第5課（B培優(yōu)）數(shù)列的綜合（原卷版）-【名校沖刺】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊）

第18課：數(shù)列的綜合教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)列與其他章節(jié)知識點的綜合運用重點數(shù)列與其他章節(jié)知識點的靈活運用難點數(shù)列與其他章節(jié)知識點的靈活運用（一）等差與等比數(shù)列的綜合知識梳理一、等差數(shù)列、等比數(shù)列①等差數(shù)列通項公式：等差數(shù)列求和公式：；②等比數(shù)列通項公式：等比數(shù)列求和公式：例題精講【例1】已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.【例2】已知數(shù)列滿足奇數(shù)項成等差，公差為d，偶數(shù)項成等比，公比為q，且數(shù)列的前n項和為，，．，．若，則正整數(shù)______．鞏固訓(xùn)練1、已知在等差數(shù)列中，，，前項和為，等比數(shù)列滿足，，前項和為，則（）A． B． C． D．2、已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.（1）求和的通項公式；（2）數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前60項和.（二）數(shù)列與不等式例題精講【例3】已知數(shù)列中滿足，，若前n項之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是（）A．2008 B．2014 C．2021 D．2022【例4】數(shù)列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為___________.【例5】若數(shù)列滿足(，且為實常數(shù))，，則稱數(shù)列為數(shù)列.（1）若數(shù)列的前三項依次為，，，且為數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知是公比為的等比數(shù)列，且，記.若存在數(shù)列為數(shù)列，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；鞏固訓(xùn)練1、已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）.A． B．C． D．2、已知等比數(shù)列的公比，且，，等差數(shù)列的前項和為，且有，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（三）數(shù)列與函數(shù)例題精講【例6】已知函數(shù)的定義域為，數(shù)列滿足，，(實數(shù)是非零常數(shù)).（1）若，且數(shù)列是等差數(shù)列，求實數(shù)的值；（2）若數(shù)列滿足，求通項公式；（3）若，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，試證明：.【例7】設(shè)數(shù)列的前n項和為，對任意，函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點，則數(shù)列的通項公式__________________．【例8】定義在R上的函數(shù)滿足，，數(shù)列滿足，的前n項和為，則=_________．【例9】若定義在上的函數(shù)滿足：對于任意實數(shù)，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數(shù).（1）已知為“類余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的條件下，定義數(shù)列（），求的值；鞏固訓(xùn)練1、已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則______．2、記函數(shù)的所有零點之和為，數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A．有最大值，沒有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最小值0D．有最小值，沒有最大值3、已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖像與x軸所圍成的圖形面積；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（四）數(shù)列與三角例題精講【例10】已知函數(shù)，當(dāng)時，把函數(shù)的所有零點依次記為x1，x2，x3，…，xn，且x1<x2<x3<……<xn，記數(shù)列的前n項和為，則___________.【例11】已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.鞏固訓(xùn)練1、已知數(shù)列的首項，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前項之和，則的值是A． B．1011 C．1008 D．3362、已知函數(shù)，函數(shù)在上的零點按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．（五）數(shù)列與向量例題精講【例12】已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，為其前項和，等比數(shù)列的前三項分別為，設(shè)向量，則的最大值是__________【例13】已知為數(shù)列的前項和，，平面內(nèi)三個不共線的向量，，，滿足，，，若，，在同一直線上，則___________.【例14】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若的面積為，求．鞏固訓(xùn)練1、已知，是互相垂直的單位向量，向量滿足：，，是向量與夾角的正切值，則數(shù)列是（）A．單調(diào)遞增數(shù)列且 B．單調(diào)遞減數(shù)列且C．單調(diào)遞增數(shù)列且 D．單調(diào)遞減數(shù)列且2、平面直角坐標(biāo)系中，已知是直線上的個點（，均為非零常數(shù)）.（1）若數(shù)列成等差數(shù)列，求證：數(shù)列也成等差數(shù)列；（2）若點是直線上的一點，且，求的值；（3）若點滿足，我們稱是向量的線性組合，是該線性組合的系數(shù)數(shù)列.證明：是向量的線性組合，則系數(shù)數(shù)列的和是點在直線上的充要條件.3、已知非零向量列滿足：，，（，）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）向量與的夾角；（3）設(shè)，將中所有與共線的向量按原來的順序排成一列，記作，令，為坐標(biāo)原點，求點的坐標(biāo).實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練一、填空題1、已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________．2、在中，，，分別為、、的對邊，如果，，成等差數(shù)列，，的面積為0.5，那么為．3、已知數(shù)列的奇數(shù)項依次成等差數(shù)列，偶數(shù)項依次成等比數(shù)列，且，，，，則______.4、已知等差數(shù)列滿足，函數(shù)，，則數(shù)列的前項和為______．5、正項等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時的值為_________．6、如圖，將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排成數(shù)表，已知表中的第一列、、、構(gòu)成一個公比為的等比數(shù)列，從第行起，每一行都是一個公差為的等差數(shù)列，若，，則________.二、選擇題7、下列命題中正確的是（）A．對給定的數(shù)列，其通項公式有且只有一個B．在等差數(shù)列中，若，則C．若存在非零常數(shù)，使對任意，都有，則數(shù)列為等比數(shù)列D．若，其中、為常數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列8、若等比數(shù)列的前項和，則A． B． C． D．無法確定9、已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值A(chǔ)．恒為負數(shù) B．恒為正數(shù) C．恒為0 D．可正可負10、已知共有項的數(shù)列，，定義向量，，若，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)有（）個．A．2 B．k C． D．三、解答題11、已知正數(shù)數(shù)列中，，向量，.（1）求