初中數(shù)學(xué)《全等三角形》的八大題型及答案

全等三角形的八大經(jīng)典模型目錄136911151719例題1.(23-24八年級上·重慶榮昌·期中)△ABC中，∠=90°AB=ACAE是過A點的一條直BC在AE兩側(cè)，BD⊥AE于點DAE⊥CE于點E=4cmCE=2cmBD=cm．1.(24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí))△ABC中，AB=AC=3∠B=∠C=42°D在線段BC上運動(點D不與點BC重合)AD∠=42°交線段AC于點E．(1)當∠=118°時，∠EDC=°∠AED=°；(2)若DC=3△ABD≌△DCE．12.(24-25八年級上·山東濟南·開學(xué)考試)△ABC中，∠ACB=90°,AC=BCMN經(jīng)過點CAD⊥MN于點DBE⊥MN于點E．(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1△ADC≌△CEB=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時．求證：=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時．求證：=BE-AD．例題2.(24-25八年級上·廣東深圳·開學(xué)考試)如圖1O為線段AB上的任意一點(不于AB重合)別以AOBO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△OA=OCOB=∠AOC與∠都是∠AOC=∠．(1)試說明：CB=AD；(2)如圖2AD與BC相交于點P∠=86°∠APB的度數(shù)．21.(23-24八年級上·安徽·單元測試)△ABC中，∠ACB=90°AC=BCAB至點D=AB接CD為直角邊作等腰△中∠DCE=90°接BE．(1)若AD=3cmBE的長；(2)BE與AD有何位置關(guān)系？請說明理由．2.(23-24八年級上·河南駐馬店·期中)Rt△OAB和Rt△中，∠AOB=90°，∠=90°OA=OBOE=AEBFAE與BF證明你的結(jié)論．3例題3.(23-24八年級上·山東臨沂·期中(1)如圖1是正方形，∠EAF=45°E在BC邊上，F(xiàn)在BEDF與之(2)如圖2是正方形，∠EAF=45°E在BC的延長線上，F(xiàn)在BE、DF與1.(22-23八年級上·四川巴中·期末)(11EF分別在正方形的邊BC上，∠EAF=45°接=BE+DF4到GDG=BE，在△ABE與△ADG中AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG∴△ABE≌△ADG理由：，進而證出：△AFE≌：()進而得=BE+DF(22中，AB=AD∠=90°．點EF分別在邊BC上，∠EAF=45°∠B+∠D=180°=BE+DF嗎？請證明你的猜想．2.(22-23八年級上·江蘇連云港·階段練習(xí))ABCD(四條邊都相90°)EF在CDBC∠EAF=45°至點GDG=BFAG．(1)求證：=+BF；(2)若AB=2△的周長=．(直接寫出結(jié)果)5例題4.(2024·山東臨沂·一模)D是△ABC的邊BC上的中線，AB=6AD=4AC的取值范圍為()A.2<AC<14B.2<AC<12C.1<AC<41<AC<81.(22-23八年級上·四川德陽·階段練習(xí))在△ABCAB=5AC=9AD是BC邊上的中線，則AD取值范圍是．2.(23-24七年級下·遼寧丹東·期末1△ABC中，AD是BCAD至點E=AD接CE．由此可以得到△ABD≌△ECD(”)；2△ABC外分別作AD⊥ABAE⊥ACAB=ADAC=AE接，EC的中點F接AF斷AF與BC6例題5.(22-23八年級上·重慶綦江·期末)△ABC中，∠ABC=68°BD平分∠ABCP為線段BD上一動點，Q為邊ABAP+PQ的值最小時，∠APB的度數(shù)是()A.118°B.125°C.136°124°1.(23-24七年級上·山東煙臺·期末題．(1)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD為∠AB上截取AE=AC接．請直接寫出線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系；(2)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD為∠的角平分線．請判斷線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD為∠的補角的角平分線．請判斷線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．72.(2021七年級下·全國·專題練習(xí))△ABC中AB>ACAD是∠的平分線，M是ADMB-MC<AB-AC．例題6.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖所示，Rt△ABC中，BD是角平分線，⊥ABEAB=10AC=6BC=8△AED的周長為．1.(23-24八年級上·福建福州·期中)△ABC中，AD為角平分線，∠B=2∠ADB,AB=3,=6線段AC的長為()A.9B.11C.121582.(23-24七年級上·山東青島·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°∠的角平分線AD交BC于點D，且=2點D到AB的距離是()A.2B.4C.68例題7.(23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí))面的畫法()(1)利用刻度尺在∠AOB=OC(2)連接CD的中點E(3)畫射線OEOE為∠AOB的角平分線．A.利用了SSSB.利用了C.利用了AAS利用了3.(23-24七年級下·福建福州·期末)如圖，AD是△ABC的角平分線，CE⊥ADF．若∠CAB=32°∠B=56°∠的度數(shù)為()A.36°B.42°C.45°50°4.(23-24八年級下·山西運城·期中)如圖，△ABC中，AD為∠BD垂直AD于D，△的面積為8△ABC的面積為．9例題8.(23-24七年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí))如圖，AB∥CFE為DFAB=10cmCF=8cm，則BD的長為()A.2cmB.2.5cmC.3cm4cm1.(23-24九年級上·黑龍江綏化·期末)如圖，E為△ABC邊AC的中點，CN∥ABE點作直線MN交AB與點MCN于點NMB=6cmCN=4cmAB=cm．2.(23-24七年級下·廣東河源·期末)△ABC中，D為AB上一點，E為AC并延長至點F得CF∥AB．(1)求證：△AED≌△；(2)連接BEBE平分∠ABC,CA平分∠BCF∠ABE=25°∠A的度數(shù)．101.(24-25八年級上·遼寧盤錦·開學(xué)考試)如圖，OP平分∠AOBPC⊥OAPD⊥OBCD()A.PC=PDB.=OCC.∠DPO=∠CPOPC=OC2.(23-24八年級上·福建廈門·期中)AB=ACD，E分別是ABAC的中點，DMEMDM=EMM在向上滑△ADM≌△AEM()A.B.C.HLSSS3.(23-24八年級上·廣東東莞·階段練習(xí))AB=ACAF=AE∠EAF=∠CD、EF()①△AFB≌△AECBF=CE∠BFC=∠EAFAB=BCA.①②③B.①②④C.①②①②③④4.(23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中)D是等腰Rt△ABC的邊BCB作BE⊥AD于點E接CEAE=4S△AEC的值是()11A.4B.5C.8165.(23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí))內(nèi)，=DC∠DCA=60°，∠C=78°∠CAB=24°∠ACB=()A.15°B.18°C.20°12°6.(2024·黑龍江雞西·二模)AB=∠A=∠D(一個即可)：△ABC≌△．7.(23-24八年級上·全國·單元測試)∠A=∠D∥BC使得△ABC≌△．8.(24-25八年級上·遼寧撫順·階段練習(xí))△ABC中，AD為∠的平分線，BE⊥AD于E，△AEC連接CE△ABC的面積為6cm2的面積cm2129.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，AC平分∠DCBCB=的延長線交BC于點E果∠EAC=48°∠為°10.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，∠ABC=∠CAD=90°AB=4AC=AD△的面積．11.(23-24八年級上·吉林·階段練習(xí))△ABC和△AB=AD∠=∠CAE∠B=∠DAD與BC交于點PC在上．求證：BC=．1312.(24-25八年級上·全國·單元測試)ABC和等腰直角三角形中，AB⊥ACAD⊥AEAB=ACAD=AE分別交AEBE于點MF．求證：(1)DC=EB；(2)⊥BE．13.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，△ABCD在邊BC延長線上，∠ACB=108°∠ABC的平分線交AD于點E點E作EH⊥BDH∠CEH=54°．(1)求∠ACE的度數(shù)；(2)請判斷AE是否平分∠CAF(3)若AC+=10AB=6S△ACD=15△ABE的面積．1414.(23-24七年級下·遼寧沈陽·期中)某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖(如圖1)中提煉出兩個三角形全等模型圖(如圖23)K(1)如圖2，△ABC中，CA=CB∠ACB=90°CAB別為EF．求證：=AE+BF；(2)如圖3(1)AEBF之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在(2)BF=4AE=5△BFC的面積為(4)如圖4中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°△面積為18且的長為9△的面積為．．1515.(23-24八年級上·安徽·單元測試)綜合與實踐1△ABC中，AB=5AC=3BC邊上的中線ADAD到E，使得=ADBEABAC2AD集中在△ABEAD(1)AD的取值范圍；(2)如圖2△ABC中，D是BC邊上的一點，AE是△ABD的中線，=AB∠=∠BAD：AC=2AE；16全等三角形的八大經(jīng)典模型目錄136911151719例題1.(23-24八年級上·重慶榮昌·期中)△ABC中，∠=90°AB=ACAE是過A點的一條直BC在AE兩側(cè)，BD⊥AE于點DAE⊥CE于點E=4cmCE=2cmBD=cm．6AAS證明△ABD≌△CAEBD=AEAD=CE=2cm∵BD⊥AE于點DAE⊥CE于點E，∴∠=∠CEA=90°，∴∠+∠ABD=90°，∵∠=90°，∴∠+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAEAAS，∴BD=AEAD=CE=2cm，∴BD=AE=AD+=2+4=6(cm)，故答案為：6．11.(24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí))△ABC中，AB=AC=3∠B=∠C=42°D在線段BC上運動(點D不與點BC重合)AD∠=42°交線段AC于點E．(1)當∠=118°時，∠EDC=°∠AED=°；(2)若DC=3△ABD≌△DCE．(1)2062(2)見詳解(1)利用平角和三角形的外角定理解題；(2)當DC=3∠+∠EDC=138°∠+∠EDC=138°∠=∠AB=DC=3△ABD≌△DCE．(1)解：∵∠=42°∠B=118°，∴∠EDC=180°-∠-∠=180°-118°-42°=20°，∴∠AED=∠EDC+∠C=42°+20°=62°，故答案為：2062；(2)證明：∵∠C=42°，∴∠+∠EDC=138°，又∵∠=42°，∴∠+∠EDC=138°，∴∠=∠，∠=∠在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，AB=DC=3∴△ABD≌△DCEAAS．2.(24-25八年級上·山東濟南·開學(xué)考試)△ABC中，∠ACB=90°,AC=BCMN經(jīng)過點CAD⊥MN于點DBE⊥MN于點E．2(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1△ADC≌△CEB=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時．求證：=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時．求證：=BE-AD．(1)(2)見解析(3)見解析定．(1)①利用三角形內(nèi)角和定理和等量代換得到∠=∠CBE②利用全等三角形性質(zhì)得到AD=CE=BE=AD+BE；(2)由(1)①同理可證△ADC≌△CEBAASAD=CE=BE代換即可證明=AD-BE：(3)解題方法與(2)類似．(1)證明①∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠+∠BCE=90°，∵AD⊥MN于DBE⊥MN于E，∴∠BEC=∠=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS；②∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE=BE，∴=CE+=AD+BE；(2)(1)①同理可證△ADC≌△CEBAAS，∴AD=CE=BE，∴=CE-=AD-BE；(3)解：=BE-AD，理由如下：由(1)①同理可證△ADC≌△CEBAAS，∴AD=CE=BE，∴=-CE=BE-AD．例題2.(24-25八年級上·廣東深圳·開學(xué)考試)如圖1O為線段AB上的任意一點(不于AB重合)別以AOBO為一腰在AB的同側(cè)作等腰△AOC和△OA=OCOB=∠AOC與∠都是∠AOC=∠．3(1)試說明：CB=AD；(2)如圖2AD與BC相交于點P∠=86°∠APB的度數(shù)．(1)見解析(2)133°(1)證△≌△COB即可求解；(2)由(1)可得∠AOC=∠∠AOC+∠+∠=180°可求得∠=∠AOC=∠=47°(1)證明：∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠=∠+∠即：∠=∠COB∵OA=OCOB=，∴△≌△COB∴CB=AD(2)解：∵△≌△COB，∴∠OAD=∠OCB∴∠AOC=∠∵∠AOC=∠BOD∠AOC+∠+∠=180°∠=86°∴∠=∠AOC=∠=47°∴∠APB=180°-∠=133°1.(23-24八年級上·安徽·單元測試)△ABC中，∠ACB=90°AC=BCAB至點D=AB接CD為直角邊作等腰△中∠DCE=90°接BE．(1)若AD=3cmBE的長；(2)BE與AD有何位置關(guān)系？請說明理由．(1)BE=3cm(2)BE⊥AD4鍵．(1)證明△≌△BCEBE=AD=3cm即可；(2)(1)證明：∵△是等腰直角三角形，∠DCE=90°，∴=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠=∠DCE+∠BCD，∴∠=∠BCE，AC=BC在△和△BCE中，∠=∠BCE，=CE∴△≌△BCE，∴BE=AD=3cm；(2)解：BE⊥AD如圖，BE交于點O，由(1)得：△≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠EOC=∠DOB，∴180°-∠EOC-∠BEC=180°-∠DOB-∠ADC，∴∠=∠DCE=90°，∴BE⊥AD．2.(23-24八年級上·河南駐馬店·期中)Rt△OAB和Rt△中，∠AOB=90°，∠=90°OA=OBOE=AEBFAE與BF證明你的結(jié)論．AE=BFAE⊥BF△AEO≌△BFO得到AE=BFAE交BF于D，交OB于C∠=∠ACO∠OAC=∠OBFAE⊥BF．∵∠AOB=∠=90°,∠AOE=90°-∠BOE∠=90°-∠BOE，∴∠AOE=∠∴在Rt△OAB與Rt△中，AO=OB,∠AOE=∠BOF,OE=,∴△AEO≌△BFO，5∴AE=BF；延長AE交BF于DOB于C∠=∠ACO，∵△AEO≌△BFO∴∠OAC=∠OBF，∴∠B=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．例題3.(23-24八年級上·山東臨沂·期中(1)如圖1是正方形，∠EAF=45°E在BC邊上，F(xiàn)在BEDF與之(2)如圖2是正方形，∠EAF=45°E在BC的延長線上，F(xiàn)在BE、DF與(1)=BE+DF(2)=BE-DF三角形．(1)結(jié)論：=BE+DF．將△ADF繞點AAD與AB△ABF∠EAF=∠EAF=45°△和△AEF=(2)結(jié)論：=BE-DF(1)．(1)結(jié)論：=BE+DF．1△ADF繞點AAD與AB△ABF，則：∠FAB=∠,∠ABF=∠D=90°AF=AFBF=DF，∴∠ABF+∠ABC=180°：F,B,E三點共線，∵∠EAF=45°，∴∠+∠=90°-∠EAF=45°，6∴∠+∠=45°，∴∠EAF=∠EAF=45°，在△和△AEF中，AF=AF∠EAF=∠EAF，AE=AE∴△≌△EAF()，∴=，又=BE+BF，∴=BE+DF．(2)結(jié)論：=BE-DF．2△ADF繞點AAD與AB△ABF，則：BF=DF,AF=AF，同法(1)可得：△≌△AEF()，∴=，又=BE-BF=BE-DF，∴=BE-DF．1.(22-23八年級上·四川巴中·期末)(11EF分別在正方形的邊BC上，∠EAF=45°接=BE+DF到GDG=BE，在△ABE與△ADG中AB=AD∠B=∠ADG=90°BE=DG∴△ABE≌△ADG理由：，進而證出：△AFE≌：()進而得=BE+DF7(22中，AB=AD∠=90°．點EF分別在邊BC上，∠EAF=45°∠B+∠D=180°=BE+DF嗎？請證明你的猜想．(1)△AFG(2)仍有=BE+DF(1)根據(jù)前面的推理提示可得答案；(2)延長FD至點GDG=BE∠B=∠ADG△ABE≌△ADG()AE=AG，∠=∠明∠=45°△AFE≌△AFG()=FG(1)△AFE≌△AFG(2)仍有=BE+DF延長FD至點GDG=BE，∵∠ADF+∠ADG=180°∠B+∠ADF=180°∴∠B=∠ADG在△ABE和△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG，BE=DG∴△ABE≌△ADG()∴AE=AG∠=∠∵∠=90°∠EAF=45°∴∠+∠=45°∴∠+∠=45°即∠=45°在△AFE和△AFG中，AE=AG∠=∠AF=AF∴△AFE≌△AFG()∴=FG，∴=BE+DF．2.(22-23八年級上·江蘇連云港·階段練習(xí))ABCD(四條邊都相90°)EF在CDBC∠EAF=45°至點GDG=BFAG．(1)求證：=+BF；(2)若AB=2△的周長=．(直接寫出結(jié)果)8(1)見解析(2)4(1)先證明△ABF?△ADG∠EAG=45°△?△AEG質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)三角形的周長公式即可得到結(jié)論．(1)證明：∵四邊形是正方形，∴AB=AD∠=∠ABF=∠ADC=∠ADG=90°．AB=AD在△ABF和△ADG中，∠ABF=∠ADG，BF=DG∴△ABF?△ADG，∴∠=∠AF=AG，∵∠EAF=45°，∴∠+∠=∠+∠=45°，∴∠EAG=45°，AE=AE在△和△AEG中，∠EAF=∠EAG，AF=AG∴△?△AEG()，∴=EG=ED+DG，∴=+BF；(2)解(1)知，=+BF，∴△的周長=CF+CE+=CF+CE+BF+=BC+CD，∵BC==AB=2，∴△的周長=4，故答案為：4．△?△AEG．例題4.(2024·山東臨沂·一模)D是△ABC的邊BC上的中線，AB=6AD=4AC的取值范圍為()A.2<AC<14AB.2<AC<12C.1<AC<41<AC<8三角形．延長AD至E=AD接CE．由證明△ABD≌△ECDCE=AB=6邊關(guān)系即可求解．AD至E=ADCE．9則AE=2AD=8，∵AD是邊BC上的中線，∴=BD，AD=ED在△ABD和△中，∠=∠EDC，BD=∴△ABD≌△，∴CE=AB=6，在△ACE中，AE-EC<AC<AE+EC，即8-6<AC<8+6，∴2<AC<14，故選：A．1.(22-23八年級上·四川德陽·階段練習(xí))在△ABCAB=5AC=9AD是BC邊上的中線，則AD取值范圍是2<AD<7．AD至EAD=CE△ABD≌△ECDCE=AB△ACE中利用三角形的三邊的關(guān)AD至EAD=CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，AD=ED在△ABD和△中，∠=∠EDC，BD=∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB，在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CEAB=5AC=9，∴9-5<AE<9+5，∴4<2AD<142<AD<7，故答案為：2<AD<7．2.(23-24七年級下·遼寧丹東·期末1△ABC中，AD是BCAD至點E=AD接CE．由此可以得到△ABD≌10△ECD(”)；2△ABC外分別作AD⊥ABAE⊥ACAB=ADAC=AE接，EC的中點F接AF斷AF與BC(1)(2)BC=2AF全等是解題的關(guān)鍵：[方法初探]延長AD至點E=ADCE證明△ABD≌△即可；[問題解決]延長AF至點GFG=AFEG△AFD≌△GFE∠=∠GAD=GE△≌△GEABC=AG即可推出BC=2AF．[方法初探]延長AD至點E=AD接CE．∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，BD=在△ABD和△中，∠=∠EDCAD=ED∴△ABD≌△，故答案為；[問題解決]BC=2AFAF至點GFG=AF接EG，同理可證△AFD≌△GFE，∴∠=∠GAD=GE，∴AB=GE，∵AD⊥ABAE⊥AC，∴∠=∠EAC=90°，∴∠+∠=360°-90°-90°=180°，∴∠+∠+∠EAG=180°∵∠AEG+∠G+∠EAG=180°∴∠AEG=∠，又∵AB=EG,AC=AE，∴△≌△GEA，∴BC=AG∴BC=2AF．例題5.(22-23八年級上·重慶綦江·期末)△ABC中，∠ABC=68°BD平分∠ABCP為線段11BD上一動點，Q為邊ABAP+PQ的值最小時，∠APB的度數(shù)是()A.118°B.125°C.136°124°DBC上截取BE=BQ接PE明△PBQ≌△PBEPE=PQAP+PQ=AP+PEAPEAE⊥BC時，AP+PEAP+PQA作AE⊥BC于點EBD于點PBC上截取BE=BQ接PE∵BD平分∠ABC∠ABC=68°，12∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°，∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBE，∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴當APEAE⊥BC時，AP+PEAP+PQA作AE⊥BC于點EBD于點P∵∠AEB=90°∠CBD=34°，∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．故選：D．AP+PQ最小時點P的位置．1.(23-24七年級上·山東煙臺·期末題．12(1)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD為∠AB上截取AE=AC接．請直接寫出線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系；(2)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD為∠的角平分線．請判斷線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD為∠的補角的角平分線．請判斷線段AB,AC,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(1)AB=AC+(2)AB=AC+CD(3)=AB+AC(1)在AB上截取AE=AC△EAD≌△CADED=CD∠AED=∠C=90°，則∠BED=90°∠ACB=2∠B=90°∠B=45°∠=∠B=45°ED=EB=CD證明AB=AC+；(2)在AB上截取AF=AC接FD△≌△CADFD=CD∠AFD=∠ACB∠AFD=∠B+∠∠ACB=2∠B∠B+∠=2∠B∠=∠BFD=FB=CDAB=AC+；(3)在的延長線上取一點GAG=ACDG△GAD≌△CADGD=CD∠AGD=∠ACD180°-∠B-∠=180°-∠ACB∠ACB=2∠B∠=∠BGD=GB=AB+AG=AB+AC=AB+AC．(1)AB=AC+CD，AB上截取AE=AC接，∵AD為∠的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，AE=AC在△EAD和△CAD中，∠EAD=∠CAD，AD=AD∴△EAD≌△CAD()，∴ED=CD∠AED=∠C=90°，∴∠BED=90°，∵∠ACB=2∠B=90°，∴∠B=45°，∴∠=∠B=45°，∴ED=EB，∴EB=CD，13∴AB=AE+EB=AC+．(2)AB=AC+CD，AB上截取AF=ACFD，∵AD為平分∠，∴∠=∠CAD，AF=AC在△和△CAD中，∠=∠CAD，AD=AD∴△≌△CAD()，∴FD=CD∠AFD=∠ACB，∵∠AFD=∠B+∠∠ACB=2∠B，∴∠B+∠=2∠B，∴∠=∠B，∴FD=FB，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+．(3)=AB+AC，的延長線上取一點GAG=ACDG，∵AD是∠CAG的平分線，∴∠GAD=∠CAD，AG=AC在△GAD和△CAD中，∠GAD=∠CAD，AD=AD∴△GAD≌△CAD()，∴GD=CD∠AGD=∠ACD，∴∠AGD=180°-∠B-∠∠=180°-∠ACB，∴180°-∠B-∠=180°-∠ACB，∴∠B+∠=∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠B+∠=2∠B，∴∠=∠B，∴GD=GB=AB+AG=AB+AC，∴=AB+AC．180°的關(guān)鍵．2.(2021七年級下·全國·專題練習(xí))△ABC中AB>ACAD是∠的平分線，M是ADMB-MC<AB-AC．14AB>ACAB上截取線段AE=ACBE=AB-ACEM△BMEMB-ME<BEME=MCAC至HAH上截取線段AB=AG△ABM≌△AGMBM=GM三邊關(guān)系即可求解．AB上截取AE=ACME，在△MBE中，MB-ME<BE(三角形兩邊之差小于第三邊),∵AD是∠的平分線，∴∠=∠CAD,在△AMC和△AME中，AC=AE∵∠CAM=∠EAMAM=AM∴△AMC≌△AME()，∴MC=ME(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-AC，∴MB-MC<AB-AC．AC至HAH上截取線段AB=AG，同理可證得△ABM≌△AGM()，∴BM=GM，∵在△MCG中MG-MC<CG∴MB-MC<AG-AC=AB-AC即MB-MC<AB-AC．等三角形．15例題6.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖所示，Rt△ABC中，BD是角平分線，⊥ABEAB=10AC=6BC=8△AED的周長為．8△≌△AAS=CDBE=BC=8AE=AB-BE=2∵Rt△ABC中，BD是角平分線，∴∠=∠，∵⊥AB∠C=90°，∴∠=∠C=90°，又∵BD=BD，∴△≌△AAS，∴=CDBE=BC=8，∴AE=AB-BE=2，∴△AED的周長為AE++AD=2+AD+=2+AC=8，故答案為：8．1.(23-24八年級上·福建福州·期中)△ABC中，AD為角平分線，∠B=2∠ADB,AB=3,=6線段AC的長為()A.9B.11C.1215A-截長補短法構(gòu)造全等三角在AC上截取AE=AB明△≌△EADCE==6即可求解．AC上截取AE=AB接∵AD為角平分線，16∴∠=∠EAD∵AD=AD∴△≌△EAD∴∠B=∠∠B=∠AE=AB=3即∠=2∠，∵∠B=2∠∴∠=∠∴∠=∠CED∴CE==6∴AC=CE+AE=9故選：A．2.(23-24七年級上·山東青島·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°∠的角平分線AD交BC于點D，且=2點D到AB的距離是()A.2B.4C.68AD到AB的距離等于∵AD是∠的平分線，∠C=90°=2，∴點D到AB的距離是2，故選：A．例題7.(23-24八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí))面的畫法()(1)利用刻度尺在∠AOB=OC(2)連接CD的中點E(3)畫射線OEOE為∠AOB的角平分線．A.利用了SSSAB.利用了C.利用了AAS利用了證△COE≌△DOE答案．17OC=CE=OE=OE，∴△COE≌△DOESSS，∴∠COE=∠DOE，即射線OE為∠AOB的角平分線，故選：A．3.(23-24七年級下·福建福州·期末)如圖，AD是△ABC的角平分線，CE⊥ADF．若∠CAB=32°∠B=56°∠的度數(shù)為()A.36°B.42°C.45°50°A內(nèi)角和求出相應(yīng)各個角的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ACB=92°,利用三角形全等求出DC=.∵∠CAB=32°,∠B=56°，∴∠ACB=180°-32°-56°=92°，∵CE⊥AD，∴∠AFC=∠AFE=90°，∵AD是△ABC的角平分線，12∴∠CAD=∠EAD=×32°=16°，又∵AF=AF，∴△ACF≌△，∴AC=AE，∵AD=AD,∠CAD=∠EAD，∴△≌△AED，∴DC=，∴∠DCE=∠，∵∠ACE=90°-16°=74°，∴∠DCE=∠=∠ACB-∠ACE=92°-74°=18°，∴∠=∠DCE+∠=18°+18°=36°，故選：A.4.(23-24八年級下·山西運城·期中)如圖，△ABC中，AD為∠BD垂直AD于D，△的面積為8△ABC的面積為．1816BD交AC于E證明△≌△BD=S=SS=SBDCBD交AC于E，∵AD為∠的角平分線，AD⊥BD，∴∠=∠EAD∠=∠=90°，又∵AD=AD，∴△≌△()，∴BD=，∴S=SS=S，∵S=S+S+S+S，12∴S+S=S，即S=2S=16，故答案為：16例題8.(23-24七年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí))如圖，AB∥CFE為DFAB=10cmCF=8cm，則BD的長為()A.2cmB.2.5cmC.3cm4cmAAB∥CF∠A=∠ECF,∠=∠F=FE可證得△≌△CFEAD=CF∵AB∥CF，∴∠A=∠ECF,∠=∠F，∵E為DF的中點，∴=FE，∴△≌△CFEAAS，19∴AD=CF=8cm，∵AB=10cm，∴BD=AB-AD=2cm．故選：A．1.(23-24九年級上·黑龍江綏化·期末)如圖，E為△ABC邊AC的中點，CN∥ABE點作直線MN交AB與點MCN于點NMB=6cmCN=4cmAB=cm．10是解題關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠ECN,∠AME=∠N△AEM≌△CEN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM=CN=4cm∵CN∥AB，∴∠A=∠ECN,∠AME=∠N，∵E為AC的中點，∴EM=EN，∠A=∠ECN在△AEM和△CEN中，∠AME=∠N，EM=EN∴△AEM≌△CENAAS，∴AM=CN=4cm，∵MB=6cm，∴AB=AM+MB=10cm，故答案為：10．2.(23-24七年級下·廣東河源·期末)△ABC中，D為AB上一點，E為AC并延長至點F得CF∥AB．(1)求證：△AED≌△；20(2)連接BEBE平分∠ABC,CA平分∠BCF∠ABE=25°∠A的度數(shù)．(1)見解析(2)∠A=65°形全等．(1)先證明∠A=∠ACF到△AED≌△(2)∠BCF(1)證明：∵E為AC中點，∴AE=CE，∵CF∥AB．∴∠A=∠ACF，在△AED和△中，∠A=∠ACF∵AE=CE∠AED=∠∴△AED≌△；(2)解：∵BE平分∠ABC,∠ABE=25°∴∠ABC=2∠ABE=50°，∵CF∥AB．∴∠ABC+∠BCF=180°,∠A=∠ACF∴∠BCF=180°-∠ABC=130°∵CA平分∠BCF，12∴∠ACF=∠BCF=65°，∴∠A=65°．1.(24-25八年級上·遼寧盤錦·開學(xué)考試)如圖，OP平分∠AOBPC⊥OAPD⊥OBCD()A.PC=PDDB.=OCC.∠DPO=∠CPOPC=OCAAS證明△≌△POC21據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案．∵OP平分∠AOB，∴∠=∠POC，∵PC⊥OAPD⊥OB，∴∠PDO=∠PCO=90°，又∵OP=OP，∴△≌△POCAAS，∴PC=PD=OC∠DPO=∠CPO，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明PC=OC，∴D選項符合題意，故選：D．2.(23-24八年級上·福建廈門·期中)AB=ACD，E分別是ABAC的中點，DMEMDM=EMM在向上滑△ADM≌△AEM()A.B.C.HLSSSD△ADM≌△AEM．∵AB=ACDE分別是ABAC的中點，∴AD=AE，在△ADM和△AEM中，AD=AEAM=AM．DM=EM∴△ADM≌△AEMSSS，故選：D．3.(23-24八年級上·廣東東莞·階段練習(xí))AB=ACAF=AE∠EAF=∠CD、EF()22①△AFB≌△AECBF=CE∠BFC=∠EAFAB=BCA.①②③AB.①②④C.①②①②③④根據(jù)∠EAF=∠得∠=∠EAC則有△AFB≌△AEC和BF=CE∠BFC=∠EAFAB=BC無法求得正確與否．∵∠EAF=∠，∴∠=∠EAC，∵AB=ACAF=AE，∴△AFB≌△AEC則BF=CE∠ABF=∠ACE，∵∠BDF=∠ADC，∴∠BFC=∠CAD，∵∠=∠EAF，∴∠BFC=∠EAF因為AB=BC故選：A．4.(23-24八年級上·重慶沙坪壩·期中)D是等腰Rt△ABC的邊BCB作BE⊥AD于點E接CEAE=4S△AEC的值是()A.4B.5C.816C△ABE≌△CAH是解題關(guān)鍵．過C作CH⊥AD于H△ABC∠=90°AB=AC∠CAH=∠ABE△ABE≌△CAHCH=AE=4可求出面積．C作CH⊥AD于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠=90°AB=AC，∵BE⊥AD，∴∠CAH+∠=∠ABE+∠=90°，∴∠CAH=∠ABE，∵∠AHC=∠AEB=90°AB=AC，23∴△ABE≌△CAHAAS，∴CH=AE=4，1212∴S=AE?CH=×4×4=8．故選：C．5.(23-24七年級下·陜西西安·階段練習(xí))內(nèi)，=DC∠DCA=60°，∠C=78°∠CAB=24°∠ACB=()A.15°B.18°C.20°12°BCA到點EAE=AB接△≌△==DC△為等邊∠∠DCB∠ACBCA到點EAE=AB，∵∠=78°∠+∠=180°，∴∠=102°，∵∠=∠+∠CAB=78°+24°=102°，∴∠=∠，∵=，∴△B≌△，∴==DC，∵∠DCA=60°，∴△是等邊三角形，∴∠EDC=60°∠ADC=180°-78°-60°=42°，∴∠E=60°-42°=18°，∴∠=∠=18°，∴∠BDC=60°-2×18°=24°，12∴∠DCB=×180°-∠BDC=78°，∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=18°，故選：B．6.(2024·黑龍江雞西·二模)AB=∠A=∠D(一個即可)：24△ABC≌△．∠ACB=∠DCE(合理即可)AB=∠A=∠D等或AC=DC即可證明全等．∠ACB=∠DCE；證明：∵AB=∠A=∠D∠ACB=∠DCE∴△ABC≌△AAS，故答案為：∠ACB=∠DCE(合理即可)．7.(23-24八年級上·全國·單元測試)∠A=∠D∥BC使得△ABC≌△．AB=(答案不唯一)AB=∠ACB=∠DFE，再利用AAS即可證明△ABC≌△．AB=∵∥BC，∴∠ACB=∠DFE，又∵∠A=∠DAB=，∴△ABC≌△AAS，故答案為：AB=(答案不唯一)．8.(24-25八年級上·遼寧撫順·階段練習(xí))△ABC中，AD為∠的平分線，BE⊥AD于E，連接CE△ABC的面積為6cm2△AEC的面積cm23BE交AC于點G△AEB≌△AEGEB=EGS=S,S=SCGE△AEC的面積．25BE交AC于點G，∵AD為∠的平分線，BE⊥AD于E，∴∠=∠GAE,∠AEB=∠AEG=90°，∵AE=AE，∴△AEB≌△AEG，∴EB=EG，∴S=S,S=S，12∴S=S+S=S∵△ABC的面積為6cm2，∴△AEC的面積為3cm2故答案為：3．9.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，AC平分∠DCBCB=的延長線交BC于點E果∠EAC=48°∠為°84△ABC≌△ADC∠B=∠D到∠CAE=∠D+∠=48°∠B+∠BCA=48°和定理即可求出答案.∵AC平分∠DCB∴∠BCA=∠DCA在△ABC和△ADC中，BC=DC∠BCA=∠DCACA=CA∴△ABC≌△ADC∴∠B=∠D∴∠B+∠BCA=∠D+∠∵∠CAE=∠D+∠=48°∴∠B+∠BCA=48°∴∠=180°-∠B-∠BCA-∠EAC=180°-∠B+∠BCA-∠EAC=180°-48°-48°=84°故答案為：8410.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，∠ABC=∠CAD=90°AB=4AC=AD△的面積．268⊥BA△ABC≌△AASAB==4D作⊥BA延長線于點E，∵∠ABC=∠CAD=90°，∴∠ABC=∠=90°∠1+∠2=90°∠C+∠2=90°，∴∠C=∠1，又∵AC=AD，∴△ABC≌△AAS，∴AB==4，1212∴S=AB?=×4×4=8故答案為：8．11.(23-24八年級上·吉林·階段練習(xí))△ABC和△AB=AD∠=∠CAE∠B=∠DAD與BC交于點PC在上．求證：BC=．∠=∠CAE可得∠=∠△ABC≌△∵∠=∠CAE，∴∠+∠=∠CAE+∠，即∠=∠，∠B=∠D在△ABC和△中，AB=AD，∠=∠∴△ABC≌△()，∴BC=．12.(24-25八年級上·全國·單元測試)ABC和等腰直角三角形中，AB⊥27ACAD⊥AEAB=ACAD=AE分別交AEBE于點MF．求證：(1)DC=EB；(2)⊥BE．(1)見解析(2)見解析形全等的判定方法．(1)證明△ADC≌△AEBDC=EB即可；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠AEB∠AMD=∠EMF∠=∠=90°(1)證明：∵AB⊥ACAD⊥AE，∴∠=∠=90°，∴∠+∠CAE=∠E+∠CAE，即∠EAB=∠，AD=AE在△ADC和△AEB中，∠=∠EAB，AC=AB∴△ADC≌△AEB，∴DC=EB；(2)證明：∵△ABE≌△ACD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠+∠ADM+∠AMD=∠EMF+∠MFE+∠=180°，又∵∠AMD=∠EMF，∴∠=∠=90°，∴⊥BE．13.(23-24七年級下·全國·單元測試)如圖，△ABCD在邊BC延長線上，∠ACB=108°∠ABC的平分線交AD于點E點E作EH⊥BDH∠CEH=54°．(1)求∠ACE的度數(shù)；28(2)請判斷AE是否平分∠CAF(3)若AC+=10AB=6S△ACD=15△ABE的面積．(1)36°(2)AE平分∠CAF(3)9與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(1)由平角的定義可求解∠∠ECH=36°(2)過E點分別作EM⊥BF于MEN⊥AC與NEM=EN論；(3)利用三角形的面積公式可求得EM(1)∵∠ACB=108°，∴∠=180°-108°=72°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=54°，∴∠ECH=90°-54°=36°，∴∠ACE=72°-36°=36°；(2)AE平分∠CAF過E點分別作EM⊥BF于MEN⊥AC與N，∵