2023-2024學(xué)年天津市河西區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年天津市河西區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。1.下列情況適合用抽樣調(diào)查的是(

)A.調(diào)查某化工廠周?chē)?個(gè)村莊是否受到污染 B.調(diào)查某批次汽車(chē)的抗撞擊能力

C.調(diào)查某班學(xué)生的身高情況 D.學(xué)校招聘，對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行面試2.已知事件A,B,C的概率均不為0，則PA=PB的充要條件是A.PA∪B=PA+PB B.PA∪C3.下列命題正確的是A.一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.兩條相交直線確定一個(gè)平面

C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面 D.三條平行直線確定一個(gè)平面4.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：

分組

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70)

頻數(shù)

2

3

4

5

4

2則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(

)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.655.隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的概率記為p1，“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率記為p2，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率記為p3，則A.p1<p2<p3 B.6.鐵棍的長(zhǎng)度隨環(huán)境溫度的改變而變化，某試驗(yàn)室從9時(shí)到16時(shí)每隔一個(gè)小時(shí)測(cè)得同一根鐵棍的長(zhǎng)度依次為3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(單位：cm)，則(

)A.鐵棍的長(zhǎng)度的極差為0.04cm B.鐵棍的長(zhǎng)度的眾數(shù)為3.62cm

C.鐵棍的長(zhǎng)度的中位數(shù)為3.625cm D.鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為3.63cm7.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若m//α，n//β，α//β.則m/?/n；②若α//γ，β//γ，則α/?/β；③若m⊥α，n⊥β，α/?/β，則m/?/n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α/?/β．其中正確命題的序號(hào)是(

)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④8.袋中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，觀察顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)小球，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為(

)A.15 B.25 C.359.如圖，在正四棱錐S?ABCD中，E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①EP⊥AC；②EP//BD；③EP//平面SBD；④EP⊥平面SAC．其中恒成立的為(

)A.①③ B.③④ C.①② D.②③④二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.某中學(xué)高一年級(jí)有550名學(xué)生，高二年級(jí)有500名學(xué)生，高三年級(jí)有450名學(xué)生．用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)抽取了18人，則從高二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為

11.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為

12.若一組樣本數(shù)據(jù)21，19，x，20，18的平均數(shù)為20，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為

．13.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為DD1，BD，BB14.從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為

這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為

15.如圖，在一個(gè)60°的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB=AC=1，BD=2，則CD的長(zhǎng)為

三、解答題：本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于4.5”，根據(jù)直方圖得到PC的估計(jì)值為0.85(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值且估計(jì)甲離子殘留百分比的中位數(shù)；(2)從A組小鼠和B組小鼠分別取一只小鼠，兩只小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比都高于5.5的概率為多少．17.甲、乙兩位同學(xué)參加某高校的入學(xué)面試．入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，已知甲答對(duì)每道題目的概率都是35，乙答對(duì)每道題目的概率都是12.若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第(Ⅰ)求甲第二次答題通過(guò)面試的概率；(Ⅱ)求乙最終通過(guò)面試的概率；(Ⅲ)求甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試的概率．18.如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：EF/?/平面PAB；

(Ⅱ)若二面角P?AD?B為60°，

(i)證明：平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．答案解析1.B

【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的定義可以判斷B適合抽樣調(diào)查，根據(jù)全面調(diào)查的定義可以判斷A、C、D適合全面調(diào)查．故選：B2.C

【解析】因?yàn)镻A∪B由PA∪B只能得到PA∩B=0，并不能得到故A錯(cuò)誤；因?yàn)镻A∪CPB∪C又PA∪C所以PA由于無(wú)法確定事件A,B,C是否相互獨(dú)立，故無(wú)法確定PA=PB因?yàn)镻AB=P又PAB=P故C正確；對(duì)于D，由于不能確定A,B,C是否相互獨(dú)立，若A,B,C相互獨(dú)立，則PAC=PA則由PAC=PBC故PAC=PBC故D錯(cuò)誤；故選：C．3.B

【解析】根據(jù)一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，知A不正確;B顯然正確;C中四點(diǎn)不一定共面，或當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，不能確定一個(gè)平面，故C不正確;三條平行直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故D不正確．故選：B．4.B

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻數(shù)為2+3+4=9，

故所求的頻率為?920=0.45．

5.C

【解析】把隨機(jī)擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果列表如下：1,62,63,64,65,66,61,52,53,54,55,56,51,42,43,44,45,46,41,32,33,34,35,36,31,22,23,24,25,26,21,12,13,14,15,16,1共有36種等可能的結(jié)果，其中“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的有10種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的有26種情況，“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的有18種情況，所以“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的概率p1“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率p2“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3因?yàn)?18所以p1故選：C．6.ABC

【解析】鐵棍的長(zhǎng)度從小到大排列依次為3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65(單位：cm)，對(duì)于A：極差為3.65?3.61=0.04，故A正確；對(duì)于B：眾數(shù)為3.62，故B正確；對(duì)于C：中位數(shù)為3.62+3.632=3.625，故對(duì)于D：因?yàn)?×80％=6.4，所以鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為從小到大排列的第7個(gè)數(shù)，是3.64，所以D不正確．故選：ABC．7.C

【解析】對(duì)①，若m//α，n//β，α/?/β，則m與n可以平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤．對(duì)②，α//γ，β//γ，則α/?/β，故②正確．對(duì)③，當(dāng)m⊥α，n⊥β，α/?/β，則m/?/n，故③正確．對(duì)④，α⊥γ，β⊥γ，則α/?/β或者，α與β相交，故④錯(cuò)誤．故②③正確．故選：C8.B

【解析】解：由題意，

第一次從袋中摸出1個(gè)白球，概率為35，放回后再放入一個(gè)白球，

此時(shí)摸出黑球的概率為13，

即第一次從袋中摸出1個(gè)白球時(shí)，兩次摸到的小球顏色不同的概率為35×13=15；

第一次從袋中摸出1個(gè)黑球，概率為25，放回后再放入一個(gè)黑球，

此時(shí)摸出白球的概率為12，

即第一次從袋中摸出19.A

【解析】如圖所示，連接NE,ME，因?yàn)镋,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn)，所以EN//SB,MN//SD，又因?yàn)镋N∩MN=N,SB∩SD=S，且EN,MN?平面NEM，SB,SD?平面SBD，所以平面SBD//平面NEM，因?yàn)镋P?平面NEM，EP//平面SBD，所以③恒成立；設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為底面正方形ABCD的中心，且AC⊥BD，由正四棱錐S?ABCD，可得SO⊥平面ABCD，因?yàn)锳C?平面ABCD，所以SO⊥AC，又因?yàn)镾O∩BD=O，且SO,BD?平面SBD，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥平面NEM，因?yàn)镋P?平面NEM，所以AC⊥EP，所以①恒成立；對(duì)于②④對(duì)于線段MN上的任意一點(diǎn)P不一定成立．故選：A．10.20

【解析】根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為18450則高二年級(jí)抽取的人數(shù)是500×1故答案為：20．11.兩次都中靶

【解析】因?yàn)檫B續(xù)射擊兩次可能有兩次都沒(méi)中靶，恰有一次中靶，兩次都中靶，所以事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為“兩次都中靶”．故答案為

：“兩次都中靶”12.2

【解析】解：數(shù)據(jù)21，19，x，20，18的平均數(shù)為20，

∴15×(21+19+x+20+18)=20，

解得x=22，

所以該組樣本數(shù)據(jù)的方差為：

s2=1513.15【解析】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則D0,0,0FG=12所以cosC即C1E與FG所成的角的余弦值為故答案為：14.925或0.36；1325【解析】從數(shù)字0，1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，因?yàn)槭徊荒転?，則十位共有5種情況，個(gè)位有5種情況，則共有25種情況，要使兩位數(shù)是5的倍數(shù)，則個(gè)位上必須是5或0，且十位不能為0，若個(gè)位上是5，則有4種情況；若個(gè)位上是0，共有5種情況，故共有9種情況，則這個(gè)兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為925要使兩位數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位上必須是偶數(shù)，且十位不能為0，若個(gè)位上是2或4，則有8種情況；若個(gè)位上是0，則有5種情況，則共有13種情況，則這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為1325故答案為：925；1315.2

【解析】因?yàn)镃D→=CA由題意，CA→⊥AB所以CD→因?yàn)榫€段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，且二面角大小為60°，所以<CA而AB=AC=1，BD=2，于是CD→所以|CD故答案為：2．16.(1)

由頻率分布直方圖可得：0.05+b=1?0.85且0.15+a+0.2+0.15=0.85，

解得a=0.35,b=0.1，

甲離子殘留百分比的中位數(shù)為3.5+4.5?3.5(2)A組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率為0.15，

B組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率為0.7，

所以兩只小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比都高于5.5的概率為0.15×0.7=0.105．

【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出乙離子殘留百分比直方圖中a,b，即可求中位數(shù)；

(2)先求出A組、B組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求概率．17.(Ⅰ)設(shè)甲第二次答題通過(guò)面試為事件A，則PA(Ⅱ)設(shè)乙最終通過(guò)面試為事件B，對(duì)立事件為乙最終沒(méi)通過(guò)面試，∵PB∴PB(Ⅲ)設(shè)甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試為事件C，對(duì)立事件為甲、乙兩人都沒(méi)有通過(guò)面試，∵PC∴PC【解析】(Ⅰ)甲第二次答題通過(guò)面試，則第一次面試未通過(guò)，利用分步用乘法即可計(jì)算出概率．(Ⅱ)利用對(duì)立事件求出乙最終未通過(guò)面試的概率，再用1減去未通過(guò)面試的概率即得通過(guò)的概率．(Ⅲ)利用對(duì)立事件求出甲、乙兩人都未通過(guò)面試的概率，再用1減去甲、乙兩人都未通過(guò)面試的概率即得甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試的概率．18.(Ⅰ)證明：連接AC，AC∩BD=H，

∵底面ABCD是平行四邊形，

∴H為BD中點(diǎn)，

∵E是棱AD的中點(diǎn)．

∴在△ABD中，EH/?/AB，

又∵AB?平面PAB，EH?平面PAB，

∴EH/?/平面PAB．

同理可證，F(xiàn)H/?/平面PAB．

又∵EH∩FH=H，EH，F(xiàn)H?面EFH，

∴平面EFH/?/平面PAB，

∵EF?平面EFH，

∴EF/?/平面PAB；

(Ⅱ)證明：(i)如圖，連接PE，BE．

∵BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，

∴BE=1，PE=2．

又∵E為AD的中點(diǎn)，

∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB即為二面角P?AD?B的平面角，

即∠PEB=60°，∴PB=3．

∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，

∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，

而AB∩BD=B，且AB，BD?平面ABCD，

∴PB⊥平面ABCD，

∵PB?平面PBC，

∴平面PBC⊥平面ABCD；

(ii)解：由(i)知，PB⊥BD，PB⊥BA，

∵BA=BD=2，AD=2，

∴BD⊥BA，

∴BD，BA，BP兩兩垂直，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BD，BA，BP為x，y，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?DAP，

則有A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(