24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系了解點和圓的三種位置關(guān)系的圖形特征;掌握點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系;掌握“不在同一直線上的三點確定一個圓”,并能作出這個圓了解反證法的意義，會用反證法進(jìn)行簡單的證明，掌握直線和圓的三種位置關(guān)系的特點及判別方法:了解割線、切線的概念:掌握切線的判定和性質(zhì)，并能靈活運用，了解并會應(yīng)用切線長定理,了解三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心等概念體驗數(shù)形結(jié)合思想和建模思想,提高解決實際問題的能力.知識點一直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點,這時我們說這條直線和圓相交直線和圓只有一個公共點,這時我們說這條直線和圓相切直線和圓沒有公共點,這時我們說這條直線和圓相離圖形公共點個數(shù)210圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系d＜rd=rd＞r公共點名稱交點切點無直線名稱割線切線無總結(jié)直線l與O相交直線l與O相切直線l與O相離即學(xué)即練已知，的半徑為一元二次方程的兩根，圓心O到直線l的距離，則直線l與的位置關(guān)系是．【答案】相交【分析】運用因式分解來解出的兩根，舍去負(fù)數(shù)，再與比較，即可作答，此題考查了因式分解來解一元二次方程，以及判斷圓與直線的關(guān)系：記圓心到直線的距離為，圓的半徑為，如果，相離；如果，相切；如果，相交．【詳解】解：∵的半徑分別為一元二次方程的兩根，∴則，（舍），∵圓心O到直線l的距離，∴，∴直線l與的位置關(guān)系是相交．故答案為：相交知識點二切線的判定定理和性質(zhì)定理定理文字語言符號語言判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑即學(xué)即練（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，、分別與相切于、兩點，點為上一點，連接、，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)得，得出，再利用圓周角定理可得答案．熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，、分別與相切于、兩點，，，，，故選：．知識點三切線長及切線長定理1.切線長經(jīng)過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間線段的長,叫做這點到圓的切線長如圖所示,直線PA是的切線，點A是切點,線段PA的長是點P到的切線長切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.如圖所示，用數(shù)學(xué)符號語言敘述:因為PA、PB是的兩條切線,所以PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB提示(1)此圖是切線長定理的一個基本圖形,還可以得出很多結(jié)論，如:POAB;AD=BD;;PAOA,PBOB;∠AOB+∠APB=180°,∠AOP=∠BOP=∠AOB;∠1=∠2=∠3=∠4等.(2)此定理主要用于證明線段相等、角相等及垂直關(guān)系，如PO垂直平分AB,應(yīng)重點掌握.3.三角形外心的性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于外接圓的半徑4.三角形外心的位置銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部;直角三角形的外心是斜邊中點:鈍角三角形的外心在三角形外部5.三角形外接圓的作法分別作出三角形兩條邊的垂直平分線,兩垂直平分線的交點O即為該三角形的外接圓的圓心，于是以點0為圓心，以圓心到任一頂點的距離為半徑作圓，即可得到三角形的外接圓.即學(xué)即練（2023上·福建福州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，、、是的切線，、、為切點，若，，則的長為．【答案】3【分析】根據(jù)切線長定理，得，于是．【詳解】與相切于點，與相切于點，，，．與相切于點，與相切于點，，的長為，故答案為：．【點睛】本題考查切線長定理，由切線長定理得到相等線段是解題的關(guān)鍵．知識點四三角形的內(nèi)切圓1.三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,這個三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心3.三角形內(nèi)心的性質(zhì)(1)三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點;(2)內(nèi)心到三角形三邊的距離相等4.三角形的內(nèi)切圓的作法先作出三角形的兩條角平分線,以兩條角平分線的交點為圓心,交點到一邊的距離為半徑作圓,即可得到三角形的內(nèi)切圓提示一個三角形只有一個內(nèi)切圓,而一個圓有無數(shù)多個外切三角形5.三角形的外心、內(nèi)心比較名稱外心內(nèi)心圖形性質(zhì)三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等位置外心不一定在三角形內(nèi)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)角度關(guān)系即學(xué)即練（2023上·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是．【答案】1【分析】先根據(jù)勾股定理求出，由切線長定理得，，，設(shè)，則，，然后根據(jù)，求解即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，∵為的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴，，，如圖，連接，，∵為的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，∴，則的半徑為1．故答案為：1．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理．知識點五圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系圖形公共點數(shù)量關(guān)系相離:如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離外離無內(nèi)含無相切:如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切外切1內(nèi)切1相交:如果兩個圓有兩個公共點,那么就說這兩個圓相交2即學(xué)即練（2023·四川德陽·中考真題）已知的半徑為，的半徑為，圓心距，如果在上存在一點，使得，則的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)位于內(nèi)部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最大值；當(dāng)位于外部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最小值．【詳解】當(dāng)位于內(nèi)部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最大值．如圖所示，．當(dāng)位于外部，且，，位于同一條直線上時，可以取得最小值．如圖所示，．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，能采用數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．題型1判斷直線和圓的位置關(guān)系例1（23·24上·廈門·期中）已知平面內(nèi)有和點M，N，若半徑為2cm，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，根據(jù)直線上的點與圓的位置關(guān)系判定直線與圓的位置關(guān)系．【詳解】解：∵半徑為2cm，且線段，，∴點M在圓外，點N在圓上，則直線與的位置關(guān)系為相交或相切．故選：D．舉一反三1（23·24上·常州·期中）已知的半徑為2，直線l上有一點P滿足，則直線l與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)圓于直線關(guān)系直接判斷即可得到答案.【詳解】解：由題意可得，∵，∴當(dāng)是點O到直線的距離時相切，當(dāng)不是點O到直線的距離時距離小于2相交，故選：D.【點睛】本題考查圓與直線的關(guān)系，圓心到直線的距離等于半徑相切，圓心到直線距離小于半徑時小角，大于半徑相離．舉一反三2（23·24上·無錫·期中）已知的半徑為，點O到直線l的距離為，則直線l與的位置關(guān)系是．【答案】相離【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，掌握當(dāng)圓心到直線的距離大于圓的半徑時，直線與圓相離是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的半徑為，點O到直線l的距離為，，∴直線l與相離，故答案為：相離．題型2已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值例2（21·22下·南平·自主招生）如圖，直線與圓心在原點，半徑為的圓有公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等面積法算出坐標(biāo)原點到直線的距離，根據(jù)圓與直線有交點可判斷圓半徑范圍；【詳解】

解：過原點作交于點C，直線與坐標(biāo)軸的交點為A、B兩點，令解得，故A點坐標(biāo)為：令解得，故B點坐標(biāo)為：故直線到坐標(biāo)原點的距離為：，直線與圓有公共點，故；故選：C．【點睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．舉一反三1（22·23上·鹽城·階段練習(xí)）已知的斜邊，直角邊．以點C為圓心，當(dāng)半徑r取值時，與邊只有一個公共點．【答案】或【分析】分當(dāng)圓和斜邊相切和當(dāng)圓和斜邊相交兩種情況求解即可．【詳解】如圖，∵斜邊，直角邊，∴．當(dāng)圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高；當(dāng)圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則．故答案為或．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，在解答此題時要注意分兩種情況討論，不要漏解．舉一反三2（22·23·鎮(zhèn)江·中考真題）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點O為圓心、r為半徑作．若對于符合條件的任意實數(shù)k，一次函數(shù)的圖像與總有兩個公共點，則r的最小值為．【答案】2【分析】由的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，可知，由過定點，可知當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，進(jìn)而可得r的最小值是2．【詳解】解：∵的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，∴，隨的增大而減小，∵過定點，∴當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，∴r的臨界點是2，∴r的最小值是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像，直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．題型3已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離例3（23·24上·廣州·期中）已知的半徑為5，直線是的切線，則點到直線的距離是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．5【答案】D【分析】根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：的半徑是5，直線l是的切線，那么點O到直線l的距離是5．故選：D．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑；當(dāng)直線與圓相交時，圓心到直線的距離小于半徑；當(dāng)直線與圓相離時，圓心到直線的距離大于半徑．舉一反三1（21·22上·韶關(guān)·期中）已知的半徑為7，直線l與相交，點O到直線l的距離為4，則上到直線l的距離為3的點的個數(shù)為個．【答案】3【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等，先過點D作，即可求得上到直線l的距離為3的點的個數(shù)．【詳解】解：如圖，∵的半徑為7，點O到直線l的距離為4，即，∴，在上截取，過點D作，交于A、B兩點，∴上到直線l的距離為3的點為A、B、C，故答案為：3．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、平行線間的距離處處相等的性質(zhì)，正確畫出符合題意的圖形、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·全國·課時練習(xí)）以點為圓心，為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸恰好有三個公共點，則的值為．【答案】或【分析】作軸，連結(jié)，根據(jù)勾股定理計算出，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到滿足條件的的取值為且．【詳解】作軸，連結(jié)，如圖，∵點的坐標(biāo)為，∴，，∴，∵以點為圓心，為半徑的圓與坐標(biāo)軸恰好有三個公共點，∴過點或者與軸相切，∴或．故答案為或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為：①直線和相交?；②直線和相切?；③直線和相離?．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．題型4求圓平移到與直線相切時圓心經(jīng)過的距離例4（20·21·綿陽·一模）如圖，⊙O1的直徑AB長度為12，⊙O2的直徑為8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直線O1O2平移，當(dāng)⊙O2平移到與⊙O1和AB所在直線都有公共點時，令圓心距O1O2＝x，則x的取值范圍是（）A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8【答案】D【分析】由題意得出點O2在點O1的右側(cè)，⊙O2與⊙O1和AB所在直線都有公共點時，O1O2的最大值和最小值，分別畫出圖形求解得出x的取值范圍，根據(jù)對稱性可得點O2在點O1的左側(cè)時的結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點O2在點O1的右側(cè)時，當(dāng)⊙O2向左移動到與直線AB相切時，如圖1所示，設(shè)切點為M，則O2M=4，又∵∠AO2O1=30°，∴O1O2=2?O2M=8，當(dāng)⊙O2繼續(xù)向左移動到與⊙O1內(nèi)切時，如圖2所示，此時O1O2=64=2，所以當(dāng)⊙O2平移到與⊙O1和AB所在直線都有公共點時，2≤x≤8；故選：D．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平移的性質(zhì)，求出符合條件的x的最大值和最小值是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三1（22·23·松原·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．【答案】/【分析】分兩種情況討論：位于軸左側(cè)和位于軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】解：的圓心P的坐標(biāo)為，，的半徑為2，，，，當(dāng)位于軸左側(cè)且與軸相切時，平移的距離為1，當(dāng)位于軸右側(cè)且與軸相切時，平移的距離為5，平移的距離d的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．舉一反三2（22·23·江蘇·假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向以個單位/秒的速度平移，使與y軸相切，則平移的時間為秒．【答案】2或10【分析】平移分在y軸的左側(cè)和y軸的右側(cè)兩種情況寫出答案即可．【詳解】解：當(dāng)位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1；∴(秒)；當(dāng)位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5．∴(秒)；故答案為：2或10【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．題型5求直線平移到與圓相切時運動的距離例5（22·23上·泰州·階段練習(xí)）如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，則平移的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由垂徑定理和勾股定理得，當(dāng)點H平移到點C時，直線與圓相切，求得．【詳解】解：連接，∵，∴，∴，∵將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時，∴，即直線在原有位置向下移動后與圓相切．故選：B．【點睛】本題利用了垂徑定理，勾股定理，及切線的概念求解，正確掌握各定理并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·南昌·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為2的的圓心P從點（點A在直線上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)點P運動的時間為秒，則當(dāng)時，與坐標(biāo)軸相切．【答案】2或6或10【分析】設(shè)與坐標(biāo)軸的切點為，根據(jù)已知條件得到，，，推出是等腰直角三角形，，①當(dāng)與軸相切時，②如圖，與軸和軸都相切時，③當(dāng)點只與軸相切時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)與坐標(biāo)軸的切點為，直線與軸、軸分別交于點、，點，時，，時，，時，，，，，，，，是等腰直角三角形，，①當(dāng)與軸相切時，點是切點，的半徑是2，軸，，是等腰直角三角形，，，，點的速度為每秒個單位長度，；②如圖，與軸和軸都相切時，，，點的速度為每秒個單位長度，；③當(dāng)點只與軸相切時，，，點的速度為每秒個單位長度，．綜上所述，則當(dāng)或6或10秒時，與坐標(biāo)軸相切，故答案為：2或6或10．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（22·23上·南平·階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當(dāng)運動時間為時，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設(shè)對應(yīng)的圓的圓心分別在M，根據(jù)切線的性質(zhì)，在中，根據(jù)30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長，進(jìn)而求得的長，從而求得由P到M移動的時間；根據(jù)，即可求得，也可以求得由P到M移動的時間．【詳解】解：當(dāng)在射線上，設(shè)與相切于點E，P移動到M時，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動，∴移動時與直線相切．當(dāng)在射線上時，同理可求移動時與直線相切．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．題型6切線的應(yīng)用例6（22·23·深圳·二模）如圖，在中，，，，D是上一動點，于E，交于點F，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點O，連接，，延長交于T．證明，推出點E在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運動，推出當(dāng)與相切時，的值最大，根據(jù)切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，取的中點O，連接，，延長交于T．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴E在上，∵，∴，∴點E在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴當(dāng)與相切時，的值最大，∵直線，直線都是的切線，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的最大值為．故選：B．【點睛】本題考查直角三角形角的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點E在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運動，并推出與相切時，的值最大．舉一反三1（23·24上·南京·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P是矩形內(nèi)部的一個動點，且，連接并延長交于E，則的最大值為．【答案】/【分析】以為直徑作，連接，，設(shè)，當(dāng)直線與相切時，最大，證明，得，再同理可證：，得，再在中，根據(jù)勾股定理即可．【詳解】解：在矩形中，，以為直徑作，連接，，設(shè)，，點在上，，當(dāng)直線與相切時，最大，，，在和中，，，同理可證：，，在中，，，解得：，故的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要四邊形綜合應(yīng)用，動點問題，三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓的定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．舉一反三2（22·23上·淮安·階段練習(xí)）如圖，分別切于點，點是上一點，且，則的度數(shù)為．【答案】【分析】連接，由切線性質(zhì)、及四邊形內(nèi)角和為得到，再根據(jù)圓周角定理即可得到．【詳解】解：連接，如圖所示：分別切于點，，，，由四邊形內(nèi)角和為得到，，，故答案為：．【點睛】本題考查圓中求角度，涉及切線性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、圓周角定理等知識，熟記相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．題型7有關(guān)切線的說法辨析例7（20·21上·龍巖·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．垂直于半徑的直線是圓的切線 B．經(jīng)過三點一定可以作圓C．每個三角形都有一個內(nèi)切圓 D．圓的切線垂直于圓的半徑【答案】C【分析】根據(jù)與圓有關(guān)的基本概念依次分析各項即可判斷．【詳解】A．垂直于半徑且經(jīng)過半徑外端點的直線是圓的切線，故本選項錯誤；B．經(jīng)過不共線的三點一定可以作圓，注意要強(qiáng)調(diào)“不共線”，故本選項錯誤；C．每個三角形都有一個內(nèi)切圓，本選項正確；D．圓的切線垂直于過切點的半徑，注意強(qiáng)調(diào)“過切點”，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了有關(guān)圓的切線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是注意與圓有關(guān)的基本概念中的一些重要字詞，學(xué)生往往容易忽視，要重點強(qiáng)調(diào)．舉一反三1（23·24上·全國·課時練習(xí)）下列直線中可以判定為圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線 B．經(jīng)過半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑的直線 D．與圓心的距離等于半徑的直線【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：A．與圓有且僅有一個公共點的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；

B．經(jīng)過半徑外端的直線且垂直于半徑的直線是圓的切線，故該選項不正確，不符合題意；C．經(jīng)過半徑外端的直線且與半徑垂直的直線是圓的切線，故不正確；

D．與圓心的距離等于半徑的直線，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了切線的判定方法，如果直線與圓只有一個公共點，這時直線與圓的位置關(guān)系叫做相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點；經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．舉一反三2（22·23上·福州·期末）平面內(nèi)，的半徑為，點到的距離為，過點可作的切線條數(shù)為（）A．條 B．條 C．條 D．無數(shù)條【答案】C【分析】先確定點與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)切線的定義即可直接得出答案．【詳解】解：的半徑為，點到圓心的距離為，，點與的位置關(guān)系是：在外，過圓外一點可以作圓的條切線，故選：C．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，切線的定義，切線就是與圓有且只有個公共點的直線，理解定義是關(guān)鍵．題型8判斷或補(bǔ)全使直線為切線的條件例8（21·22上·綏化·期中）下列說法：①平分弦的直徑垂直于弦；②三點確定一個圓；③在同圓或等圓中相等的弦所對的圓周角相等；④垂直于半徑的直線是圓的切線；⑤三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等．其中不正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】舉出反例圖形或者根據(jù)圓的性質(zhì)，即可判斷①②③④；根據(jù)三角形內(nèi)心的定義和角平分線性質(zhì)即可推出⑤．【詳解】解：如圖1，∵直徑CD和直徑AB，符合AB平分弦CD，且AB是直徑，但AB和CD不垂直，∴①錯誤；∵在同一直線上的三點不能確定一個圓，∴②錯誤；∵在同圓或等圓中相等的弦所對的同側(cè)的圓周角相等；∴③錯誤；∵如圖②，CD⊥半徑OA，但CD不是圓的切線，∴④錯誤；∵根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等，∴⑤正確；∴不正確的有4個，故選：D．【點睛】本題考查了確定圓的條件，角平分線的性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，圓周角定理等知識點的應(yīng)用．舉一反三1（22·23下·鎮(zhèn)江·一模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A、B、C均落在格點上．(1)的周長為______．(2)請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在上確定一點，使以點為圓心，以為半徑的與相切．（保留作圖痕跡）【答案】(1)12(2)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、切線的判定定理作圖即可．【詳解】（1）解：由勾股定理得：，則的周長，故答案為：12；（2）延長至，使，連接，取的中點，連接交于點，則點即為所求．【點睛】本題考查的是勾股定理、切線的判定定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（22·23上·濮陽·階段練習(xí)）已知：內(nèi)接于，過點A作直線．(1)如圖1，為直徑，要使為的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）：①___________；②_____________．(2)如圖2，是非直徑的弦，，求證：是的切線．【答案】(1)①(或)(答案不唯一)②；(答案不唯一)(2)見解析【分析】（1）①根據(jù)切線的判斷由或可判斷為的切線；②當(dāng)，根據(jù)圓周角定理得，所以，即，于是也可判斷為的切線；（2）作直徑，連接，由為直徑得，則，根據(jù)圓周角定理得，而，所以，根據(jù)切線的判定定理得到為的切線；【詳解】（1）解：①當(dāng)(或)可判斷為的切線；②當(dāng)，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∴為的切線；故答案為∶①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)（2）證明：如圖，作直徑，連接，∵為直徑，∴，∴，∵，，∴，即，∴，∴，∴為的切線；【點睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．題型9證明某直線是圓的切線例9（23·24上·黃石·期中）如圖，為的直徑，平分，交弦于點G，連接半徑交于點E，過點C的一條直線交的延長線于點F，．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的長；【答案】(1)證明見解析；(2)3【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)證得，即可證得結(jié)論；（2）利用勾股定理求得半徑，進(jìn)而求得，根據(jù)三角形中位線定理即可求得．【詳解】（1）證明：平分，，C是的中點，，，，，，，是半徑，直線是的切線；（2）解：設(shè)，，，，在中，解得：，，又，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，三角形中位線定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·河北·期中）如圖所示，已知是等邊三角形，以為直徑作，交邊于點D，交邊于點E，作于點F．(1)求證：是的切線；(2)若的邊長為2，求的長度．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)切線的判定定理證明即可；（2）連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)面積法結(jié)合圖形計算即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是等邊三角形，∴．∵，∴．∴，∴，∵，∴于點D．∵點D在上，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，∵為直徑，∴．∴．∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．舉一反三2（23·24上·商丘·期中）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．(1)直線與相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長．【答案】(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）解：設(shè)半徑為；在中，，即，解得；，，在中，，，解得．【點睛】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及圓的切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型10切線的性質(zhì)定理例10（22·23上·南開·期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE切⊙O于點A，AE與直徑BD的延長線相交于點E．(1)如圖①，若∠C＝71°，求∠E的大?。?2)如圖②，當(dāng)AE＝AB，DE＝2時，求∠E的大小和⊙O的半徑．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）連接，先由切線的性質(zhì)得的度數(shù)，求出，進(jìn)而得，則可求出答案；（2）連接，由等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)含解的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：連接．∵切于點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴．（2）連接，設(shè)是的切線，即在中，即解得在中，即的半徑為2；【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，用方程思想解決幾何問題，關(guān)鍵是熟悉掌握這些性質(zhì)．舉一反三1（23·24上·無錫·期中）如圖，在中，，D為上的一點，以為直徑的半圓與交于點F，且切于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）連接、，證明，可得，，再求出可得結(jié)論；（2）連接，證明、都是等邊三角形，求出，可得，再根據(jù)，可求的長．【詳解】（1）證明：連接、，∵切于點E，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，∵，，∴，∵，∴、都是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·西城·期中）如圖，A是外一點，與相切于點B，連接，交于點C．若，，求圓的半徑．【答案】的半徑為2．【分析】連接，設(shè)的半徑為x，利用勾股定理列式計算即可求解．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為x，∵與相切于點B，∴，∴，∵，即，解得，∴的半徑為2．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．題型11切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例11（22·23·江門·一模）如圖，矩形中，＝13，＝6，點E是上的動點，以為直徑的⊙O與交于點F，過點F作于點G．?(1)當(dāng)E是的中點時：tan的值．(2)在（1）的條件下，證明：是圓O的切線．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，利用E為中點即可求得；（2）連接，矩形的性質(zhì)證明，得出，利用等邊對等角得角相等，等量代換得，得出平行從而有，則結(jié)論得證．【詳解】（1）（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵E是的中點，∴，∴．（2）證明：連接，在矩形中，，，又，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∴．∵，∴，∵是⊙O的半徑，∴是⊙O的切線．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定．熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（21·22上·襄陽·期末）在中，，平分交于點，是邊上一點，以為直徑的經(jīng)過點，且交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）連接，證明即可；（2）由勾股定理求出半徑，根據(jù)三角形的面積公式、扇形面積公式計算即可．【詳解】（1）證明：連接，∵以為直徑的經(jīng)過點，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）連接，作于，設(shè)的半徑為，∴，，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∵在中，，∴，解得：，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積計算，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·海淀·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，交于點，為上一點，延長交于點，延長至，使，連接．(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角結(jié)合對等角相等即可推出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑，則，，在中，【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，即，，是半徑，為的切線；（2）解：設(shè)的半徑，則，，在中，由勾股定理得，，，解得，或（舍去），的半徑為3．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型12應(yīng)用切線長定理求解例12（18·19上·紅橋·期末）如圖，、切⊙O于點A、B，，切于點E，交、于C、D兩點，則的周長是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得出，，，求出的周長是，代入求出即可．【詳解】解：∵、切⊙O于點A、B，切于點E，∴，，，∴的周長是．故選：C．【點睛】本題考查了切線長定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的周長．舉一反三1（23·24上·西城·期中）如圖，，是的兩條切線，切點分別為，，連接，，若，則°．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理，根據(jù)題意可得，，進(jìn)而求得，根據(jù)等邊對等角，即可求解．【詳解】解：，是的兩條切線，，，，，，．故答案為：．舉一反三2（23·24上·南寧·階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點，，，且，，，求，，的長．【答案】，，【分析】由切線長定理可知；，，，設(shè)，則，，然后根據(jù)，列方程求解即可．【詳解】解：的內(nèi)切圓與，，分別相切于點、、，，，．設(shè)，則，．根據(jù)題意得．解得；．．，．，，．【點睛】本題主要考查的是三角形內(nèi)切圓的有關(guān)問題以及切線長定理的應(yīng)用，根據(jù)切線長定理列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．題型13應(yīng)用切線長定理求證例13（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，中，，點在邊上，過點且分別與邊、相交于、兩點，，點為垂足．(1)求證：直線是的切線；(2)當(dāng)是等邊三角形，且直線與相切時，直接寫出長度為線段長度2倍的所有線段．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，要證直線是的切線，只需證明；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而判定，即可；（2）連接，根據(jù)切線長定理可得，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，，然后證明，可得，即可．【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，即直線是的切線；（2）解：連接，∵直線與相切，直線是的切線，∴．∵是等邊三角形，∴，∴，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，即長度為線段長度2倍的所有線段為．【點睛】本題主要考查了切線長定理，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線長定理，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（22·23下·武漢·模擬預(yù)測）已知的圓心在上，、分別為的切線，切點分別為、，交另一點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明出或即可利用同位角相等，兩直線平行，或內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出，再利用，利用平行線分線段成比例定理求出半徑，最后由得到比例線段即可求出．【詳解】（1）證明：連接，、分別為的切線，，，在和中，，，，，，，，；（2）解：在中，，，由勾股定理，得，設(shè)，則，，，，，由（1）知，，即，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，，在中，由勾股定理，得，，，，即，解得．【點睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·贛州·期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點A，B，D均在圓上．請僅用無刻度的直尺分別下列要求畫圖．(1)在圖①中，若是直徑，與圓相切，畫出圓心O；(2)在圖②中，若均與圓相切，畫出圓心O．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長交圓與點E，連接，與交點即為圓心O；（2）連接交于點G，交圓于點E，延長交于點F，延長交于點H，連接交于點O，點O即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，延長交圓與點E，連接，與交點即為圓心O；∵是直徑，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，，∴，∴是直徑，∴O是圓心；（2）解：連接交于點G，交圓于點E，延長交于點F，延長交于點H，連接交于點O，點O即為所求；∵均與圓相切，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴四邊形是菱形，∴，，∴是直徑，是等邊三角形，∴，是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴過圓心O，即為所求；【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行作圖．題型14直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系例14（22·23上·鄂州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，，直角邊在軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為，拋物線的頂點為，則．【答案】【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為1，再設(shè)，，則，，由直角三角形性質(zhì)，得，即，根據(jù)切線長定理得，，則，化簡得，由勾股定理，得，化簡得，把①代入②解得：，則，從而求得，再由拋物線的頂點為，而拋物線的頂點為，則，即可求解．【詳解】解：∵是直角三角形，，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為，∴，，，∴，設(shè)，，∴，，∵，∴，即，，化簡得，由勾股定理，得，化簡得，把①代入②解得：（負(fù)值不符合題意，已舍去），∴，∴，∵，∴拋物線的頂點為，∵拋物線的頂點為，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形內(nèi)切圓，切線長性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，求出點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（23·24上·石家莊·期中）如圖，已知圓O為的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，且，，，則的半徑r為．【答案】2【分析】連接，由勾股定理的逆定理求得是直角三角形，根據(jù)面積關(guān)系，即可求得半徑．【詳解】解：如圖，連接，∵，，，，∴，∴是直角三角形，∵為的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，∴，且，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：2．舉一反三2（22·23上·平?jīng)觥て谀┤鐖D，已知為的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，且，，，求的半徑．【答案】的半徑為2．【分析】連接，由勾股定理可計算出AC的長，根據(jù)面積關(guān)系，即可求得半徑．【詳解】解：如圖，連接，∵為的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F∴，且，在中，由勾股定理得，∴，∵∴即∴，即的半徑為2．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，勾股定理，圖形的面積等知識，利用面積關(guān)系解答是關(guān)鍵．題型15圓外切四邊形模型例15（22·23上·邯鄲·期中）如圖，是四邊形的內(nèi)切圓．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)內(nèi)切圓得到四條角平分線，結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵是四邊形的內(nèi)切圓，∴，，，，∵，∴，∵，，，∴，故選：A；【點睛】本題考查圓內(nèi)切四邊形及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到．舉一反三1（21·22上·南京·期中）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，若∠BOC＝118°，則∠AOD＝．【答案】62°【分析】先根據(jù)切線長定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形內(nèi)角和計算出∠1+∠2＝62°，則∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四邊形內(nèi)角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可．【詳解】解：∵圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°，∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°，∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°，∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°．故答案為：62°．【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)切圓．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和，掌握四邊形的內(nèi)切圓性質(zhì)．切線的性質(zhì)和切線長定理，三角形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．舉一反三2（20·21下·蘇州·中考真題）如圖①，甲，乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如圖②，已知正方形與矩形滿足如下條件：正方形外切于一個半徑為5米的圓，矩形內(nèi)接于這個圓，．（1）求容器甲，乙的容積分別為多少立方米？（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲，乙同時持續(xù)注水（注水前兩個容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時，4小時后．把容器甲的注水流量增加立方米/小時，同時保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時，同時容器乙的注水流量仍舊保持不變．直到兩個容器的水位高度相同，停止注水．在整個注水過程中，當(dāng)注水時間為時，我們把容器甲的水位高度記為，容器乙的水位高度記為，設(shè)，已知（米）關(guān)于注水時間（小時）的函數(shù)圖像如圖③所示，其中平行于橫軸．根據(jù)圖中所給信息，解決下列問題：①求的值；②求圖③中線段所在直線的解析式．【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可直接得出正方形的邊長，即可求出容器甲的容積；連接，由圓周角定理的推論可知為直徑，即，再在中，根據(jù)勾股定理即可求出EF和EH的長，即可求出容器乙的容積．（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為平方米，容器乙的底面積為平方米．①當(dāng)時，根據(jù)題意即可求出此時的值，即得出M點坐標(biāo)．由平行于橫軸，即得出N點坐標(biāo)，即6小時后高度差仍為米，由此即可列出關(guān)于a的等式，解出a即可．②設(shè)注水b小時后，，根據(jù)題意可列出關(guān)于b的等式，解出b即得到P點坐標(biāo)．設(shè)線段所在直線的解析式為，利用待定系數(shù)法即可求出其解析式．【詳解】（1）由圖知，正方形的邊長，∴容器甲的容積為立方米．如圖，連接，∵，∴為直徑．在中，，，根據(jù)勾股定理，得，，∴容器乙的容積為立方米．（2）根據(jù)題意可求出容器甲的底面積為平方米，容器乙的底面積為平方米．①當(dāng)時，．∵平行于橫軸，∴，．由上述結(jié)果，知6小時后高度差仍為1.5米，∴．解得．②設(shè)注水b小時后，，則有．解得，即．設(shè)線段所在直線的解析式為，∵、在直線上，∴，解得：．∴線段所在直線的解析式為．【點睛】本題考查圓的內(nèi)接和外切四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用．根據(jù)題意畫出圖形求出兩個容器的各邊長和理解題意找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．題型16三角形內(nèi)心有關(guān)應(yīng)用例16（23·24上·無錫·期中）如圖，在中，且，點P為的內(nèi)心，點O為邊中點，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在的下方作等腰，使得．連接，過點K作交的延長線于點T．判斷出點P的運動軌跡，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：在的下方作等腰，使得．連接，過點K作交的延長線于點T．∵點P是的內(nèi)心，，∴，∴，∴，∴點P在以K為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心，勾股定理，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．舉一反三1（22·23下·衡水·期中）如圖，在中，，點是的內(nèi)心，(1)=；(2)若的延長線與的外角的平分線交于點，當(dāng)時，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)、分別平分、，得出，，根據(jù)求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)當(dāng)時，，得出此時，求出．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵點是的內(nèi)心，∴、分別平分、，∴，，∴；故答案為：；（2）解：∵是的外角，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵當(dāng)時，，∴此時，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了內(nèi)心的定義，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)心為三角形三個內(nèi)角平分線的交點．舉一反三2（23·24上·南京·階段練習(xí)）如圖，I為內(nèi)一點，的延長線交的外接圓于點D．若，．求證：I為的內(nèi)心．【答案】見解析【分析】由，可得，，即平分，如圖，連接，由，可得，由是的一個外角，可得，由，可得，即平分，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵，∴，，即平分，如圖，連接，∵，∴．∵是的一個外角，∴，∵，∴，即平分，∴為的內(nèi)心．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，角平分線，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，內(nèi)心．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：三角形的內(nèi)心為三角形角平分線的交點．題型17一般三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系例17（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，，于，為的內(nèi)切圓，設(shè)的半徑為，的長為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，，，，的長為，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)已知條件利用三角形面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵．舉一反三1（22·23下·梅州·開學(xué)考試）若四邊形的對角線，相交于，，，，的周長相等，且，，的內(nèi)切圓半徑分別為，，，則的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確【答案】A【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，分別表示出四個三角形的面積，再根據(jù)由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得，進(jìn)而可得，由此列出方程，即可解出．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，，，，的周長為L，如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，，，則，由切線長定理可知：，，，，，，，，，，∴，同理：，，，由等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比可得：，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角的內(nèi)切圓與內(nèi)心性質(zhì)、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比的應(yīng)用．知道三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半、等高三角形面積之比等于對應(yīng)的底之比是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2（22·23上·襄陽·自主招生）圓內(nèi)切于正三角形，半徑為R，圓與圓及，均相切，圓的半徑為r，則等于（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】設(shè)圓、圓分別與相切于點，圓與相切于點，連接，，，，，，求出，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，且點在一條直線上，從而可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)圓、圓分別與相切于點，圓與相切于點，連接，，，，，，∵圓與圓相切，圓的半徑為，圓的半徑為，，圓內(nèi)切于正三角形，，，，平分，，，∵圓與，均相切，，，是的角平分線，，且點在一條直線上，，即，解得，則，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、角平分線的判定定理、等邊三角形的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型18三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合例18（22·23九年級下·河北承德·階段練習(xí)）兩直角邊的長分別為和，則其內(nèi)心與外心的距離為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，的內(nèi)心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，求出，根據(jù)面積法求出，進(jìn)而得出，可得，根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：的內(nèi)心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，設(shè)，，∴，∵的內(nèi)心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，∴，，根據(jù)三角形的面積可得：，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴內(nèi)心與外心的距離為，故選：D．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)心與外心，勾股定理，得出三角形的內(nèi)心與外心的位置是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（21·22九年級上·云南紅河·期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點，，，，則．【答案】5【分析】連接、、、、、，根據(jù)題意得到，即，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接、、、、、，∵的內(nèi)切圓半徑，、、為切點，，

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，

，，即，，故答案為：5．【點睛】本題考查圓的外接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，，點是的內(nèi)心．（1）點到邊的距離為；（2）是的外心，連接，則的長為．【答案】2【分析】（1）連接，，，過點分別作，，于點，，，根據(jù)，，可得，即可解決問題；（2）連接，證明，可得，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，連接，，，過點分別作，，于點，，，在中，，，，，是的內(nèi)心，，，，，點到邊的距離為2；故答案為：2；（2）如圖，連接，由1.知，，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，（AAS），，是的外心，，，在中，根據(jù)勾股定理得：．故答案為：；．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形外接圓與外心，三角形的全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心和外心的區(qū)別．題型19圓和圓的位置關(guān)系例19（22·23上·紅河·期末）如圖所示，點在直線上，的半徑為的半徑為以每秒的速度從A點運動到點，當(dāng)點A出發(fā)后秒兩圓相切．【答案】4或5【分析】設(shè)點A出發(fā)后t秒兩圓相切，①當(dāng)兩圓外切時，則，②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，則，進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：設(shè)點A出發(fā)后t秒兩圓相切，①當(dāng)兩圓外切時，如圖（1）所示，則，，，②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，如圖（2）所示，則，，，綜上，當(dāng)點A出發(fā)后4秒或5秒兩圓相切，故答案為：4或5．【點睛】本題考查了兩圓相切時，兩圓的半徑與圓心距的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩圓相切時，兩圓的半徑與圓心距的關(guān)系，分類討論．舉一反三1（22·23下·深圳·自主招生）如圖，已知半的半徑為60，半圓內(nèi)兩個小半圓的半徑均為30，與三圓均相切，則的半徑為．【答案】20【分析】設(shè)的半徑為r，連接，，再利用勾股定理可得，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)的半徑為r，連接，，則，，在中，由勾股定理，得，解得．故答案為：20【點睛】本題考查的是兩圓相切的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24上·南通·開學(xué)考試）若與的半徑分別分、，圓心距，則兩圓的位置關(guān)系是．【答案】內(nèi)含【分析】根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可知．【詳解】∵與的半徑分別分、，圓心距，∴，∴兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)含，如圖，故答案為：內(nèi)含．【點睛】本題考查兩個圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷是關(guān)鍵．設(shè)兩個圓半徑分別為R、r，圓心距為d，當(dāng)時，兩圓相離；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓相交；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含．題型20圓的綜合問題例20（23·24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖1，BC為的直徑，點A為弧BC的中點，連接AB，AC，(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，點D在弧AB上，連接AD、BD，連接CD交AB于點E，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，在CA上截取，過點F作于點G，F(xiàn)G的延長線交于點H，連接OG、CH，若，，求AD的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓心角及其所對弧、弦之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等，即可得到，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得所對的圓周角，得到是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；（2）如圖2，連接，，過點作于點，過點作于點，則四邊形為矩形，得到，，由為直徑，得到為直角三角形，根據(jù)股股定理得，設(shè)，則，圓的半徑為，則，根據(jù)三角形面積公式可得，即可得到，由圖可得，再由勾股定理得，，可證得，由此可得，兩邊開平方即可得出結(jié)論；（3）如圖，過點作于點，連接，作的延長線交于點，連接，先證明，再證明，由，，可證得，得到，，然后證得，再由，即可證得，得到，，再證得是等腰直角三角形，即可求出，過點作于點，則所在的直線垂直平分，由軸對稱性質(zhì)可得，即可得到，進(jìn)而證得，設(shè)，則，，，根據(jù)勾股定理得，代入解得，即可求出．【詳解】（1）解：點為弧的中點，，，又為直徑，，為等腰直角三角形，．（2）證明：如圖，連接，，過點作于點，過點作于點，，，，，四邊形為矩形，，，為直徑，，，設(shè)，則，圓的半徑為，則，，，，，，，，，點在弧上，，，，．（3）解：如圖，過點作于點，連接，作的延長線交于點，，，，，，，即為等腰直角三角形，，，，，又，，，，，，，，，，即在和中，，，，，，，，，過點作于點，則所在的直線垂直平分，關(guān)于所在的直線對稱，，，，交于點，交于點，點，點關(guān)于所在直線對稱，與關(guān)于所在直線對稱，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，解得，(舍去)，為等腰直角三角形，．【點睛】本題綜合考查了圓的性質(zhì)，垂徑定理及推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)、定理及推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2022·湖南長沙·三模）如圖，在中，，是的直徑，交于點D，過點D的直線交于點E，交的延長線于點P，是的切線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求圖1中陰影部分的周長；(3)如圖2，若，連接，交于點N，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角進(jìn)行解答即可；（2）證明是等邊三角形，可得，再由弧的長度，在中，求出，，則陰影部分的周長為；（3）連接，，過作于點，利用同弧所對的圓周角相等，得到，設(shè)，則，求出，由得：，證明，得出，即可求出．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∴．（2）解：連接，如圖所示：∵，∴，∵是的切線，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．∴，∴弧的長度，在中，，，∴，∴，∴陰影部分的周長為：．（3）解：連接，，過作于點，如圖所示：∵，∴設(shè)，則，，由得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，弧長公式，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角，三角形相似的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（23·24九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖1，在矩形中，，，點以的速度從點向點運動，點以的速度從點向點運動．點、同時出發(fā)，運動時間為秒（），是的外接圓．(1)當(dāng)時，的半徑是______，與直線的位置關(guān)系是______；(2)在點從點向點運動過程中，當(dāng)與矩形邊相切時，求的值．(3)連接，交于點，如圖2，當(dāng)時，的值是______．【答案】(1)，相離；(2)或；(3)【分析】（1）先求出的長，根據(jù)勾股定理可得的長，根據(jù)直角三角形的外接圓直徑是斜邊即可求解；（2）如圖3，根據(jù)切線的性質(zhì)作輔助線，則，由列方程即可求解；（3）如圖4，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明，最后根據(jù)勾股定理列方程即可求解．【詳解】（1）如圖1，過作于，交于，四邊形是矩形，，∥，的直徑是，，當(dāng)時，，，，，，，，的半徑為，∥，是的中點，，是的中位線，，，與直線的位置關(guān)系是相離；故答案為：，相離；（2）如圖2，當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，連接并延長交于，則，，則，，，，中，，，，解得：；當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，連接并延長交于，則，，則，，，，，，解得：；綜上所述：當(dāng)與矩形相切時或；（3）如圖4，過作，交的延長線于點，連接，，，，，，，，，，，，，，，解得：（舍），．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線是本關(guān)鍵．題型21過圓外一點作圓的切線（尺作圖）例21（22·23上·常州·期中）（1）如圖1，在中，是邊上的中線，，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線；（）如圖，已知是外一點，過點作的一條切線．（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，以為直徑作圓，交于點，那么直線是的切線．【詳解】（1）∵在中，是邊上的中線，，∴，∴又∵∴∴又∵是的半徑∴是的切線；（2）如圖所示，以為直徑作圓，交于點，則直線是的切線．【點睛】本題考查了切線的判定，作切線，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（22·23上·龍巖·階段練習(xí)）（1）已知：如圖，求作內(nèi)切圓．（2）已知：如圖，過點P求作的切線．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）圓心到各邊的距離相等，所以要作各內(nèi)角的角平分線的焦點，交點就是內(nèi)切圓的圓心，圓的半徑是圓心到各邊的距離．（2）利用直徑上的圓周角是直角，構(gòu)造直角，利用切線的定義判斷即可．【詳解】（1）解：作圖如下：步驟：第一步：作的角平分線，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交、于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于的長為相同半徑分別畫弧使其相交于點P，連接；第二步：作的角平分線，以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別、于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于長為相同半徑分別畫弧使其相交于點，連接；第三步：確定圓心．和的交點就是內(nèi)切圓的圓心；第四步：確定半徑．過點圓心作的垂線，垂足為點，以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，交于點和點，再分別以點和點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，使其相交于點，連接，交于點，點就是垂直于的垂足．第五步：連接，以點為圓心，以的長為半徑畫圓，即為所求．（2）如圖，直線即為所求作．步驟：第一步：連接，作的垂直平分線l，交于點A；第二步：以A為圓心，為半徑作圓，交于點M；第三步：作直線，則直線即為的切線．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的尺規(guī)作圖法，明確內(nèi)切圓圓心是三角形各內(nèi)角角平分線的交點是解決本題的關(guān)鍵．也考查了圓的切線判定，基本作圖，切線的定義．舉一反三2（22·23下·福州·模擬預(yù)測）如圖，點P是外一點，連接交于點．(1)過點P作的兩條切線，，切點分別為A，B（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，求證：點I是的內(nèi)心．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先作的垂直平分線，交于一點，再以這個點為圓心，以該點到O點的距離為半徑畫弧線交于點A，B，連接，即可；（2）先證明，得到，從而證得平分，進(jìn)一步得到垂直平分，再證明，最后根據(jù)證得，得到平分，即可證得點I是的內(nèi)心．【詳解】（1）解：如圖所示，，圓為所求作的的兩條切線，其中切點分別為A，B．（2）證：連接，記與的交點為D．由（1）得都是的切線，切點分別為A，B，∴，∴．∴．∵，∴，∴，即平分，∴點O，P在線段的垂直平分線上，即垂直平分．∴，∴，∴．∵，∴，即，∴，即平分，∴點I是的內(nèi)心．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、圓的切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識．一、單選題一、單選題1．（22·23上·咸寧·期末）如圖，點A是上一定點，點B是上一動點、連接、、、分別將線段、繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到，，連接，，，，下列結(jié)論正確的有（）①點在上；②；③；④當(dāng)時，與相切．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】可證得和是等邊三角形，可推出，從而得出①正確；根據(jù)“邊角邊”可證得②；根據(jù)②可推出，進(jìn)一步得出③正確；作，可推出，進(jìn)而得出，結(jié)合可推出點C和點B重合，進(jìn)而得出④正確，從而得出結(jié)果．【詳解】解：，，是等邊三角形，同理可得，是等邊三角形，①是等邊三角形，，∴點在上，故①正確，，，在和中，，故②正確，③由②知，，，，，，是等邊三角形，，，，，故③正確，④如圖，過點O作于C，是等邊三角形，，，，垂直平分，∴，，，和重合，，是的切線，故④正確，綜上所述：①②③④均正確，故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．2．（22·23上·濟(jì)寧·期末）如圖，的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、，且，，，則陰影部分（即四邊形）的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用正方形的判定確定四邊形是正方形，進(jìn)而利用圓的切線性質(zhì)可知線段的關(guān)系，進(jìn)而求出陰影部分的面積．【詳解】解：∵，，，∴，∴為直角三角形，，∵與分別相切于點、，∴，，，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，∵的內(nèi)切圓與、、分別相切于點、、，∴，，∴，∴，∴陰影部分的面積是：，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，三角形的內(nèi)心到頂點的連線平分這個內(nèi)角；勾股定理的逆定理和切線性質(zhì)等相關(guān)知識點．熟練運用知識點是解決問題的關(guān)鍵．3．（22·23上·邯鄲·期末）如圖，是的直徑，，點在上，，為弧的中點，是直徑上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于于點，此時的值最小，即，連接，根據(jù)點在上，，為弧的中點，可得，根據(jù)圓