不等式中級(jí)水平必備

第2頁不等式中級(jí)水平必備一、冪平均不等式1、冪平均函數(shù)：設(shè)，則冪平均函數(shù)定義為：；這兩個(gè)式子稱為冪平均函數(shù).2、冪平均不等式：冪平均函數(shù)在實(shí)數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增的.利用其增減性得到的不等式稱為冪平均不等式.3、在點(diǎn)的證明：設(shè)函數(shù)則：于是：即：=1\*GB3①而：則：故：則：=2\*GB3②將=1\*GB3①代入=2\*GB3②得：.式證畢.二、冪平均不等式的推論1、在點(diǎn)：由式得：故的冪平均值是調(diào)和平均值.2、在點(diǎn)：由已證明過的式：故的冪平均值是幾何平均值.3、在點(diǎn)：由式得：故的冪平均值是算術(shù)平均值.4、在點(diǎn)：由式得：故的冪平均值是平方平均值.5、推論：根據(jù)冪平均函數(shù)在實(shí)數(shù)空間是連續(xù)且單調(diào)遞增，由可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).以上是由冪平均不等式推導(dǎo)的均值定理，在處理更高次方時(shí)，即時(shí)，式仍適用.三、加權(quán)不等式1、加權(quán)不等式：若，且，則就是權(quán)重，當(dāng)（）時(shí)，恒有：成立.式就是加權(quán)不等式.2、對(duì)時(shí)：此時(shí)式為：取，上式變?yōu)椋哼@是二元的均值不等式.3、對(duì)時(shí)：此時(shí)式為：取，上式變?yōu)椋哼@是三元的均值不等式.4、評(píng)價(jià)：此加權(quán)不等式為均值加權(quán)，由于權(quán)重的靈活配置，加權(quán)不等式比均值不等式更加靈活，也更加高效.四、加權(quán)琴生不等式1、琴生不等式：對(duì)于向下凸函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為：左邊是函數(shù)的平均值，右邊是平均值的函數(shù)值.對(duì)于向上凸函數(shù)，只需在函數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)就可以直接采用式.2、加權(quán)琴生不等式：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且在區(qū)間為向下凸函數(shù)，若，且，對(duì)于一切，則：當(dāng)時(shí)，式就化為式.因此，式是更普遍的琴生不等式.3、推論：設(shè)函數(shù)，在區(qū)間時(shí)，是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則：=1\*GB2⑴對(duì)一切，恒有：=2\*GB2⑵對(duì)一切，，恒有：4、向下凸函數(shù)判據(jù)：設(shè)函數(shù)，在區(qū)間時(shí)，是一個(gè)連續(xù)函數(shù).=1\*GB2⑴如果成立，則為向下凸函數(shù).=2\*GB2⑵如果，則為向下凸函數(shù).五、柯西不等式1、柯西不等式：設(shè)為實(shí)數(shù)，則：這就是著名的柯西不等式.2、推論1：設(shè)，，則：3、推論2：設(shè)，，則：式被稱為權(quán)方和不等式.4、推論3：設(shè)，，則：5、推論4：設(shè)，，則：六、伯努利不等式1、伯努利不等式：設(shè)，則：2、當(dāng)時(shí)：可見，式是式的特例，式更普遍.七、切線法不等式即：設(shè)限法1、切線法：設(shè)為實(shí)值向下凸函數(shù)，，，直線與相切于，假設(shè)：在區(qū)間，始終有：則：式就稱為切線不等式.當(dāng)時(shí)，前面加負(fù)號(hào)就可以采用式2、指數(shù)不等式：（）函數(shù)為：，為向下凸函數(shù).則：，，在處的切線方程為：故：在區(qū)間，由式得：，即：式就是指數(shù)不等式.3、對(duì)數(shù)不等式：（）函數(shù)為：，為向上凸函數(shù).設(shè)，則為向下凸函數(shù).則：，，在處的切線方程為：故：在區(qū)間，由式得：，即：，即：式就是對(duì)數(shù)不等式.八、定義符號(hào)對(duì)于3個(gè)對(duì)稱變量的不等式，為了簡化書寫，便于計(jì)算，我們定義兩個(gè)簡化求和符號(hào).=1\*GB2⑴定義：為單輪換求和：展開項(xiàng)數(shù)為.式為單輪換求和定義式.根據(jù)定義：單個(gè)求和：；；.雙積求和：；；；.三積求和：；；；.=2\*GB2⑵定義：為雙輪換求和：展開項(xiàng)數(shù)為.式為雙輪換求和定義式.根據(jù)定義：單個(gè)求和：；；.雙積求和：；；.三積求和：.；；=3\*GB2⑶和的平方：簡寫為：=4\*GB2⑷和的立方：簡寫為：；九、舒爾不等式1、舒爾不等式：設(shè)，對(duì)任何，恒有：簡寫為：式這就是舒爾不等式.2、對(duì)的特例：=1\*GB2⑴簡寫為：，或由于：所以：代入式得式.=2\*GB2⑵由于：所以式為：即：，這正是式.=3\*GB2⑶簡寫為：不等式左邊：不等式右邊：代入式得：即：，即：，這正是式.=4\*GB2⑷簡寫為：由得左邊為：移項(xiàng)合并得：，這正是式.=5\*GB2⑸簡寫為：由代入式得：即：.對(duì)于時(shí)，與此類似推導(dǎo).十、繆爾海德不等式1、繆爾海德不等式：設(shè)為實(shí)數(shù)，且，，，，；設(shè)，則有：簡寫為：這就是繆爾海德定理.2、推廣為一般式：十一、赫爾德不等式1、赫爾德不等式：設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，則有：簡寫為：2、推廣為一般式：3、推論：十二、排序不等式1、正序和：前面繆爾海德不等式的前提就是一個(gè)數(shù)列的有序化，即數(shù)是按從大到小、或者從小到大排列，這種按一定增減性排列的數(shù)就是有序數(shù).當(dāng)有序數(shù)列和的增減性相同時(shí)：稱為正序和.2、反序和：當(dāng)有序數(shù)列是從小到大排列，是從大到小排列時(shí)：稱為反序和.當(dāng)然，若時(shí)從大到小排列，是從小到大排列時(shí)，也是反序和.3、亂序和：當(dāng)數(shù)列無序排列，或者無序排列，或者兩者都無序排列時(shí)：稱為亂序和.4、排序不等式：正序和亂序和反序和式稱為排序不等式.十三、切比雪夫不等式1、切比雪夫不等式：設(shè)和為任意兩組實(shí)數(shù)，若與的升降同序.即：若，則；若，則.則：式稱為切比雪夫不等式.練習(xí)[練習(xí)1]設(shè)是一個(gè)三角形的三邊長，求證：.[練習(xí)2]設(shè)，求證：.[練習(xí)3]設(shè)，且，求證：.[練習(xí)4]設(shè)為任意實(shí)數(shù)，證明不等式：.[練習(xí)5]設(shè)，且，求證：.[練習(xí)6]設(shè)，且，求證：.[練習(xí)7]設(shè)，且，求證：.[練習(xí)8]設(shè)，且，求證：.[練習(xí)9]設(shè)，求證：.[練習(xí)10]已知，求證：.[練習(xí)11]對(duì)實(shí)數(shù)，求的最小值.[練習(xí)12]若函數(shù)在實(shí)數(shù)區(qū)間為向下凸函數(shù)，，求證：[練習(xí)13]設(shè)為正系數(shù)的多項(xiàng)式，且，求證：.參考解答：[練習(xí)1]設(shè)是一個(gè)三角形的三邊長，求證：解析：采用“設(shè)限法”.對(duì)于三角形有：兩邊之和大于第三遍，即：，即：即：，即：于是：=1\*GB3①同理：；.上面三式相加得：證畢.本題的=1\*GB3①式就是對(duì)某個(gè)量設(shè)限，即將限制在某個(gè)范圍內(nèi)，以此得解.[練習(xí)2]設(shè)，求證：.解析：采用“柯西不等式”.由柯西不等式得：即：即：，即：即：.證畢.[練習(xí)3]設(shè)，且，求證：解析：采用“柯西不等式”.由得：，即：=1\*GB3①由柯西不等式得：即：即：.證畢.[練習(xí)4]設(shè)為任意實(shí)數(shù)，證明不等式：解析：采用“柯西不等式”.設(shè)，則設(shè)分母為：（）=1\*GB3①則，于是：=2\*GB3②由=1\*GB3①-=2\*GB3②得：，即：=3\*GB3③將=1\*GB3①=3\*GB3③代入待證不等式得：即：=4\*GB3④=4\*GB3④式就是我們需要證明的不等式.由于，所以則：=5\*GB3⑤由柯西不等式得：即：=6\*GB3⑥將=5\*GB3⑤式代入=6\*GB3⑥式得：即：即：即=4\*GB3④式得證，本題得證.證畢.[練習(xí)5]設(shè)，且，求證：.解析：采用“函數(shù)的增減性”.將規(guī)范化：=1\*GB3①利用=1\*GB3①式將待證式齊次化：即：=2\*GB3②因?yàn)?，所以不同時(shí)為.當(dāng)其中一個(gè)為時(shí)，不等式=2\*GB3②顯然成立.當(dāng)式，=2\*GB3②式兩邊同除以得：=3\*GB3③設(shè)：，則：，代入=3\*GB3③式得：=4\*GB3④即：，即：=5\*GB3⑤設(shè)：，則：，代入=5\*GB3⑤式得：即：=6\*GB3⑥=6\*GB3⑥式就是待證式，其中構(gòu)建函數(shù)：=7\*GB3⑦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=8\*GB3⑧當(dāng)時(shí)，由=8\*GB3⑧式得：，即單調(diào)遞增.故：，即：=6\*GB3⑥式成立，不等式獲證.[練習(xí)6]設(shè)，且，求證：.解析：采用柯西不等式.即：即：=1\*GB3①將代入=1\*GB3①式得：.證畢.[練習(xí)7]設(shè)，且，求證：解析：將不等式齊次化：=1\*GB3①作換元：，，，且，，代入=1\*GB3①式得：=2\*GB3②即：=3\*GB3③左邊：右邊：代入=3\*GB3③式得：即：=4\*GB3④=4\*GB3④式不等式就是需要我們證明的待證不等式.由繆爾海德定理：繆爾海德不等式：設(shè)為實(shí)數(shù)，且，，，，；設(shè)，則有：簡寫為：對(duì)本題：，，，，，于是，=4\*GB3④式正好就是繆爾海德不等式.繆爾海德不等式的式子兩邊要求齊次化，故本題重要的就是齊次化.[練習(xí)8]設(shè)，且，求證：.解析：本題采用均值定理分拆法：由均值定理得：則：=1\*GB3①同理：=2\*GB3②=3\*GB3③將上面三式=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③相加得：證畢.[練習(xí)9]設(shè)，求證：.解析：本題采用均值定理分拆法：法一：采用均值定理構(gòu)造.由均值定理得：=1\*GB3①令：，，代入=1\*GB3①式得：即：，即：即：，即：即：=2\*GB3②同理得：，上面三式相加及得：.證畢.法一：由約束條件，及待證式為對(duì)稱求和，斷定可采用切線法.作變換：設(shè)：，，，則：約束條件變?yōu)椋?1\*GB3①待證式變?yōu)椋?2\*GB3②B>構(gòu)建函數(shù)：（）=3\*GB3③其導(dǎo)函數(shù)為：=4\*GB3④于是：，則切線方程為：=5\*GB3⑤C>判別函數(shù)=6\*GB3⑥當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以判別式可確定其極值.設(shè)：=7\*GB3⑦在區(qū)間求得的極小值，則在極小值處：即：，即：=8\*GB3⑧D>判別函數(shù)的極小值在處：由=4\*GB3④式：由=5\*GB3⑤式：故