12二次函數(shù)中的應(yīng)用題 教師版

第講二次函數(shù)中的應(yīng)用題適用學科初中數(shù)學適用年級初中三年級適用區(qū)域課時時長（分鐘）120分鐘知識點二次函數(shù)與最值問題教學目標1二次函數(shù)中涉及到最值問題，往往利用函數(shù)思想，通過設(shè)元列出相關(guān)量的函數(shù)表達式，然后通過二次函數(shù)頂點求解方法進行最值的求解。教學重點1函數(shù)思想的運用以及對于函數(shù)的綜合問題的了解。教學難點函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的運用以及求值的問題。復(fù)習預(yù)習上節(jié)課我們對于掌握等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)，并能求出相關(guān)的點的存在性問題，理解并掌握拋物線與特殊的平行四邊形的求法，理解并掌握拋物線與相似三角形問題的解法，理解并掌握拋物線與梯形的存在性問題的求法進行了學習。知識講解1、求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵是把每一段的解析式表示正確．最值問題分為最短距離、三角形面積的最值、最大利潤、一般函數(shù)的最值、分段函數(shù)的最值等，求分段函數(shù)的最值方法是求出每一段函數(shù)的最值，最后作比較，得出最值．2、二次函數(shù)的利潤問題的應(yīng)用、三、例題精析例一.2015南京·27某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本（單位：元）、銷售價（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；（2）求線段AB所表示的與x之間的函數(shù)表達式；[來源:學_科_網(wǎng)]（3）當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元；（2）設(shè)線段AB所表示的與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，∵的圖象過點（0，60）與（90，42），∴，∴解得：，∴這個一次函數(shù)的表達式為：y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；例二、（2015南通，第26題，10分）某網(wǎng)店打出促銷廣告：最潮新款服裝30件，每件售價300元．若一次性購買不超過10件時，售價不變；若一次性購買超過10件時，每多買1件，所買的每件服裝的售價均降低3元．已知該服裝成本是每件200元，設(shè)顧客一次性購買服裝x件時，該網(wǎng)店從中獲利y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）顧客一次性購買多少件時，該網(wǎng)店從中獲利最多？例三．（2015無錫，第28題，10分）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC=6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M．（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB；（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形；①問：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由；②設(shè)菱形OMPQ的面積為，△NOC的面積為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見試題解析；（2）①；②．【解析】（1）過P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四邊形OMPQ為平行四邊形，∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，∴PE=PM?sin60°=，ME=，∴CE=OC﹣OM﹣ME=，∴tan∠PCE==，∴∠PCE=30°，∴∠CPM=90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO=∠CPM=90°，則CN⊥OB；（2）①的值不發(fā)生變化，理由如下：②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，則=OM?PE，=OC?NF，∴=，∵PM∥OB，∴∠PMC=∠O，又∵∠PCM=∠NCO，∴△CPM∽△CNO，∴，∴==，∵0＜x＜6，則根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，．課堂運用1、已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動（運動開始時，點與點重合，點N到達點時運動終止），過點M、N分別作邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時間為秒．（1）線段MN在運動的過程中，為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；（2）線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運動的時間為t．求四邊形mnqp的面積S隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．CPQCPQBAMNCPQBAMN【答案】(1)若要四邊形MNQP為矩形，則有MP=QN，此時由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移動了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t即得t=1.5.此時Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面積為.(2)仍按上題的思路，如果M，N分列三角形底邊AB中線兩端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ=(3-t)，因為MN=1，所以梯形MNQP的面積為·MN·(MP+QN)=×(t+(3-t))=為定值（即不隨時間變化而變化）。這時要求1<t<2.若t<=1或者t≥2則M，N兩點都在底邊中線同側(cè)，如第二個圖和第三個圖所示.在第二個圖中，BM=t，BN=1+t，所以梯形面積為S=×1×[t+(3-t))]=(2t+1)，此時0≤t≤1.類似地也可求得2≤t≤=3時的情況，此時面積為S=(7-2t).2.為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價為5000元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次購買100個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個．乙店一律按原價的80℅銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈x個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為y1元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為y2元.（1）分別求出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個太陽能路燈？【答案】解：（1）由題意可知，當x≤100時，購買一個需元，故；當x≥100時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但售價不得低于3500元/個，所以x≤+100=250．即100≤x≤250時，購買一個需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；當x>250時，購買一個需3500元，故；所以，．(2)當0<x≤100時，y1=5000x≤500000<1400000；當100<x≤250時，y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000；所以，由，得；由，得．故選擇甲商家，最多能購買400個路燈．3．如圖所示的遮陽傘，傘炳垂直于水平地面，起示意圖如圖2.當傘收緊時，點P與點A重合；當三慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到達點B時，傘張得最開。已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米。設(shè)AP=ｘ分米.（1）求ｘ的取值范圍；（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；（3）設(shè)陽光直射下傘的陰影（假定為圓面）面積為ｙ，求ｙ與ｘ的關(guān)系式（結(jié)構(gòu)保留π）【答案】23.解（1）因為BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10所以ｘ的取值范圍是因為CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等邊三角形．所以CP=6所以AP=AC-PC=12-6=6即當∠CPN=60°時，ｘ=6分米連接MN、EF，分別交AC與0、H，因為PM=PN=CM=CN，所以四邊形PNCM是菱形。所以MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線在中，PM=6，又因為CE=CF，AC是∠ECF的平分線，所以EH=HF，EF垂直AC。因為∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，所以，所以MO/EH=CM/CE所以所以所以課后作業(yè)1、如圖12，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點P是邊BC上的動點（點P不與點B、C重合），過點P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應(yīng)點是R點。設(shè)CP=x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當點R在矩形ABCD外部時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時函數(shù)值y的取值范圍。FEFE圖12（2）PDCQABRB圖12（1）PRQACD2、如圖，在梯形ABCD中，,AB=2，DC=10，AD=BC=5，點M、N分別在邊AD、BC上運動，并保持，，，垂足分別為E、F求梯形ABCD的面積探究一：四邊形MNFE的面積有無最大值？若有，請求出這個最大值；若無，請說明理由；探究二：四邊形MNFE能否為正方形？若能，請求出正方形的面積；若不能，請說明理由.3．某公司有甲、乙兩個綠色農(nóng)場品種植基地，在收獲期這兩個基地當天收獲的某種農(nóng)場品，一部分存入倉庫，另一部分運往外地銷售。根據(jù)經(jīng)驗，該農(nóng)場品在收獲過程中兩個種植基地累積總產(chǎn)量y（噸）與收獲天數(shù)x（天）滿足函數(shù)關(guān)系y=2x+3（1≤x≤10且x為整數(shù)）。該農(nóng)場品在收獲過程中甲、乙兩基地的累積產(chǎn)量分別占兩基地累積總產(chǎn)量的百分比和甲、乙兩基地累積存入倉庫的量分別占甲、乙兩基地的累積產(chǎn)量的百分比如下表：百分比種植基地該基地的累積產(chǎn)量占兩基地累積總產(chǎn)量的百分比該基地累積存入倉庫的量占該基地的累積產(chǎn)量的百分比甲60%85%乙40%22.5%（1）請用含y的代數(shù)式分別表示在收獲過程中甲、乙兩個基地累積存入倉庫的量；（2）設(shè)在收獲過程中甲、乙兩基地累積存入倉庫的該種農(nóng)產(chǎn)品的總量為p（噸），請求出p（噸）與收獲天數(shù)x（天）的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若倉庫內(nèi)原有該種農(nóng)產(chǎn)品42.6噸，為滿足本地市場需求，在收獲期開始的同時，每天從倉庫調(diào)出一部分該種農(nóng)產(chǎn)品揉入本地市場，若現(xiàn)在本地市場售出的該種農(nóng)產(chǎn)品總量m（噸）與收獲天數(shù)x（天）滿足函數(shù)關(guān)系式（1≤x≤10且x為整數(shù)）。問在此收獲期內(nèi)連續(xù)銷售幾天，該農(nóng)產(chǎn)品庫存量達到最低值？最低庫存量是多少噸？課后作業(yè)答案：【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC又AB=6,AD=2,∠C=90°∴CD=6,BC=2∴tan∠CBD＝=∴∠CBD=60°∵PQ∥BD∴∠CPQ=∠CBD=60°………2分（2）如題圖12（1）由軸對稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=60°,∴RP=2BP∵CP=x∴RP=x,PB=2-x.………4分∴在△RPB中，有2（2-x）=x∴x=………………6分（3）當R點在矩形ABCD的外部時（如題圖12（2）），﹤x﹤2在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）∴RP=CP=x∴ER=RF-PF=3x-4………7分在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30°∴ER=RF·tan30°=x-4∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)(3x-4)=-12x+8………8分又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF∴當﹤x﹤2時，函數(shù)的解析式為y=-（-12x+8）=-+12x-8（﹤x﹤2）…………10分∵y=-+12x-8=-(x-2)+4∴當﹤x﹤2時，y隨x的增大而增大∴函數(shù)值y的取值范圍是﹤y﹤4…………12分2.【答案】解：做AG⊥DC，BH⊥DC.（1）因為AB//DC,所以四邊形AGHB是矩形，所以GH=AB=2，AG=BH.又因為AD=BC=5，所以Rt△ADG≌Rt△BCH，所以DG=CF.所以DG=（DC-GH）÷2=4.在Rt△ADG中，AG==3.所以梯形ABCD的面積是=18.（2）設(shè)MN=x，則EF=MN=x，所以DE==.因為ME⊥DC，NF⊥DC，所以ME//AG,∠MED=∠AGD=90°，所以△DEM∽△DGA，所以=，所以=，所以ME=，所以四邊形MEFN的面積是S=MN·ME=x·==.所以當x=5時，四邊形MEFN的面積的最大值是.（3）四邊形MEFN能為正方形，且邊長為x，則由（2）知道，=，所以=，所以x=.此時四邊形的面積是.3.【答案】解：（1）①甲基地累積存入倉庫的量：8