2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)真題分類專練一課一練含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-新20版練B1數(shù)學(xué)人教A版第五章真題分類專練題組1利用三角函數(shù)定義式同角關(guān)系求值問題1.(福建高考)若sinα=-513,且α為第四象限角,則tanα的值等于(A.125 B.-125 C.5答案：D解析：由sinα=-513,且α為第四象限角,得cosα=1-sin2α=1213,所以tanα=2.(四川高考)sin750°=。

答案：12解析：sin750°=sin30°=123.(全國Ⅰ高考)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tan答案：-43解析：由sinθ+π4=35,知cosπ4-θ=35。因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?所以-θ為第一象限角,π4-θ為第一象限角或其次象限角。又因?yàn)閏osπ4-θ=35,所以4.(2024·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱。若sinα=13,則sinβ=答案：13解析：sinβ=sin(π-α)=sinα=135.(2024·全國Ⅰ高考)tan255°=()。A.-2-3 B.-2+3C.2-3 D.2+3答案：D解析：由正切函數(shù)的周期性可知,tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=33+11-33題組2三角函數(shù)的圖像變換問題6.(2024·全國Ⅰ高考)已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin2x+2π3,則下面結(jié)論正確的是()。A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移π6個(gè)單位長度,得到曲線CB.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π12個(gè)單位長度,得到曲線CC.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移π6個(gè)單位長度,得到曲線D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π12個(gè)單位長度,得到曲線答案：D解析：曲線C1,即y=sinx+π2,把其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12,縱坐標(biāo)不變,得曲線y=sin2x+π2,再把該曲線向左平移π12個(gè)單位長度,7.(四川高考)為了得到函數(shù)y=sinx+π3的圖像,只需把函數(shù)y=sinx的圖像上全部A.向左平行移動(dòng)π3B.向右平行移動(dòng)π3C.向上平行移動(dòng)π3D.向下平行移動(dòng)π3答案：A解析：函數(shù)y=sinx的圖像向左平行移動(dòng)π3個(gè)單位長度可得到y(tǒng)=sinx8.(全國Ⅰ高考)將函數(shù)y=2sin2x+π6的圖像向右平移A.y=2sin2x+π4C.y=2sin2x-π4答案：D解析：函數(shù)y=2sin2x+π6的周期為π,所以將函數(shù)y=2sin2x+π6的圖像向右平移π4個(gè)單位長度后,9.(全國Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4為f(x)的零點(diǎn),x=π4為y=f(x)圖像的對稱軸,且A.11 B.9 C.7 D.5答案：B解析：因?yàn)閤=-π4為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),直線x=π4為y=f(x)圖像的對稱軸,所以π2=kT2+T4(k∈Z,T為周期),得T=2π2k+1(k∈Z)。又f(x)在π18,5π36單調(diào),所以T≥π6,k≤112,又當(dāng)k=5時(shí),ω=11,φ=-π4,f(x)在π18,5π36不單調(diào);當(dāng)k=4時(shí),ω=9,φ=π410.(全國Ⅱ高考)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖5-14所示,則()。圖5-14A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sinxD.y=2sinx答案：A解析：由題圖易知A=2,因?yàn)橹芷赥滿意T2=π3--π6,所以T=π,ω=2πT=2。由x=π3時(shí),y=2可知2×π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-π6+2kπ11.(山東高考)要得到函數(shù)y=sin4x-π3的圖像,只需將函數(shù)y=sin4A.向左平移π12個(gè)單位 B.向右平移πC.向左平移π3個(gè)單位 D.向右平移π答案：B解析：y=sin4x-π3=sin4x-π12,故要將函數(shù)y題組3三角函數(shù)的性質(zhì)問題12.(2024·全國Ⅲ高考)函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosA.65 B.1 C.35答案：A解析：由誘導(dǎo)公式可得cosx-π6=cosπ2-x+π3=sinx+π3,則f(x)=113.(2024·全國Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=sin2x+πA.4π B.2π C.π D.π答案：C解析：由題意T=2π2=π,故選C14.(2024·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π。若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,答案：A解析：逐一考查所給選項(xiàng):當(dāng)x=5π8時(shí)23×5π8+π12=π223×5π8-11π12=-π2,13×5π8-11π24=-π4,13×5π8+7π24=π2當(dāng)x=11π8時(shí)23×11π8+π12=π,13×11π8+7π24=18π2415.(2024·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx-π6(ω>0)。若f(x)≤fπ4對隨意的實(shí)數(shù)x都成立,則答案：2解析：∵f(x)≤fπ4,∴當(dāng)x=π4時(shí)函數(shù)f(x∴cosπ4ω-π6=1,∴π4ω-π6∴ω=8k+23(k∈Z)?！擀?gt;0,∴當(dāng)k=0時(shí),ω取得最小值2題組4三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問題16.(2024·天津高考)將函數(shù)y=sin2x+π5的圖像向右平移A.在區(qū)間3π4B.在區(qū)間3π4C.在區(qū)間5π4D.在區(qū)間3π2答案：A解析：將函數(shù)y=sin2x+π5得函數(shù)y=sin2x-π10+π5的圖像令2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k解得kπ-π4≤x≤kπ+π4(k取k=1,得3π4≤x≤5π4,所以函數(shù)y=sin2x在區(qū)間3π4,5π17.(2024·全國Ⅲ高考)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+π3A.f(x)的一個(gè)周期為-2πB.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=8π3C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=πD.f(x)在π2答案：D解析：A項(xiàng),最小正周期T=2πω=2π,則kT(k∈Z)也是f(x)的周期,故-2π是f(x)的一個(gè)周期。B項(xiàng),把x=8π3代入函數(shù)中,得f8π3=-1,故直線x=8π3為y=f(x)圖像的對稱軸。C項(xiàng),fπ6+π=cosπ6+π+π3=0,所以x=π6為f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)。D項(xiàng),原函數(shù)相當(dāng)于y18.(2024·全國Ⅰ高考)函數(shù)f(x)=sinx+x圖5-15答案：D解析：解法一明顯f(x)=-f(-x),所以f(x)為奇函數(shù),解除A;fπ2=1+π2π22=4+2ππ2解法二明顯f(x)=-f(-x),所以f(x)為奇函數(shù),解除A;易知當(dāng)x→0+時(shí),f(x)>0,解除C;f(π)=ππ2-1>0,解除19.(北京高考)將函數(shù)y=sin2x-π3的圖像上的點(diǎn)Pπ4,t向左平移s(s>0)個(gè)單位長度得到點(diǎn)P'。若P'A.t=12,s的最小值為π6 B.t=32,C.t=12,s的最小值為π3 D.t=32,答案：A解析：因?yàn)辄c(diǎn)Pπ4,t在函數(shù)y=sin2x-π3的圖像上,所以t=sin2×π4-π3=sinπ6=12。又P'π4-s,12在函數(shù)y=sin2x的圖像上,所以12=sin2π4-s,則2π4-s=2kπ+π6或2π4-s=2kπ+5π20.(2024·全國Ⅲ高考)函數(shù)f(x)=cos3x+π答案：3解析：∵0≤x≤π,∴π6≤3x+π6≤19π6,結(jié)合余弦函數(shù)的圖像可得函數(shù)f(x)取零點(diǎn)時(shí),3x+π6=π2或3x+π6=3π2或3x+π6=5π2,解得x=π9或21.(2024·江蘇高考)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的圖像關(guān)于直線x答案：-π6解析：由函數(shù)y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的圖像關(guān)于直線x=π3對稱,得sin2π3+φ=±1。又-π2<φ<π2,則π6<2π3+φ22.(2024·全國Ⅲ高考)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()。A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：f(x)=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx),令f(x)=0,則sinx=0或cosx=1,所以x=kπ(k∈Z)。又x∈[0,2π],所以x=0或x=π或x=2π。故選B。23.(湖北高考)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>ωx+φ0ππ32πxπ5Asin(ωx+φ)05-50(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并干脆寫出函數(shù)f(x)的解析式;答案：依據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-π6,數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表ωx+φ0ππ32πxππ7513Asin(ωx+φ)050-50且函數(shù)解析式為f(x)=5sin2x(2)將y=f(x)圖像上全部點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖像。若y=g(x)圖像的一個(gè)對稱中心為5π12,0答案：由(1)知f(x)=5sin2x-π6,得g(x)=5sin2x+2θ-π6。因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx圖像的對稱中心為(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z。由于函數(shù)y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)5π12,0成中心對稱,所以令kπ2+π12-θ=5π12,解得θ=k題組5三角恒等變換之求值化簡問題24.(2024·全國Ⅱ高考)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinαA.15 B.55 C.3答案：B解析：解法一:依題意得4sinαcosα=2cos2α,由α∈0,π2,知cosα>0,所以2sinα=cosα。又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15。又α∈0,π2,所以sinα=解法二:依題意得sin2α1+cos2α=12,即tanα=12,所以sinα=sin2α25.(2024·全國Ⅲ高考)已知sinα-cosα=43,則sin2α=(A.-79 B.-29 C.2答案：A解析：sin2α=2sinαcosα=(sinα-cos26.(2024·山東高考)已知cosx=34,則cos2x=(A.-14 B.14 C.-1答案：D解析：由cosx=34得cos2x=2cos2x-1=2×342-1=1827.(2024·全國Ⅲ高考)若sinα=13,則cos2α=(A.89 B.79 C.-7答案：B解析：∵sinα=13,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×132=1-29=28.(2024·江蘇高考)若tanα-π4=16,則tan答案：75解析：tanα=tanα-π4+π4=29.(四川高考)cos2π8-sin2π8=答案：2解析：由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ430.(2024·江蘇高考)已知tanαtanα+π4=-答案：210解析：通解tanαtanα+π4=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tanα=2或tanα=-13。當(dāng)tanα=2時(shí),sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45,cos2α=cos2α-sin2α優(yōu)解tanαtanα+π4=sinαcosα+π4cosαsinα+π4=-23,則sinαcosα+π4=-23cosαsinα+π4。又22=sinα+π4-α=sinα+π4cosα-cosα+π4sinα=531.(2024·全國Ⅰ高考)已知α∈0,π2,tanα=2,則cosα答案：3解析：由tanα=2得sinα=2cosα。又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=15因?yàn)棣痢?,π所以cosα=55,sinα=2因?yàn)閏osα-π4=cosαcosπ4+sin所以cosα-π4=55×22+232.(2024·浙江高考)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn)P-3(1)求sin(α+π)的值;答案：由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45得sinα=-45,所以sin(α+解析：由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45得所以sin(α+π)=-sinα=45(2)若角β滿意sin(α+β)=513,求cosβ答案：由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45得由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±12由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=16解析：由角α的終邊過點(diǎn)P-35,-45得由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±12由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=16題組6三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題33.(全國Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=cos2x+6cosπ2-xA.4 B.5 C.6 D.7答案：B解析：f(x)=cos2x+6cosπ2-x=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-2sinx-322+112?！遱inx∈[-1,1],∴當(dāng)sinx=1時(shí),f(34.(2024·山東高考)函數(shù)y=3sin2x+cos2x最小正周期為()。A.π2 B.2π3答案：C解析：由題意得y=2sin2x+π6,其周期T=2π2=35.(2024·全國Ⅱ高考)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是減函數(shù),則a的最大值是()。A.π4 B.π2 C.答案：A解析：由f(x)=cosx-sinx=2cosx+π4,令2kπ≤x+π4≤π+2kπ,k∈Z,解得-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z,其中一個(gè)減區(qū)間為-π436.(浙江高考)函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間是。

答案：π3π8+kπ,解析：原式=1-cos2x2+sin2x2+1=22sin2x-π4+32,故f(x)的最小正周期為π,令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2(k∈Z),得kπ+3π8≤x≤kπ+78π(37.(2024·全國Ⅰ高考)函數(shù)f(x)=sin2x+3π2-3cos答案：-4 解析：f(x)=sin2x+3π2-3cosx=-cos2x-3cosx=1-2cos2x-3cosx=-2cosx+342+178。因?yàn)閏osx∈[-1,1],所以當(dāng)cosx=1時(shí),f(x38.(湖北高考)函數(shù)f(x)=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-|ln(答案：2解析：因?yàn)閒(x)=4cos2x2·cosπ2-x-2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=sin2x與y=|ln(x+1)|圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。函數(shù)y=sin2x與y=|ln(x+1)|的圖像如圖,由圖知,兩函數(shù)圖像有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x39.(2024·全國Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為。

答案：5解析：f(x)=2cosx+sinx=22+115sinx+25cosx=5sin(x+φ),其中φ滿意tanφ=2。∵sin(x+φ題組7三角函數(shù)的綜合問題40.(2024·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx-π6+sinωx-π2(1)求ω;答案：因?yàn)閒(x)=sinωx-π6所以f(x)=32sinωx-12cosωx-cos=32sinωx-32cos=3=3sinωx-由題設(shè)知fπ6所以ωπ6-π3=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,k又0<ω<3,所以ω=2。(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移π4個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求g(x)在-答案：由(1)得f(x)=3sin2x所以g(x)=3sinx+π4-π因?yàn)閤∈-π4,3π4,所以x當(dāng)x-π12=-π3,即x=-π4時(shí),g(x)取得最小值41.(2024·浙江高考)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(x∈R)。(1)求f2π3答案：由sin2π3=32,cos2π3=-f2π3=322--122-23解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是π6+kπ,2π(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間。答案：由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx,得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x所以f(x)的最小正周期是π。由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,42.(2024·北京高考)已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin(1)求f(x)的最小正周期;答案：f(x)=3cos2x-π3-2sinxcosx=32cos2x+32sin2x-sin2x=12sin2x+32cos2x=sin(2)求證:當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),f答案：令t=2x+π