202362.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-212九月202372.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型決策單元12…nv1?m→?→x1x2…xny1y2…yn→?→1?su表2-312九月202382.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型決策單元12…nv1?m→?→→?→1?su

現(xiàn)在建立評價決策單元DMU-j0的C2R模型()。為了書寫方便，記x0=xj0,y0=yj0因為v=(v1,v2,…,vm)T0，v

0表示對m項投入重要性的權(quán)系數(shù)，u=(u1,u2,…,us)T0，u

0表示對s項產(chǎn)出重要性的權(quán)系數(shù)，此時，在權(quán)v和u之下，化為具有一個投入一個產(chǎn)出的場合，由表2-4表示。因此，以單位投入產(chǎn)出計算效率，每個決策單元的效率評價指數(shù)為(這里，xj>0，u0，v

0，因此vTxj>0)。12九月202392.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-412九月2023102.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型決策單元12…j0…n1vTx1vTx2…vTx0…vTxnuTy1uTy2…uTx0…uTyn1

不失一般性，我們總可以假設(shè)

若對DMU-j0進行相對有效性評價(即相對于參考集T中的所有DMU進行相對有效性評價)，是以v和u為變量，以12九月2023112.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

為約束，以求DMU-j0的效率指數(shù)最大為目標構(gòu)成以下的最優(yōu)化模型(其中(C2R)I中的I表示輸入(input)模型)12九月2023122.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

上述最優(yōu)化模型是一個分式形式的優(yōu)化模型，使用C2—變換(它是在數(shù)學規(guī)劃領(lǐng)域由Charnes和Cooper首先處理分式規(guī)劃的方法，隨后被人們稱為C2—變換)

于是，模型(C2R)I的目標函數(shù)變?yōu)?2九月2023132.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型約束變?yōu)榧床⑶遥傻玫揭粋€新的約束

此時模型(C2R)I化為等價的模型12九月2023142.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

注意，并不是一個真正的線性規(guī)劃，因為中要求變量。12九月2023152.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

記的約束集合12九月2023162.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

考慮線性規(guī)劃其中hj0為的最優(yōu)值。記的約束集合為12九月2023172.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型可知，對于

(

,

)

R，由

Tx0=1，故必有

0；又由于

存在可行解，使得目標函數(shù)值

Ty0>0。因此的最優(yōu)解

0、

0滿足

0Ty0>0，即的最優(yōu)解必滿足

0。由此可知的最優(yōu)解

0、

0必滿足12九月2023182.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型又由于，所以與是等價的。

由模型(C2R)I可知，hj0是在滿足的前提下，追求DMU-j0對應的效率hj0的最大值hj0，因此hj0是相對于n個決策單元的相對效率值(簡稱效率指數(shù))。不難看出，的最優(yōu)值滿足12九月2023192.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型而且，最大值hj0的取得是以v,u為變量，因此(C2R)I中的最優(yōu)解v0、u0

(相應的，在中

0=t0v0，

0=t0u0，t0=1/(v0tx0))是DMU-j0對最為有利的權(quán)系數(shù)(也可看做是一種對投入產(chǎn)出各項的一種“度量”，類似于線性規(guī)劃中的“影子價格”)。有如下定義。

定義2.1若(C2R)I的最優(yōu)解v0、u0

，使得效率指數(shù)則稱DMU-j0為弱DEA有效。12九月2023202.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

定義2.2若(C2R)I的最優(yōu)解v0、u0

，滿足(效率指數(shù))并且v0>0,u0>0則稱DMU-j0為DEA有效。

由于(C2R)I模型與線性規(guī)劃等價，利用線性規(guī)劃，有下面的等價定義。12九月2023212.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

定義2.3若(C2R)I的最優(yōu)解

0、

0

，使得效率指數(shù)則稱DMU-j0為弱DEA有效。

定義2.4若存在最優(yōu)解

0、

0，滿足(效率指數(shù))并且

0>0,

0>0則稱DMU-j0為DEA有效。

由DEA有效和弱DEA有效的定義知DEA有效弱DEA有效12九月2023222.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型效率指數(shù)的經(jīng)濟含義

現(xiàn)在取一個特例，m=1，s=1，即具有一個投入和一個產(chǎn)出的情況(見表2-5)。表2-5決策單元12…j0…nm=1→x1x2…x0…xny1y2…y0…yn→s=112九月2023232.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型(a)任取DMU-j0，由可以得到于是(C2R)模型為12九月2023242.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型它等價于12九月2023252.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型不難看出12九月2023262.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型在生產(chǎn)理論中生產(chǎn)率=產(chǎn)出/投入

在(C2R)I模型，由效率指數(shù)可知效率指數(shù)hj為DMU-j0的自身生產(chǎn)率與n個決策單元的最大生產(chǎn)率之比，因此hj是相對生產(chǎn)率。(b)若j0

滿足12九月2023272.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由(a)，若DMU-j0的效率指數(shù)即DMU-j0為DEA有效；反之，若效率指數(shù)為1，則

因此，當DMU-j0為DEA有效時，即hj0=1，它表明DEA有效的DMU-j0的相對效率指數(shù)hj0是n個決策單元中生產(chǎn)率的最大者(不難看出：在m=1，s=1時，DEA有效12九月2023282.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型與弱DEA有效是等價的)。見圖2-1。xyx0y0ODMU-j0DMU-1DMU-n圖2-112九月2023292.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

以下的例子說明，DEA有效性的定義是有工程技術(shù)方面的背景的。

例2.1考慮上煤經(jīng)過燃燒產(chǎn)生一定熱量的某種燃燒裝置。燃燒裝置的效率用燃燒比Er來刻畫Er=yr/yR其中

yR=燃燒給定數(shù)量為x的煤(x>0)所能產(chǎn)生的最大熱量(即所產(chǎn)生熱量的“理想值”)12九月2023302.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

yr=燃燒給定數(shù)量為x的煤(x>0)所能產(chǎn)生的熱量(即所產(chǎn)生熱量的實測值)顯然有0<Er1，現(xiàn)在利用(C2R)I模型有12九月2023312.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由(a)上式表明效率指數(shù)即燃燒比。

對于線性規(guī)劃模型，人們在研究線性規(guī)劃的性質(zhì)時(特別是它的經(jīng)濟特性時)，都會習慣性地研究它的對偶問題。對于DEA模型

也不例外。稱為原規(guī)劃。由12九月2023322.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

化為標準形式的原問題，為12九月2023332.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

相應的矩陣形式為12九月2023342.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

于是的對偶規(guī)劃為12九月2023352.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型即12九月2023362.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型如果引進正、負偏差變量s+

Es，s+0，s-

Em，s-0，則成為(為方便，仍記為)12九月2023372.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型有如下性質(zhì)：

性質(zhì)2.1和都存在可行解。

實際上，令其中，并且再令12九月2023382.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型不難看出，滿足因此，為的可行解，再令，以及(j=1,2,…,n)12九月2023392.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型顯然，為的可行解。

性質(zhì)2.2線性規(guī)劃和都存在最優(yōu)解，分別為,和，并且有

實際上，由性質(zhì)1，和都存在可行解。再由線性規(guī)劃存在性定理，和都存在最優(yōu)解，并且二者的最優(yōu)值相等。12九月2023402.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

性質(zhì)2.3若線性規(guī)劃的任意最優(yōu)解

0=(

10,…,

n0)T，都滿足(即)，則線性規(guī)劃存在最優(yōu)解

0,

0，滿足

0>0,

0>0

實際上，它由線性規(guī)劃的互補松馳定理得到。12九月2023412.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

性質(zhì)2.3若線性規(guī)劃的任意最優(yōu)解

0=(

10,…,

n0)T，都滿足(即)，則線性規(guī)劃存在最優(yōu)解

0,

0，滿足

0>0,

0>0

實際上，它由線性規(guī)劃的互補松馳定理得到。12九月2023422.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由性質(zhì)2.3，可以得到利用DEA模型判斷DMU-j0為弱DEA有效和DEA有效時的等價定義2.5和2.6。

定義2.5若

0,

j0，j=1,…,n，為的最優(yōu)解并且hj0=

0=1，則稱DMU-j0為弱DEA有效。

定義2.6若的任意了優(yōu)解

0,

j0，j=1,…,n，，都滿足12九月2023432.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

(即)，則稱DMU-j0為DEA有效。

性質(zhì)2.4(效率指數(shù)與量綱無關(guān)性)決策單元的效率指數(shù)hj0與各項投入數(shù)據(jù)和產(chǎn)出數(shù)據(jù)的量綱選取無關(guān)。

實際上，設(shè)采取新量綱后的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)由表2-1變?yōu)楸?-6，其中

i>0,i=1,2,…,m

r>0,r=1,2,…,s12九月2023442.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-6決策單元12…nv11→

1x11

1x12…

1x1nv22→

2x21

2x22…

2x2n??????vmm→

mxm1

mxm2…

mxmn

1y11

1y12…

1y1n→1u1

2y21

2y22…

2y2n→2u2??????

sys1

sys2…

sysn→sus12九月2023452.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型于是量綱變化后的DEA模型為由12九月2023462.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型故上述線性規(guī)劃即為即12九月2023472.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型12九月2023482.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型性質(zhì)2.5決策單元的效率指數(shù)與每個決策單元所對應的投入和產(chǎn)出的同倍增長無關(guān)。即由表2-7所給出的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)與表2-1給出的數(shù)據(jù)進行效率評價時，不影響決策單元的(弱)DEA有效性，其中

j>0,j=1,2,…,m12九月2023492.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-7決策單元12…nv1?m→?→

1x1

2x2…

nxn

1y1

2y2…

nyn→?→1?su12九月2023502.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

實際上，表2-7對應的DEA模型為即12九月2023512.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

以下兩個例子和來說明DEA模型C2R的幾何意義。12九月2023522.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型例2.2考慮由表2-8給出的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)的例子，其中n=3,m=2,s=1。表2-8決策單元1231→269m=2→663213→s=112九月2023532.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

由性質(zhì)2.5(將產(chǎn)出都變?yōu)?)知，它等價于表2-9給出的數(shù)據(jù)。表2-9決策單元1231→163m=2→361111→1=s12九月2023542.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型使用對偶線性規(guī)劃，有

集合T1由圖2-2所示，其中12九月2023552.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型圖2-2DMU-1DMU-3DMU-2T1Ox1x265432112345612九月2023562.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型集合T2由圖2-3所示，其中12九月2023572.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型圖2-3DMU-1DMU-3DMU-2T2Ox1x265432112345612九月2023582.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型集合T3由圖2-4所示，其中12九月2023592.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型圖2-4DMU-1DMU-3DMU-2T3Ox1x265432112345612九月2023602.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型取j0=2，有(x10,x20)=(x12,x22)=(6,6)，此時，可寫為12九月2023612.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型即由圖2-4可知，h2=

0=1/3，故DMU-2不為弱DEA有效。

例2.3考慮上表2-10給出的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)的例子，其中n=4,m=2,s=1.12九月2023622.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型表2-10

類似于例2-2，知集合T3由圖2-5所示，其中決策單元12341→1631m=2→36161111→1=s12九月2023632.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型圖2-5DMU-1DMU-3DMU-2T3Ox1x2654321123456DMU-412九月2023642.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由圖2-4所示，DMU-1、DMU-3為DEA有效；DMU-2不為弱DEA有效率對于DMU-4，不難看出的最優(yōu)解為

0=1，

0=(1,0,0,0)T

但卻有12九月2023652.1第一個DEA模型C2R第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型因此DMU-4僅為弱DEA有效，其中12九月2023662.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型考慮DEA模型C2R12九月2023672.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型12九月2023682.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由定義2.4，使用判斷DMU-j0的DEA有效性時，需要判斷是否存在最優(yōu)解

0、

0滿足

0>0,

0>0,hj0=

0Ty0=1如果使用判斷DMU-j0是否為DEA有效時，由定義2.6知，需要判斷的任意了優(yōu)解

0,

j0,j=1,2,…,n,

都滿足可見，無論是使用規(guī)劃，還是使用對偶規(guī)劃，都是不很容易的。12九月2023692.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型早在1952年Charnes和Cooper研究使用單純形法求線性規(guī)劃的最優(yōu)解時，在“退化”情況下可能出現(xiàn)“循環(huán)”現(xiàn)象。他們引進了非阿基米德無窮小

的概念；同樣在線性規(guī)劃中，遇到求初始可行解的困難時，引進了“大-M法”。當他們在研究DEA時，也使用非阿基米德無窮小

的概念。在實數(shù)范圍內(nèi)，熟知“對任意

>0，都存在

′>0，有

′<

′′。也就是說，對任意

′>0，都有

′

′′。因此可以認為非阿基米德無窮小

>0是一個比任何正數(shù)都小的正數(shù)。Charnes和Cooper是借助非阿基米德無窮小的概念方法，給出了判斷決策單元是否為12九月2023702.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型DEA有效性的DEA模型。由它可以引導出“兩階段方法”。

令

>0是一個非阿基米德無窮小量，考慮人有非阿基米德無窮小量

的DEA模型12九月2023712.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型其中線性規(guī)劃的對偶規(guī)劃為12九月2023722.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

現(xiàn)在用評價DMU-j0的DEA有效性。設(shè)

0,

0=(

10,…,

n0)T,為的最優(yōu)解。的最優(yōu)值具有類似于“復數(shù)”的形式：

-

，其中數(shù)

表示DMU-j0的效率指數(shù)，表示m項投入由x0減少到

0x0之外，某些投入面還需減少總和；表示產(chǎn)出不足的總和，即

表示上述兩項之和。

首先證明一個引理。這里的證明利用魏權(quán)齡教授1975年研究數(shù)學規(guī)劃穩(wěn)定性時曾使用技巧。12九月2023732.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

引理2.1假設(shè)對任意x

R均有dTx0，其中(不失一般性)R={x|Ax=b,x0}考慮線性規(guī)劃問題若(P1)的最優(yōu)解集合R*

，則存在，對任意

(0,

)，線性規(guī)劃問題12九月2023742.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型的最優(yōu)解x(頂點)也是下面線性規(guī)劃的最優(yōu)解也就是說，(P3)是在(P1)的最優(yōu)解集合R*上求dTx的最大值，此時存在很小的正數(shù)，當時，可以用一個線性規(guī)劃(P2)得到的(P3)最優(yōu)解。12九月2023752.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

證明設(shè)約束集合R的極點(基礎(chǔ)可行解)全體為(k1)將

中的點按(P1)中的目標cTx值，由大到小進行分類。設(shè)集合

1,

2,…,

k

，，滿足(i)；

(ii)對任意x

i和y

i，有cTx=cTy，；(iii)若，

由線性規(guī)劃的最優(yōu)解可以在R的極點達到，由(i)~(iii)知12九月2023762.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

k

R*(1)令其中因此，對任意

，以及任意，有12九月2023772.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型(i)當存在y

\

k，且dTy>0時，有12九月2023782.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型(ii)當對任意y

\

k，都有dTy=0時，有因此，對任意，以及任意，都有故當時，線性規(guī)劃(P2)的最優(yōu)解(極點)，滿足

。于是有12九月2023792.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型由式(1)知，，故有再由式(2)和式(3)知，式(3)取等號。注意到cTx在R*為常數(shù)，故有12九月2023802.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型即得證。12九月2023812.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

現(xiàn)在有三個線性規(guī)劃。第一個線性規(guī)劃是評價DMU-j0的DEA模型，它對應于引理2.1中的問題(P1)12九月2023822.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

由定義2.5和定義2.6可知，若的最優(yōu)值

0=1，則DMU-j0為弱DEA有效；若的最優(yōu)值為1，并且

的任意最優(yōu)解都有，即等價地則DMU-j0為DEA有效。

第二個線性規(guī)劃是具有非阿基米德無窮小

的C2R模型——對應于引理2.1中的問題(P2)12九月2023832.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

第三個線性規(guī)劃是在的最優(yōu)解集合上(即在

的約束條件基礎(chǔ)上，加上約束條件

=

0，其中

012九月2023842.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型為的最優(yōu)值)，求的最大值——對應于引理2.1中的問題(P3)12九月2023852.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型Charnes和Cooper的具有非阿基米德無窮小

的C2R模型是在推廣的實數(shù)域中，將

看作是一個比任何正數(shù)都小的正數(shù)，對求解。實際上，由引理2.1知，存在一個正實數(shù)，當時，的最優(yōu)解

0,是在的最優(yōu)解集合上，使得目標取得最大值的最優(yōu)解。因此，若，即的所有最優(yōu)解滿足等式12九月2023862.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

定理2.1考慮具有非阿基米德無窮小

的DEA模型12九月2023872.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

設(shè)

0，

j0，j=1,2,…,n,為的最優(yōu)解，則(i)若

0<0，則DMU-j0不為弱DEA有效；(ii)若

0=1，

，則DMU-j0為DEA有效；(iii)若

0=1，

，則DMU-j0僅為弱DEA有效。

注意，定理2.1

(i),(ii),(iii)中的條件不僅為判別的充分條件，也是必要條件。12九月2023882.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

例2.4考慮具有4個決策單元、2個輸入和1個輸出的例子，相應的輸入和輸出數(shù)據(jù)由表2-11給出。以下均取=10-5。表2-11決策單元12341→1334m=2→31321121→1=s12九月2023892.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

評價DMU-1所對應的線性規(guī)劃為利用單純形法求解，最優(yōu)解為

0=1,

0=(1,0,0,0)T,因此DMU-1為DEA有效。12九月2023902.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型類似地，對DMU-2，DMU-3進行評價，知它們都為DEA有效。

評價DMU-4所對應的線性規(guī)劃為12九月2023912.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型利用單純形法求解，最優(yōu)解為因此，DMU-4不為弱DEA有效。

利用具有非阿基米德無窮小的DEA模型可以證明在參考集中至少存在一個決策單元j*，它是DEA有效的(見定理2.2)。這也是為什么說，決策單元進行評價時的有效性是相對有效性的評價。12九月2023922.2具有非阿基米德無窮小的C2R模型第2章評價規(guī)模有效和技術(shù)有效的C2R模型

引理2.2若，并且滿足則DMU-j*為弱DEA有效。特別地，若，則DMU-j*為DEA有效。

證明由式(4)及知，。令12