四川省越西中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)5月月考試題含解析

PAGE15-四川省越西中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)5月月考試題（含解析）考試范圍：平面對(duì)量；考試時(shí)間：120分鐘；一、單項(xiàng)選擇（每小題5分，共60分）1.下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.零向量與任一向量平行 B.方向相反的兩個(gè)非零向量不肯定共線C.零向量的長度為0 D.方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】B【解析】【分析】本題利用零向量的定義、向量的共線定義以及向量相等的定義即可求解.【詳解】零向量的定義：零向量與任一向量平行，與隨意向量共線.零向量的方向不確定，但模的大小確定為0,故A與C都是對(duì)的；設(shè)方向相反的兩個(gè)非零向量為和，滿意，所以方向相反的兩個(gè)非零向量肯定共線，故B錯(cuò)；對(duì)于D，因?yàn)橄蛄肯嗟鹊亩x是：長度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，故D對(duì).答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的相關(guān)定義，屬于簡潔題.2.()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量加減法運(yùn)算得結(jié)果.【詳解】依據(jù)向量加法運(yùn)算得，依據(jù)向量減法得,故選D【點(diǎn)睛】本題考查向量加減法運(yùn)算法則，考查基本化簡實(shí)力3.在平行四邊形中，,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求,再求,即可求D坐標(biāo)【詳解】，∴，則D(6,1)故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則，精確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】先求，再依據(jù)即可解出m．【詳解】∵，∴1-2(m+1)＝0，解得m．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.將平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得下列結(jié)論：()①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠0)，可得＝.則正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)槠矫鎸?duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算滿意交換律和安排律，不滿意結(jié)合律，故①③正確，②錯(cuò)誤；由，得，從而或，故④錯(cuò)誤，正確的結(jié)論有個(gè)，故選B.6.已知，，，夾角，且與垂直，則（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算，再利用垂直關(guān)系得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，，，夾角，則與垂直故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.7.若向量，，則與的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用坐標(biāo)表示出和，依據(jù)向量夾角公式干脆求解即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用向量數(shù)量積和模長求解向量夾角的問題，關(guān)鍵是能夠嫻熟駕馭向量數(shù)量積和模長的坐標(biāo)運(yùn)算.8.已知是不共線的向量，，若三點(diǎn)共線，則滿意（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的共線定理即可求解?！驹斀狻坑扇c(diǎn)共線，則、共線，所以存在不為零的實(shí)數(shù)，使得即，又因?yàn)槭遣还簿€的向量，所以，消解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量共線定理，需駕馭共線定理的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題。9.設(shè)是平面內(nèi)的一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】C【解析】【分析】利用向量可以作為基底的條件是，兩個(gè)向量不共線，由此分別判定選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線即可．【詳解】由是平面內(nèi)的一組基底，所以和不共線，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A：，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)B：，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)D：，所以這2個(gè)向量共線，不能作基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C：與不共線，能作為基底.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查基底的定義，推斷2個(gè)向量是否共線的方法，屬于基礎(chǔ)題．10.已知向量若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，若與的夾角為銳角θ，則有cosθ＞0，即＞0，且與不共線．由＞0，得32λ＞0，解得λ，當(dāng)與共線時(shí)，有=λ，所以λ的取值范圍是故選：．點(diǎn)睛：本題是一道易錯(cuò)題，與的夾角為銳角θ并不等價(jià)于數(shù)量積＞0，留意共線同向數(shù)量積為正，共線反向數(shù)量積為負(fù).11.若四邊形是邊長為2的菱形，，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和平面數(shù)量積公式以及運(yùn)算，主要是向量的平方即為模的平方，結(jié)合菱形的性質(zhì)，化簡即可得到所求值.【詳解】四邊形是邊長為2的菱形，，可得，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面對(duì)量數(shù)量積公式，屬于難題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何學(xué)問和三角函數(shù)學(xué)問解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡潔）．12.已知向量、的夾角為，，，則在方向上的投影為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，先求，再求在方向上的投影為：，代值求出結(jié)果即可．【詳解】∵已知向量、的夾角為，，，∴在方向上的投影為：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影的求法，考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分）13.為邊長為2的正三角形，則__________．【答案】-2【解析】分析：利用向量數(shù)量積定義即可求出.詳解：由向量數(shù)量積定義可知，故答案為-2點(diǎn)睛：平面對(duì)量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面對(duì)量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較困難的平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.14.已知點(diǎn)，，則與向量方向相同的單位向量的坐標(biāo)為____________.【答案】【解析】∵點(diǎn)，，∴，可得，因此，與向量同方向的單位向量為：故答案為：15.已知與的夾角為求=_____．【答案】【解析】【分析】由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等學(xué)問，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.16.已知點(diǎn)，，直線上一點(diǎn)滿意，則點(diǎn)坐標(biāo)是__________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)在直線上以及，可得之間的關(guān)系，代入坐標(biāo)列方程計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，是直線上一點(diǎn)，，又，或，，或，解得：或，則點(diǎn)坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵是要依據(jù)題意找到和之間的關(guān)系，留意有兩種狀況，是基礎(chǔ)題．三、解答題（共6個(gè)小題，17-21題每小題12分，22題10分）17.已知向量，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，向量與平行，且，求點(diǎn)B的坐標(biāo).【答案】或【解析】【分析】設(shè),則,依據(jù)向量與平行，且列方程組可得到答案.【詳解】設(shè),則,因?yàn)橄蛄颗c平行,所以,即,①因?yàn)?所以,②聯(lián)立①②解得或.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示,向量模的公式,屬于基礎(chǔ)題.18.如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；【答案】（1）5；（2）2.【解析】【分析】依據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.【詳解】解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，如圖2.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計(jì)算，考查理解實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想.19.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若=+，=2+8，=3(-)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使k+或+k共線.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【詳解】（1）證明：∵=+=2+8+3(-)=5(+)，∴=5，∴、共線.∵、有一個(gè)公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線；（2）解：∵+與+k共線，∴存在實(shí)數(shù)λ≠0，使k+=λ(+k)，整理，得(k-λ)=(λk-1).∵、不共線，∴，解得或，∴k=±1.20.已知向量，，.（1）試將向量表示成、的線性組合；（2）若向量（），當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）且.【解析】【分析】（1）設(shè)，利用向量相等，列方程組求解即可；（2）由題得，由題得，解不等式組即得解.【詳解】（1）設(shè)所以，所以.所以.（2）由題得，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，所以且.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量線性運(yùn)算和基底法，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.21.已知向量函數(shù)，其圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二倍角和協(xié)助角公式化簡，再利用周期的運(yùn)算可求出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮過程，可求出的解析式，最終依據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性，即可求出的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】解：（1）由于，即：，因?yàn)榈膱D象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則，由，可得：，所以.（2）由于函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得：，再將圖象向右平移個(gè)單位，得，解得：，令，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用降冪公式和協(xié)助角公式化簡三角函數(shù)，以及依據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、平移伸縮求三角函數(shù)的解析式，還利用整體法求正弦型函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力.22.設(shè)平面對(duì)量.（1）若，求的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最大值，并求出相應(yīng)的x值．【答案】（1）1；（2）5【解