寧夏西吉中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試卷含答案

西吉中學(xué)2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷注：本試卷共19道題，滿分150分.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．3．已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則（

）A．30° B．60° C．120° D．150°6．拋擲一枚質(zhì)地均勻且各個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的正方體玩具．設(shè)事件為“向上一面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件為“向上一面點(diǎn)數(shù)為6的約數(shù)”，則等于（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)據(jù)，，……，的均值為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（

）A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，128．已知正方體內(nèi)切球的體積是，那么該正方體的棱長(zhǎng)等于（

）A． B．2 C．4 D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件A=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件B=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件C=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，事件D=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．A與B互斥 B．A與D互為對(duì)立事件C． D．10．下列命題正確的是（

）A．若向量共線，則必在同一條直線上B．若為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則C．若點(diǎn)為的重心，則D．已知向量，若，則11．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．C．若，則是鈍角三角形D．（為外接圓的半徑）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.13．正方體中，直線與平面所成角的正弦值為.14．高一（1）班數(shù)學(xué)興趣小組8名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)（單位：分）分別為：80，68，90，70，88，96，89，98，則該數(shù)學(xué)成績(jī)的15%和50%分位數(shù)分別為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或者演算步驟.15．在條件：①，②，③，且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中：中，內(nèi)角、、所對(duì)邊長(zhǎng)分別是、、.若，，______.(1)求；(2)求的面積.（注意：選擇多個(gè)條件時(shí)，按你第一個(gè)選擇結(jié)果給分.）16．為了更好地培養(yǎng)國(guó)家需要的人才，某校擬開展一項(xiàng)名為“書香致遠(yuǎn)，閱讀潤(rùn)心”的讀書活動(dòng)，為了更好地服務(wù)全校學(xué)生，需要對(duì)全校學(xué)生的周平均閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，將他們的周平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）數(shù)據(jù)分成5組：，根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值，并估計(jì)全校學(xué)生周平均閱讀時(shí)間的平均數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從周平均閱讀時(shí)間不小于8小時(shí)的學(xué)生中抽出6人，再隨機(jī)選出2人作為該活動(dòng)的形象大使，求這人都來(lái)自這組的概率．17．如圖，為正方體的棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值．18．如圖所示，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的余弦值.19．我們知道，對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別計(jì)算一次，由結(jié)果相同則可以構(gòu)造等式解決問(wèn)題，這種思維方法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理”，是一種重要的數(shù)學(xué)思想.例如：如圖甲，在中，D為的中點(diǎn)，則，兩式相加得，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，于是.請(qǐng)用“算兩次”的方法解決下列問(wèn)題：（1）如圖乙，在四邊形中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，證明：.（2）如圖丙，在四邊形中，E，F(xiàn)分別在邊上，且，，，，與的夾角為，求.1．A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.2．A【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A3．C【分析】利用向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C4．D【分析】平面向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算向量的?！驹斀狻肯蛄?，，則.故選：D5．A【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理解三角形即可.【詳解】在中，由正弦定理得：，而，則在中有，所以.故選：A.6．D【分析】根據(jù)題意可知并事件所包含的情況，結(jié)合古典概型公式計(jì)算得答案；【詳解】由題意得，拋擲結(jié)果有6種可能，事件即為向上一面的點(diǎn)數(shù)為2或4或6，事件即為向上一面的點(diǎn)數(shù)為1或2或3或6，事件即為向上一面的點(diǎn)數(shù)為1或2或3或4或6，所以．故選：D.7．C【分析】利用平均數(shù)和方差的求法分別列式，求出平均數(shù)和方差．【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的均值為2，所以，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：；則原數(shù)據(jù)的方差為：，則新數(shù)據(jù)的方差為：．故選：C．8．C【分析】由正方體內(nèi)切球的體積可以求出內(nèi)切球的半徑，從而得出正方體的棱長(zhǎng).【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球的半徑為，依題有，所以，所以正方體的棱長(zhǎng).故選：C9．ABD【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念及古典概型公式求解.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，樣本空間，則，，，.AB選項(xiàng)：根據(jù)互斥與對(duì)立事件的概念可知，A與B互斥，A與D互為對(duì)立事件，故AB正確；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，所以，故D正確.故選：ABD.10．BC【分析】由向量共線的定義判斷A，由向量運(yùn)算性質(zhì)判斷B，由向量運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合三角形重心的性質(zhì)可判斷C，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，若向量，共線，只需兩個(gè)向量方向相同或相反即可，則A，B，C，D不必在同一直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由向量線性運(yùn)算性質(zhì)知，故B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)為的重心，設(shè)中點(diǎn)為，則，由重心性質(zhì)知，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)橄蛄?，，所以，化?jiǎn)得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ABD【分析】根據(jù)正弦定理可判斷A，由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可判斷B，由余弦定理可判斷C，根據(jù)面積公式及正弦定理可判斷D.【詳解】由正弦定理，可得，故A正確；，故B正確；因?yàn)?，只能說(shuō)明C為銳角，不一定是鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；由正弦定理得，（為外接圓的半徑），所以，所以，故D正確.故選：ABD12．【分析】利用復(fù)數(shù)乘法求出，再利用純虛數(shù)的意義求解即得.【詳解】依題意，，由是純虛數(shù)，得，所以.故答案為：13．【分析】在正方體中，面，所以是直線與平面所成角，,求解即可.【詳解】連接，在正方體中，面，是直線與平面所成角，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.

14．70；88.5【分析】把數(shù)據(jù)按從小到大排列后,根據(jù)百分位數(shù)的求法即可解得.【詳解】解析：把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：68，70，80，88，89，90，96，98，因?yàn)?×15%＝1.2，所以該數(shù)學(xué)成績(jī)的15%分位數(shù)為70，8×50%＝4，所以該數(shù)學(xué)成績(jī)的50%分位數(shù)為故答案為:70；88.515．(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）選擇條件①：由正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，求出的取值范圍，即可得出的值；選擇條件②：利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選擇條件③：利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）解：選擇條件①：由正弦定理知，，，，，，化簡(jiǎn)得，，則，，即，，則，則，即；選擇條件②：，，由余弦定理知，，；選擇條件③：，，且，，由正弦定理知，，則，、，則，，則，故.（2）解：由三角形的面積公式可得.故的面積為.16．(1)，平均數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程求出，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算平均數(shù)；（2）首先求出，各組抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意可得，解得.又，即估計(jì)全校學(xué)生周平均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí).（2）由頻率分布直方圖可知和兩組的頻數(shù)的比為所以利用分層抽樣的方法抽取人，這兩組被抽取的人數(shù)分別為，，記中的人為，，，，中的人為，，從這人中隨機(jī)選出人，則樣本空間共15個(gè)樣本點(diǎn)；設(shè)事件：選出的人都來(lái)自，則共個(gè)樣本點(diǎn)，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線可得，即可由線面平行的判定求證，（2）由線線平行可得即為直線與所成角，即可由余弦定理求解.【詳解】（1）連接與交于點(diǎn)，連接．顯然為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）由（1）可知即為直線與所成角，在中,,由余弦定理得．18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由正三角形性質(zhì)得，利用直棱柱及線面垂直的性質(zhì)定理得，從而利用線面垂直的判定定理得平面，最后利用線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）先利用線面平行的判定定理證得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理證明即可；（3）作與交于點(diǎn).利用線面垂直的性質(zhì)定理及二面角平面角的定義作出平面角，然后在直角三角形中求解即可.【詳解】（1）由題意，分別是棱的中點(diǎn)，CD，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以為正三角形，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，?（2）因?yàn)?，又平面，平面，所以平面，同理平面，又平面，所以平面平?（3）作與交于點(diǎn).

由（1）知，又，平面，所以平面，而平面，所以，故是二面角的平面角.由，得，解得.由于平面平