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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年天津市河西區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共9小題,每小題5分,共45分。1.下列情況適合用抽樣調(diào)查的是(
)A.調(diào)查某化工廠周?chē)?個(gè)村莊是否受到污染 B.調(diào)查某批次汽車(chē)的抗撞擊能力
C.調(diào)查某班學(xué)生的身高情況 D.學(xué)校招聘,對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行面試2.已知事件A,B,C的概率均不為0,則PA=PB的充要條件是A.PA∪B=PA+PB B.PA∪C3.下列命題正確的是A.一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.兩條相交直線確定一個(gè)平面
C.四點(diǎn)確定一個(gè)平面 D.三條平行直線確定一個(gè)平面4.容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表:
分組
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
頻數(shù)
2
3
4
5
4
2則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為(
)A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.655.隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的概率記為p1,“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率記為p2,“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率記為p3,則A.p1<p2<p3 B.6.鐵棍的長(zhǎng)度隨環(huán)境溫度的改變而變化,某試驗(yàn)室從9時(shí)到16時(shí)每隔一個(gè)小時(shí)測(cè)得同一根鐵棍的長(zhǎng)度依次為3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64(單位:cm),則(
)A.鐵棍的長(zhǎng)度的極差為0.04cm B.鐵棍的長(zhǎng)度的眾數(shù)為3.62cm
C.鐵棍的長(zhǎng)度的中位數(shù)為3.625cm D.鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為3.63cm7.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,給出下列命題:①若m//α,n//β,α//β.則m/?/n;②若α//γ,β//γ,則α/?/β;③若m⊥α,n⊥β,α/?/β,則m/?/n;④若α⊥γ,β⊥γ,則α/?/β.其中正確命題的序號(hào)是(
)A.①③ B.①④ C.②③ D.②④8.袋中有5個(gè)大小相同的小球,其中3個(gè)白球,2個(gè)黑球,從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球,觀察顏色后放回,同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球,然后再?gòu)拇须S機(jī)摸出1個(gè)小球,則兩次摸到的小球顏色不同的概率為(
)A.15 B.25 C.359.如圖,在正四棱錐S?ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列四個(gè)結(jié)論:①EP⊥AC;②EP//BD;③EP//平面SBD;④EP⊥平面SAC.其中恒成立的為(
)A.①③ B.③④ C.①② D.②③④二、填空題:本題共6小題,每小題5分,共30分。10.某中學(xué)高一年級(jí)有550名學(xué)生,高二年級(jí)有500名學(xué)生,高三年級(jí)有450名學(xué)生.用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)抽取了18人,則從高二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為
11.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為
12.若一組樣本數(shù)據(jù)21,19,x,20,18的平均數(shù)為20,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為
.13.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別為DD1,BD,BB14.從數(shù)字0,1,2,3,4,5中任取2個(gè)數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為
這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為
15.如圖,在一個(gè)60°的二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),并且都垂直于棱AB,若AB=AC=1,BD=2,則CD的長(zhǎng)為
三、解答題:本題共3小題,共45分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。16.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比,根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖:記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于4.5”,根據(jù)直方圖得到PC的估計(jì)值為0.85(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值且估計(jì)甲離子殘留百分比的中位數(shù);(2)從A組小鼠和B組小鼠分別取一只小鼠,兩只小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比都高于5.5的概率為多少.17.甲、乙兩位同學(xué)參加某高校的入學(xué)面試.入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目,已知甲答對(duì)每道題目的概率都是35,乙答對(duì)每道題目的概率都是12.若每位面試者共有三次機(jī)會(huì),一旦某次答對(duì)抽到的題目,則面試通過(guò),否則就一直抽題到第(Ⅰ)求甲第二次答題通過(guò)面試的概率;(Ⅱ)求乙最終通過(guò)面試的概率;(Ⅲ)求甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試的概率.18.如圖,四棱錐P?ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:EF/?/平面PAB;
(Ⅱ)若二面角P?AD?B為60°,
(i)證明:平面PBC⊥平面ABCD;
(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.答案解析1.B
【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的定義可以判斷B適合抽樣調(diào)查,根據(jù)全面調(diào)查的定義可以判斷A、C、D適合全面調(diào)查.故選:B2.C
【解析】因?yàn)镻A∪B由PA∪B只能得到PA∩B=0,并不能得到故A錯(cuò)誤;因?yàn)镻A∪CPB∪C又PA∪C所以PA由于無(wú)法確定事件A,B,C是否相互獨(dú)立,故無(wú)法確定PA=PB因?yàn)镻AB=P又PAB=P故C正確;對(duì)于D,由于不能確定A,B,C是否相互獨(dú)立,若A,B,C相互獨(dú)立,則PAC=PA則由PAC=PBC故PAC=PBC故D錯(cuò)誤;故選:C.3.B
【解析】根據(jù)一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,知A不正確;B顯然正確;C中四點(diǎn)不一定共面,或當(dāng)四點(diǎn)在一條直線上時(shí),不能確定一個(gè)平面,故C不正確;三條平行直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,故D不正確.故選:B.4.B
【解析】解:樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻數(shù)為2+3+4=9,
故所求的頻率為?920=0.45.
5.C
【解析】把隨機(jī)擲兩枚骰子的所有可能結(jié)果列表如下:1,62,63,64,65,66,61,52,53,54,55,56,51,42,43,44,45,46,41,32,33,34,35,36,31,22,23,24,25,26,21,12,13,14,15,16,1共有36種等可能的結(jié)果,其中“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的有10種情況,“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的有26種情況,“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的有18種情況,所以“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5”的概率p1“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率p2“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3因?yàn)?18所以p1故選:C.6.ABC
【解析】鐵棍的長(zhǎng)度從小到大排列依次為3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65(單位:cm),對(duì)于A:極差為3.65?3.61=0.04,故A正確;對(duì)于B:眾數(shù)為3.62,故B正確;對(duì)于C:中位數(shù)為3.62+3.632=3.625,故對(duì)于D:因?yàn)?×80%=6.4,所以鐵棍的長(zhǎng)度的第80百分位數(shù)為從小到大排列的第7個(gè)數(shù),是3.64,所以D不正確.故選:ABC.7.C
【解析】對(duì)①,若m//α,n//β,α/?/β,則m與n可以平行、相交或異面,故①錯(cuò)誤.對(duì)②,α//γ,β//γ,則α/?/β,故②正確.對(duì)③,當(dāng)m⊥α,n⊥β,α/?/β,則m/?/n,故③正確.對(duì)④,α⊥γ,β⊥γ,則α/?/β或者,α與β相交,故④錯(cuò)誤.故②③正確.故選:C8.B
【解析】解:由題意,
第一次從袋中摸出1個(gè)白球,概率為35,放回后再放入一個(gè)白球,
此時(shí)摸出黑球的概率為13,
即第一次從袋中摸出1個(gè)白球時(shí),兩次摸到的小球顏色不同的概率為35×13=15;
第一次從袋中摸出1個(gè)黑球,概率為25,放回后再放入一個(gè)黑球,
此時(shí)摸出白球的概率為12,
即第一次從袋中摸出19.A
【解析】如圖所示,連接NE,ME,因?yàn)镋,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),所以EN//SB,MN//SD,又因?yàn)镋N∩MN=N,SB∩SD=S,且EN,MN?平面NEM,SB,SD?平面SBD,所以平面SBD//平面NEM,因?yàn)镋P?平面NEM,EP//平面SBD,所以③恒成立;設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則O為底面正方形ABCD的中心,且AC⊥BD,由正四棱錐S?ABCD,可得SO⊥平面ABCD,因?yàn)锳C?平面ABCD,所以SO⊥AC,又因?yàn)镾O∩BD=O,且SO,BD?平面SBD,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面NEM,因?yàn)镋P?平面NEM,所以AC⊥EP,所以①恒成立;對(duì)于②④對(duì)于線段MN上的任意一點(diǎn)P不一定成立.故選:A.10.20
【解析】根據(jù)題意得,用分層抽樣在各層中的抽樣比為18450則高二年級(jí)抽取的人數(shù)是500×1故答案為:20.11.兩次都中靶
【解析】因?yàn)檫B續(xù)射擊兩次可能有兩次都沒(méi)中靶,恰有一次中靶,兩次都中靶,所以事件“至多一次中靶”的對(duì)立事件為“兩次都中靶”.故答案為
:“兩次都中靶”12.2
【解析】解:數(shù)據(jù)21,19,x,20,18的平均數(shù)為20,
∴15×(21+19+x+20+18)=20,
解得x=22,
所以該組樣本數(shù)據(jù)的方差為:
s2=1513.15【解析】解:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:
則D0,0,0FG=12所以cosC即C1E與FG所成的角的余弦值為故答案為:14.925或0.36;1325【解析】從數(shù)字0,1,2,3,4,5中任取2個(gè)數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù),因?yàn)槭徊荒転?,則十位共有5種情況,個(gè)位有5種情況,則共有25種情況,要使兩位數(shù)是5的倍數(shù),則個(gè)位上必須是5或0,且十位不能為0,若個(gè)位上是5,則有4種情況;若個(gè)位上是0,共有5種情況,故共有9種情況,則這個(gè)兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為925要使兩位數(shù)是偶數(shù),則個(gè)位上必須是偶數(shù),且十位不能為0,若個(gè)位上是2或4,則有8種情況;若個(gè)位上是0,則有5種情況,則共有13種情況,則這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為1325故答案為:925;1315.2
【解析】因?yàn)镃D→=CA由題意,CA→⊥AB所以CD→因?yàn)榫€段AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),并且都垂直于棱AB,且二面角大小為60°,所以<CA而AB=AC=1,BD=2,于是CD→所以|CD故答案為:2.16.(1)
由頻率分布直方圖可得:0.05+b=1?0.85且0.15+a+0.2+0.15=0.85,
解得a=0.35,b=0.1,
甲離子殘留百分比的中位數(shù)為3.5+4.5?3.5(2)A組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率為0.15,
B組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率為0.7,
所以兩只小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比都高于5.5的概率為0.15×0.7=0.105.
【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組,能求出乙離子殘留百分比直方圖中a,b,即可求中位數(shù);
(2)先求出A組、B組所取小鼠體內(nèi)測(cè)得離子殘留百分比高于5.5的概率,由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求概率.17.(Ⅰ)設(shè)甲第二次答題通過(guò)面試為事件A,則PA(Ⅱ)設(shè)乙最終通過(guò)面試為事件B,對(duì)立事件為乙最終沒(méi)通過(guò)面試,∵PB∴PB(Ⅲ)設(shè)甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試為事件C,對(duì)立事件為甲、乙兩人都沒(méi)有通過(guò)面試,∵PC∴PC【解析】(Ⅰ)甲第二次答題通過(guò)面試,則第一次面試未通過(guò),利用分步用乘法即可計(jì)算出概率.(Ⅱ)利用對(duì)立事件求出乙最終未通過(guò)面試的概率,再用1減去未通過(guò)面試的概率即得通過(guò)的概率.(Ⅲ)利用對(duì)立事件求出甲、乙兩人都未通過(guò)面試的概率,再用1減去甲、乙兩人都未通過(guò)面試的概率即得甲、乙兩人至少有一人通過(guò)面試的概率.18.(Ⅰ)證明:連接AC,AC∩BD=H,
∵底面ABCD是平行四邊形,
∴H為BD中點(diǎn),
∵E是棱AD的中點(diǎn).
∴在△ABD中,EH/?/AB,
又∵AB?平面PAB,EH?平面PAB,
∴EH/?/平面PAB.
同理可證,F(xiàn)H/?/平面PAB.
又∵EH∩FH=H,EH,F(xiàn)H?面EFH,
∴平面EFH/?/平面PAB,
∵EF?平面EFH,
∴EF/?/平面PAB;
(Ⅱ)證明:(i)如圖,連接PE,BE.
∵BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,
∴BE=1,PE=2.
又∵E為AD的中點(diǎn),
∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB即為二面角P?AD?B的平面角,
即∠PEB=60°,∴PB=3.
∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,
∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,
而AB∩BD=B,且AB,BD?平面ABCD,
∴PB⊥平面ABCD,
∵PB?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面ABCD;
(ii)解:由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,
∵BA=BD=2,AD=2,
∴BD⊥BA,
∴BD,BA,BP兩兩垂直,
以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BD,BA,BP為x,y,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?DAP,
則有A(0,2,0),B(0,0,0),C(
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