專題03直線和圓的方程

專題03直線和圓的方程專題03直線和圓的方程一、直線的傾斜角、斜率1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),,.②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．、斜率k之間的大小變化關(guān)系：（1）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大；（2）當(dāng)時(shí)，越大，斜率越大.二、直線方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為：.這個(gè)方程就叫做直線點(diǎn)斜式方程.特別地，直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的斜截式方程.直線過(guò)兩點(diǎn)其中，則直線的方程為：.這個(gè)方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程.當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過(guò)兩點(diǎn)，則直線的方程為：，這個(gè)方程叫做直線的截距式方程.關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時(shí)，斜率，截距.三、兩條直線的平行與垂直1．兩直線的平行關(guān)系(1)對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對(duì)于兩條直線，其斜率為，有.(2)對(duì)于兩條直線，有.四、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.兩條直線相交：對(duì)于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo).2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無(wú)數(shù)組解，則重合．五、距離設(shè)兩點(diǎn)，則.2.點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離.3.兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.六、對(duì)稱問(wèn)題：2．中心對(duì)稱：點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，是中心對(duì)稱，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.3.軸對(duì)稱：點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，則l是線段AB的垂直平分線，可以利用垂直和平分分別列方程：和在直線l上.七、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)若圓的圓心為C(a,b),半徑為r，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．(2)方程表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓．3.點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系(1)|AC|<r?點(diǎn)A在圓內(nèi)?；(2)|AC|＝r?點(diǎn)A在圓上?；(3)|AC|>r?點(diǎn)A在圓外?.八、圓的一般方程(1)任意一個(gè)圓的方程都可化為：.這個(gè)方程就叫做圓的一般方程．(2)對(duì)方程：.①若，則方程表示以，為圓心,為半徑的圓；②若，則方程只表示一個(gè)點(diǎn)，；③若，則方程不表示任何圖形．九、直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓相切：（1）直線與圓相切：直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）幾何法：圓心到直線的距離等于半徑，即；（3）代數(shù)法：，方程組有一組不同的解.（1）直線與圓相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）幾何法：圓心到直線的距離小于半徑，即；（3）代數(shù)法：，方程組有兩組不同的解.十、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心分別為、，圓心距為，半徑分別為、().(1)兩圓相離：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.(2)兩圓外切：有一個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.(3)兩圓相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有兩組不同的解.(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.(5)兩圓內(nèi)含：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.特別地，時(shí)，為兩個(gè)同心圓.題型一直線的傾斜角與斜率【典例1】（2023秋·云南昆明·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，若過(guò)的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出直線，的斜率，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.【典例2】（2002·北京·高考真題）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)位于第一象限列式求出的范圍，可得傾斜角的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，不合題意，故，由，得，則兩直線的交點(diǎn)為，依題意得，解得，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B【總結(jié)提升】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.k是含參數(shù)的一個(gè)式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開(kāi)結(jié)合的方法求其范圍．題型二：求直線方程【典例3】（2022秋·河南洛陽(yáng)·高二宜陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)重心是三角形三條中線的交點(diǎn),垂心是三角形三條高的交點(diǎn))依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線,已知△ABC的頂點(diǎn)B(1,0),C(0,2),AB=AC,則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x4y3=0 B．2x+4y+3=0C．4x2y3=0 D．2x+4y3=0【答案】D【分析】由題意計(jì)算出線段的垂直平分線【詳解】,則中點(diǎn)坐標(biāo)為,則BC的垂直平分線方程為,,即,，的外心，重心，垂心，都在線段BC的垂直平分線上的歐拉線方程為故選D【典例4】（2023秋·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為．【答案】或.【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況求直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，代入點(diǎn)，得，得，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，代入點(diǎn)，得，得，即，化簡(jiǎn)得.綜上可知，滿足條件的直線方程為或.故答案為：或.【規(guī)律方法】求直線方程的注意事項(xiàng)(1)在求直線方程時(shí)，根據(jù)題目的條件選擇適當(dāng)?shù)男问剑?2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類與整合思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零)．【易錯(cuò)提醒】涉及直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等問(wèn)題，要特別注意截距均為的情況；另外，某些涉及直線問(wèn)題中，往往要討論直線的斜率是否存在的情況，也應(yīng)特別注意.題型三兩條直線平行與垂直【典例5】（2009·全國(guó)·高考真題）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號(hào)是(寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào))．【答案】①⑤【分析】先求兩平行線間的距離為，結(jié)合題意直線m被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為得到直線m與兩平行線的夾角為30°，再根據(jù)已知直線的傾斜角進(jìn)行求解．【詳解】因?yàn)?，所以直線，間的距離．設(shè)直線m與直線，分別相交于點(diǎn)B，A，則，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于直線，垂足為C，則，則在中，，所以，又直線的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角為或．故答案為：①⑤．【典例6】（2023秋·山東日照·高二山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）如果直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線l的法向量為，求直線l的方程；（2）已知直線與直線垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線的法向量與斜率的關(guān)系再結(jié)合點(diǎn)斜式計(jì)算即可；（2）根據(jù)直線垂直的充要條件計(jì)算即可.【詳解】（1）由直線l的法向量為可得直線的一個(gè)方向向量為，故直線的斜率為，由點(diǎn)斜式可知直線的方程為：；（2）因?yàn)閮芍本€垂直，故有.【規(guī)律方法】1.解決兩直線的位置關(guān)系問(wèn)題要根據(jù)已知直線方程的形式靈活選用相應(yīng)的條件，顯然該題中直接利用一般式方程對(duì)應(yīng)的條件更為簡(jiǎn)潔．另外利用直線的斜率和截距討論時(shí)，不要忘記斜率不存在時(shí)的討論．2.可將方程化成斜截式，利用斜率和截距進(jìn)行分析；也可直接利用一般式套用兩直線垂直與平行的條件求解．一般式方程化成斜截式方程時(shí)，要注意直線的斜率是否存在（即的系數(shù)是否為0）.題型四對(duì)稱問(wèn)題【典例7】（2004·浙江·高考真題）曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線為，得到其對(duì)稱點(diǎn)，代入計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線為，在曲線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為因?yàn)樵谇€上，所以，即故選:C.【典例8】（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即.故選：D.【典例9】（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意知，，解得.又知，解得，所以，即，所以雙曲線C的離心率是故選：C.【典例10】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線和兩點(diǎn)，若直線上存在一點(diǎn)使得最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化，再根據(jù)圖象，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】首先設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得：，即根據(jù)對(duì)稱性可知，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)最小，即點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，，直線，聯(lián)立，解得：，即此時(shí)故答案為：【典例11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）M是拋物線上一點(diǎn)，N是圓C：關(guān)于直線x－y＋1＝0的對(duì)稱圓上的一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】由題意求出圓的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，求出對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)到拋物線上的點(diǎn)的距離的最小值，減去半徑即可得到的最小值.【詳解】假設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解方程組可得，所以曲線的方程為，圓心為，設(shè)，則，又，所以，，即，所以，故答案為：.【規(guī)律方法】涉及對(duì)稱問(wèn)題，主要有以下幾種情況：1．若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)是，則線段的中點(diǎn)在直線上且直線，由此可得一方程組，解這個(gè)方程組得：的值，從而求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).2．若直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由于對(duì)稱直線必與直線平行，故可設(shè)對(duì)稱直線為.因?yàn)橹本€間的距離是點(diǎn)到直線的距離的二倍，則有，解這個(gè)方程可得的值（注意這里求出的有兩個(gè)），再結(jié)合圖形可求得對(duì)稱直線的方程．3．若直線關(guān)于直線對(duì)稱，則在直線上取兩點(diǎn)，求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式便可得直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程．題型五光線的反射問(wèn)題【典例12】（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，從圓心C射出的光線被直線反射后，反射光線恰好與圓C相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由題可得圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)反射光線所在的直線斜率為k，然后利用直線與的圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】圓，圓心為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)反射光線所在的直線斜率為k，則反射光線所在的直線方程為，因?yàn)榉瓷涔饩€恰好與圓C相切，所以，整理得，解得或.故選：C．【典例13】（2022秋·山西·高二長(zhǎng)治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.【詳解】入射光線所在的直線方程為，即，聯(lián)立方程組解得即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得，即．因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：D.【總結(jié)提升】反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，歸結(jié)為“對(duì)稱問(wèn)題”.題型六求圓的方程【典例14】（2020·山東高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.【典例15】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．【總結(jié)提升】(1)要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個(gè)條件(包含三個(gè)代數(shù)量)：圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑長(zhǎng)；反之如果已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也能直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一般先求出圓心和半徑，再寫(xiě)方程．題型七與圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題【典例16】（2023秋·浙江金華·高三階段練習(xí)）已知圓的直徑，點(diǎn)滿足.記點(diǎn)的軌跡為，設(shè)與交于兩點(diǎn)，則.【答案】【分析】首先建立坐標(biāo)系，分別求圓和圓的方程，兩圓相減后求直線的方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解弦長(zhǎng).【詳解】以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為，，，設(shè)，由題意可知，，整理為，，則圓的方程為；兩圓相減得直線的方程為，圓心到直線的距離，所以線段.故答案為：【典例17】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OA并延長(zhǎng)到B，使．問(wèn)：所有滿足條件的點(diǎn)B組成的曲線是什么形狀的？【答案】以為圓心，以4為半徑的圓【分析】設(shè)，由題意A為OB的中點(diǎn)，得，結(jié)合點(diǎn)A在圓C上，代入即可求得點(diǎn)B的軌跡．【詳解】由圓得，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，如圖，設(shè)，由題意A為OB的中點(diǎn)，得，∵點(diǎn)A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，∴，則整理得，即∴所有滿足條件的點(diǎn)B組成的曲線是以為圓心，以4為半徑的圓．【規(guī)律方法】求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：能直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．步驟如下：(2)代入法(也稱相關(guān)點(diǎn)法)若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)跟隨某條曲線(直線)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，則找到所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的關(guān)系，代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)所在的方程．具體步驟如下：①設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)P(x，y)，與點(diǎn)P相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)Q(x0，y0)；②根據(jù)條件列出x，y與x0、y0的關(guān)系式，求得x0、y0(即用x，y表示出來(lái))；③將x0、y0代入已知曲線的方程，從而得到點(diǎn)D(x，y)滿足的關(guān)系式即為所求的軌跡方程．(3)定義法：動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．題型八圓的切線問(wèn)題【典例18】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.【典例19】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）漢代初年成書(shū)的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見(jiàn)四鄰矣”．這是中國(guó)古代入民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對(duì)稱性可知反射光線過(guò)且又在該圓上，即可得為切點(diǎn)，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過(guò)且與該圓相切，將圓化簡(jiǎn)后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點(diǎn)，因此圓心與切點(diǎn)連線與反射光線垂直，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．【典例20】（2021·天津高考真題）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則____________．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.【規(guī)律方法】求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程，首先判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以確定切線的條數(shù)．(1)求過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓連線的斜率k，則由垂直關(guān)系得切線斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程．如果k＝0或斜率不存在，則由圖形可直接得切線方程為y＝y(tǒng)0或x＝x0．(2)求過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程時(shí)，常用幾何方法求解：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進(jìn)而求出切線方程．但要注意，若求出的k值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，切線方程為x＝x0．題型九圓的弦長(zhǎng)、弦心距問(wèn)題【典例21】（2020·全國(guó)高考真題（文））已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【典例22】（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【規(guī)律方法】1.弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).2.具體方法步驟：設(shè)直線l的方程為ax＋by＋c＝0，圓O的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦長(zhǎng)的方法通常有以下兩種：(1)幾何法：由圓的性質(zhì)知，過(guò)圓心O作l的垂線，垂足C為線段AB的中點(diǎn)．如圖所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，則弦長(zhǎng)|AB|＝2|BC|＝2eq\r(r2－d2)．(2)代數(shù)法：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得關(guān)于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的關(guān)系式，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])題型十圓與圓的位置關(guān)系【典例23】（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【典例24】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.【規(guī)律方法】常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法兩圓公共弦長(zhǎng)，先求出公共弦所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題．比較兩圓半徑的和、差與兩圓圓心距的大小可得兩圓的位置關(guān)系；兩圓方程相減即得公共弦方程；公共弦長(zhǎng)要通過(guò)解直角三角形獲得．題型十一直線、圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例25】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出輪船沿直線返港時(shí)直線的方程及暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程，由輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)可得直線與相離，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】以小島中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，南北方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)輪船所在位置為點(diǎn)B，港口所在位置為點(diǎn)A，如圖所示，則，（），暗礁分布的圓形區(qū)域的邊界的方程為，所以輪船沿直線返港時(shí)直線的方程為，即，又因?yàn)檩喆刂本€返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，所以直線與相離，即圓心O到直線的距離（），解得.故選：A.【典例26】（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C過(guò)，，且圓心C在x軸上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)C且不與x軸重合的直線與圓C相交于M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別與直線相交于P，Q，記，面積為，，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）設(shè)圓的方程為，將，代入求得即可；（2）討論直線斜率是否存在，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求得直線方程；（3）設(shè)直線的方程分別為，求出的坐標(biāo)，將表達(dá)為的函數(shù)，用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由圓心C在x軸上，設(shè)圓的方程為，又圓C過(guò)，得，解得，，所以圓的方程為；（2）因?yàn)橹本€與圓C截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心C到直線的距離為，①若直線斜率不存在時(shí)，直線與圓C交點(diǎn)為，直線與圓C截得的弦長(zhǎng)為，故直線符合題意．②若直線斜率存在時(shí)，設(shè)，整理得，所以圓心C到直線的距離為，解得，則直線，即直線．綜上所述，直線的方程為或．（3）由題意知，，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由，得，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為由題可知：，，故，又∵，同理，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最大值為．【典例27】（2023秋·云南昆明·高二云南師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線為為圓與軸正半軸的交點(diǎn).(1)若直線與圓相切，求直線的方程：(2)證明：若直線與圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為定值.【答案】(1)或(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知求出圓心、半徑，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切列出方程求解，即可得出答案；（2）求出，設(shè)出直線方程，代入圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出.進(jìn)而表示出直線的斜率，整理即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，圓心，半徑.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線與圓不相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，則方程為，即.由直線與圓相切，可知圓心到直線的距離，整理可得，，解得或.所以，直線的方程為或.綜上所述，直線的方程為或.（2）由題設(shè)得到點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)為，，則；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入圓的方程可得.設(shè)點(diǎn)，則.所以，，則.綜上所述，與的斜率之和為定值.故與的斜率之和為定值.【典例28】（2023秋·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實(shí)線表示），建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示），觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向米的點(diǎn)A處，有一臺(tái)360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請(qǐng)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問(wèn)題：(1)在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？(2)求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度．【答案】(1)游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；（2）根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點(diǎn)可得范圍.【詳解】（1）設(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，，則，依題意得，游客所在位置為，則直線的方程為，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)．（2）由圖知，過(guò)的直線與圓相切或相離時(shí)，攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物擋住，所以設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且和圓相切，①若直線垂直于軸，則直線不會(huì)和圓相切；②若直線不垂直于軸，設(shè)，整理得，所以圓心到直線的距離為，解得或，所以或，即或，觀景直道所在直線方程為，設(shè)兩條直線與的交點(diǎn)為D，E，由，解得，由，解得，所以，答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度為8.75米．【規(guī)律方法】直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（1）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（2）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（3）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過(guò)圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最?。?、選擇題：1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即.故選：D.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即為.故選：B.3.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.5.（2014·四川·高考真題）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，令，則.因?yàn)?，所?所以，.選B.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.二、多項(xiàng)選擇題：6．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省太和中學(xué)?？几?jìng)賽）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．若直線與直線相交，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)斜率為求得的范圍可判斷A；根據(jù)兩直線垂直的等價(jià)條件和充分條件必要條件的定義可判斷B；由兩直線相交得出，因?yàn)?，所以，解不等式可判斷C；分為兩種情況討論，當(dāng)在軸和軸上截距都為時(shí)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距相等不為時(shí)，求出直線方程可判斷D.【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，與直線斜率乘積等于，兩直線互相垂直，所以充分性成立；若“直線與直線互相垂直”，則可得或，所以不一定有，故必要性不成立，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與直線相交，所以兩直線的斜率不相等，即，即，由與消去得，因?yàn)?，所以，整理得且，解得或，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都為時(shí)，所求直線方程為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距相等不為時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即，可得，所求直線的方程為，綜上，所求直線方程為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BD.7.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離