人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 （三角形的內(nèi)角）三角形教育課件

第十一章三角形三角形的內(nèi)角人教版八年級上冊

教學(xué)目標(biāo)1、會闡述三角形內(nèi)角和定理。2、會應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算(求三角形的角的度數(shù))。3、能通過動手實踐去驗證三角形的內(nèi)角和定理。4、了解直角三角形兩個銳角的關(guān)系。5、掌握直角三角形的判定。6、會運用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計算。新知導(dǎo)入在小學(xué)的時候，我們就已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°。在Rt△ABC中，老大∠A=90°，則∠B+∠C=90°因此老二∠B或∠C＜90°。新知講解一、三角形的內(nèi)角和任意一個三角形的內(nèi)角和一定等于

。180°驗證三角形內(nèi)角和的三種方法：測量法折疊法剪切法新知講解測量法銳角三角形48072060060°＋48°＋72°＝180°新知講解折疊法ABC演示123CAABBCABCABBCC剪切法新知講解新知講解那么，我們?nèi)绾瓮ㄟ^“數(shù)學(xué)證明”來解釋三角形的內(nèi)角和一定是180°呢？已知：△ABC求證：∠A+∠B+∠C=180°方法一、證明：過點A作直線l，使l∥AB∵l∥AB∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）同理∠3=∠5∵∠1、∠4、∠5組成平角∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180°新知講解方法二、證明：延長BC到D，過點C作CE∥BACBAED12∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）新知講解方法三、證明：過點D作DE∥AC，DF∥ABCBAEDF∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（兩直線平行，同位角相等）∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∴∠A=∠EDF∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°∴∠A+∠B+∠C=180°新知講解例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù)。ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°∴∠ABD的度數(shù)為85°。新知講解例2

如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？分析：A、B、C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角，如果能求出∠CAB、∠ABC，就能求出∠ACB。解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°∴∠ABE=180°-∠ABD=180°-80°=100°

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°答：從B島看A、C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°。新知講解二、直角三角形的性質(zhì)和判定如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°由三角形內(nèi)角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B+90°=180°∴∠A+∠B=90直角三角形的兩個銳角互余。新知講解直角三角形可以用符號“Rt△”表示。因此直角三角形ABC可寫成

。Rt△ABC“直角三角形的兩個銳角互余”其幾何語言可表示為：在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°若在三角形中，有兩個銳角互余，則該三角形是否就是直角三角形呢？新知講解已知：在△ABC中，∠A與∠B互余。求證：該三角形為直角三角形證明：∵∠A與∠B互余∴∠A+∠B=90°由三角形內(nèi)角和定理，可得∠A+∠B+∠C=180°∴90°+∠C=180°∴∠C=90°∴△ABC為直角三角形有兩個角互余的三角形為直角三角形。新知講解例3、如圖，∠C=∠D=90°，AD、BC相交于點E?！螩AE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：∠CAE=∠DBE在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED∵∠AEC=∠BED∴∠CAE=∠DBE課堂練習(xí)1、（2022·河南周口·八年級期末）若一個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)之比1:3:4，則這個三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解析】∵三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1：3：4，∴三個內(nèi)角分別是∴該三角形是直角三角形故選答案選BB課堂練習(xí)2、（2022·湖南邵陽·八年級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，則∠B＝（

）A．48° B．58° C．62° D．68°【解析】∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°∵∠A=42°∴∠B=48°故答案選AA課堂練習(xí)3、（2022·廣西欽州·八年級期末）如圖，把一副三角板疊放在一起。則∠1的大小為（

）A．105° B．115° C．120° D．125°

∴【解析】如圖∵圖中是一副直角三角板，∴∠A＝45°，∠E＝30°∵∴∴∵故答案選AA課堂練習(xí)4、（2022·安徽滁州·八年級期末）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【解析】△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°∵AD是BC邊上的高∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-∠C=20°∵AE是∠BAC的平分線，∠BAC=50°∴∠EAC=∠BAC=25°∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°A課堂練習(xí)5、（2022·湖南長沙·八年級期末）已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，則∠B＝________?！窘馕觥俊摺螦=108°，∠B=2∠C∴108°十2∠C+∠C=180°∴∠C=24°∴∠B=2∠C=2×24°=48°48°課堂練習(xí)6、（2022·山東臨沂·八年級期末）在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，點D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為________?！窘馕觥竣佼?dāng)∠ADC=90°時，如圖所示：∠BCD=90°-∠B

=90°-20°=70°②當(dāng)∠ACD=90°時，如圖所示：∵∠ACB=180°-∠A-∠B

=120°∴∠BCD=∠ACB-∠ACD

=120°-90°=30°70°或30°課堂練習(xí)7、如圖，AB∥CD，AD與BC交于點O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度數(shù)。解：∵AB∥CD，∠C=40°∴∠B=∠C=40°∵∠A+∠B+∠AOB=180°∴∠A=180°-∠AOB-∠B=180°-80°-40°=60°∴∠A的度數(shù)為60°課堂練習(xí)8、（2022·重慶長壽·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD為∠BAC的平分線，AE為BC邊上的高，求∠DAE的度數(shù)。解：∵∠B＝40°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°－40°－70°＝70°又∵AD為∠BAC的平分線∴∠DAC＝35°∵AE⊥BC∴∠EAC＝90°－∠C＝20°∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC

＝35°－20°

＝15°∴∠DAE的度數(shù)為15°課堂總結(jié)三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和的應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)和判定直角三角形的兩個銳角互余兩個角互余的三角形為直角三角形直角三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用在Rt△ABC中，∵∠A=90°∴∠B+∠C=90°在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴△ABC為直角三角形作業(yè)布置1、如圖，在△ABC中，∠C=56°，點D在線段BA的延長線上，過點D作DF⊥BC于點F，若∠FDB=20°，則∠CAB的度數(shù)為（）A．76° B．65° C．56° D．54°【解析】∵DF⊥BC∴∠DFB=90°在△BDE中，∠FDB=20°∴∠B=180°-90°-20°=70°在△ABC中，∠C=56°∴∠CAB=180°-70°-56°=54°故答案選DD作業(yè)布置2、（2021·河南商丘·八年級期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=1：m：3，則m的值是（

）A．3 B．4 C．1或3 D．2或4【解析】設(shè)∠A=x°，則∠C=3x°①當(dāng)∠C=90°時，3x°=90°解得x=30∴∠A=30°，∠B=90°-30°=60°∴∠A:∠B=30°:60°=1:2∴m=2②當(dāng)∠B=90°時，∠A+∠C=90°即x°+3x°=90°解得x=22.5∴∠A=22.5°，∠C=67.5°∴∠A:∠B=22.5°:90°=1:4∴m=4綜上，m的值為2或4D作業(yè)布置3、（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級期末）如圖，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，則∠ACB的度數(shù)是______?！窘馕觥扛鶕?jù)方向角的定義可得，∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°∵∠BAE=45°，∠EAC=15°∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°∵AE、DB是正南正北方向∴BD∥AE∵∠DBE=∠BAE=45°又∵∠DBC=80°∴∠ABC=80°-45°=35°∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°85°作業(yè)布置4、（2022·重慶巴南·八年級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角(∠A)折疊，使得點A落在四邊形BCDE的外部點A′的位置，且點A′與點C在直線AB的異側(cè)，折痕為DE。已知∠C=90°，∠B=60°，若△A′DE的一邊與BC平行，且∠ADE=m°，則m=_________?！窘馕觥竣偃鐖D，當(dāng)A′D∥BC時∵A′D∥BC∴∠A′DA=∠C=90°∴由翻折可知∠A′DE=∠ADE=45°∴m=45②如圖，當(dāng)A′E∥BC時∵A′E∥BC∴∠A′EF=∠B=60°∵∠A=90°-∠B=30°∴由折疊可知∠A=30°∴∠A′FE=∠DFE=90°∴∠A′DA=90°-∠A=60°∴∠A′DE=∠A′DA=30°∴m=30③當(dāng)DE∥BC時，點A′與點C在直線AB的同側(cè)，不符合題意綜上可知m的值為45或3045或30作業(yè)布置5、（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，AB＝AC，將△ABC折疊，使A，B兩點重合，折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°，則∠A的度數(shù)為_____________?！窘馕觥竣偃鐖D：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°．∵∠AFE＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°②如圖：由翻折的性質(zhì)可知：EF⊥AB∴∠D+∠DAE＝90°∵折痕所在直線與AC邊所在直線的夾角為50°∴∠EDA＝50°∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°∴∠BAC＝140°綜上，∠A的度數(shù)為40°或140°40°或140°作業(yè)布置6、（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，求∠B的度數(shù)。解：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠EAC=∠EAD+∠2∴∠EAD=∠1-∠2=40°-20°=20°在Rt△ABD中∠B=90°-∠BAD=90°-40°-20°=30°∴∠B的度數(shù)為30°作業(yè)布置7、（2022·河南商丘·八年級期末）如圖，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°。(1)求∠EAC的度數(shù)；(2)若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度數(shù)．解：(1)∵∠EAD＝∠EDA∴∠EAC＋∠CAD＝∠B＋∠BAD∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝∠BAD∴∠EAC＝∠B∵∠B＝54°∴∠EAC＝54°∴∠EAC的度數(shù)為54°(2)設(shè)∠CAD＝2x，則∠E＝5x，∠DAB＝2x∵∠B＝54°∴∠EDA＝∠EAD＝2x＋54°∵∠EDA＋∠EAD＋∠E＝180°∴2x＋54°＋2x＋54°＋5x＝180°解得x＝8°∴∠E＝5x＝40°∴∠E的度數(shù)為40°作業(yè)布置8、（2022·湖北荊門·八年級期末）如圖，△ABC中，AF、BE是角平分線，它們相交于點O，AD是高，∠C=50°，求∠DAC及∠BOA的度數(shù)。解：∵AD是高，∠C=50°∴∠ADC=90°∴∠DAC=90°-50°=40°∵∠C=50°∴∠CAB+∠ABC=130°∵AF、BE是角平分線∴∠BAO+∠ABO=

(∠CAB+∠ABC)=×(180°-50°)=×130°=65°∴∠BOA=180°-65°=115°∴∠DAC的度數(shù)為40°，∠BOA的度數(shù)為65°作業(yè)布置9、（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（1）若AD⊥BC于D，∠C＝40°，求∠DAE的度數(shù)；（1）解：∵∠C＝40°，∠B＝2∠C∴∠B＝80°∴∠BAC＝60°∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝30°∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∴∠DAC＝50°∴∠DAE＝50°﹣30°＝20°∴∠DAE的度數(shù)為20°作業(yè)布置9、（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC交BC于E。（2）若EF⊥AE交AC于F，求證：∠C＝2∠FEC。（2）證明：∵EF⊥AE∴∠AEF＝90°∴∠AED+∠FEC＝90°∵∠DAE+∠AED＝90°∴∠DAE＝∠FEC∵AE平分∠BAC∴∠EAC＝∠BAC

＝(180°﹣∠B﹣∠C)

＝(180°﹣3∠C)

＝90°﹣∠C∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）

＝90°﹣∠C﹣90°+∠C

＝∠C∴∠FEC＝∠C∴∠C＝2∠FEC作業(yè)布置10、（2022·安徽合肥·八年級期末）(1)如圖1，在△ABC中，點D、E在邊BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度數(shù)。(1)解：由題意得：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠BAC=40°∵AE⊥BC∴∠AEB=90°∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=55°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°∴∠DAE的度數(shù)為15°作業(yè)布置10、（2022·安徽合肥·八年級期末）(2)如圖2，若把（1）中的條件“AE⊥BC”變成“F為AD上任意一點（不與A、D重合），F(xiàn)E⊥BC”，其它條件不變，求∠DFE的度數(shù)。(2)解：過點A作AH⊥BC于H，如圖由（1）可得∠DAH=15°∵FE⊥BC∴AH∥EF∴∠DFE=∠DAH=15°∴∠DFE的度數(shù)為15°謝謝三角形的外角

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三角形的外角的概念．2.能夠在能夠復(fù)雜圖形中找出外角.（難點）3.掌握三角形的外角的性質(zhì)．（重點）4.會利用三角形的外角性質(zhì)解決問題（難點）.回顧舊知1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？48°三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.2.如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°合作探究---三角形的外角的概念定義如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個外角CBAD思考2、如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？思考1、如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？E在三角形每個頂點處都有兩個外角.∠ACD與∠BCE為對頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.合作探究---三角形的外角的概念合作探究---三角形的外角的概念A(yù)BC思考3、畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢?每一個三角形都有6個外角．

每一個頂點相對應(yīng)的外角都有2個，且這2個角為對頂角.小試牛刀1．如圖，下列各角是△ABC的外角的是()A．∠4B．∠3C．∠2D．∠12．若三角形的一個外角等于和它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．都有可能BB小試牛刀FABCDE3、如圖,∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.合作探究---三角形的外角的性質(zhì)

在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是

△ABC的一個外角，你能求出∠ACD的度數(shù)嗎？70°60°50°130°∠ACD與∠A，∠B的大小有什么關(guān)系？∠ACD=∠A+∠B那么對于任意一個三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角是否都具有這種關(guān)系呢？合作探究---三角形的外角的性質(zhì)

如圖，任意一個△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？合作探究---三角形的外角的性質(zhì)D證明：過C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.合作探究---三角形的外角的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.符號語言：∵∠ACD是△ABC的一個外角∴∠ACD=∠A+∠B.小試牛刀2.如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1＝20°，∠2＝50°，則∠3的度數(shù)為_______．30°

1.如圖，△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，延長BA至點D，則∠CAD的大小為()A．110°B．80°C．70°D．60°D

小試牛刀3、如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數(shù).∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB小試牛刀

4.如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？解:∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.總結(jié)：三角形的外角和等于360°你還有其他解法嗎？小試牛刀解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213小試牛刀解法三：過A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，DEF課堂總結(jié)今天我們收獲了哪些知識？1.三角形的外角與不相鄰的兩個內(nèi)角有什么關(guān)系？2.這個推論是如何證明的？3、三角形的外角和是多少？綜合演練1.