2014-2023年北京市中考真題數(shù)學(xué)試題匯編：幾何綜合

第1頁/共1頁2014-2023北京中考真題數(shù)學(xué)匯編幾何綜合一、解答題1．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．2．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長到點(diǎn)，使得(1)如圖1，延長到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)A為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大??；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點(diǎn)．E為直線上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2019·北京·中考真題）已知，H為射線OA上一定點(diǎn)，，P為射線OB上一點(diǎn)，M為線段OH上一動點(diǎn)，連接PM，滿足為鈍角，以點(diǎn)P為中心，將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段PN，連接ON．（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）求證：；（3）點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對稱點(diǎn)為Q，連接QP．寫出一個(gè)OP的值，使得對于任意的點(diǎn)M總有ON=QP，并證明．6．（2018·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為F，連接EF并延長交BC于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長線于點(diǎn)H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．7．（2017·北京·中考真題）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP，延長BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M.（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.8．（2016·北京·中考真題）在等邊△ABC中，（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補(bǔ)全；②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA=PM，只需證△APM是等邊三角形；想法2：在BA上取一點(diǎn)N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證△ANP≌△PCM；想法3：將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK．請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）．9．（2015·北京·統(tǒng)考中考真題）在正方形ABCD中，BD是一條對角線.點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AP，平移△ADP，使點(diǎn)D移動到點(diǎn)C，得到△BCQ，過點(diǎn)Q作QH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH、PH.（1）若點(diǎn)P在線CD上，如圖1，①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點(diǎn)P在線CD的延長線上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路.（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）

參考答案1．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．3．（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)中位線定理和線段中點(diǎn)定義可得，，，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，然后根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理、等量代換即可得證．【詳解】（1）∵D是AB的中點(diǎn)，E是線段AC的中點(diǎn)∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點(diǎn)B作AC的平行線交ED的延長線于點(diǎn)G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點(diǎn)∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂直平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（1）如圖所示見解析；（2）見解析；（3）OP=2.證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可．（2）由旋轉(zhuǎn)可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形內(nèi)角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得證．（3）根據(jù)題意畫出圖形，以O(shè)N=QP為已知條件反推OP的長度．由（2）的結(jié)論∠OMP=∠OPN聯(lián)想到其補(bǔ)角相等，又因?yàn)樾D(zhuǎn)有PM=PN，已具備一邊一角相等，過點(diǎn)N作NC⊥OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，即可構(gòu)造出△PDM≌△NCP，進(jìn)而得PD=NC，DM=CP．此時(shí)加上ON=QP，則易證得△OCN≌△QDP，所以O(shè)C=QD．再設(shè)DM=CP=x，所以O(shè)C=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于點(diǎn)M、Q關(guān)于點(diǎn)H對稱，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可【詳解】解：（1）如圖1所示為所求．（2）設(shè)∠OPM=α，∵線段PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到線段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN（3）OP=2時(shí)，總有ON=QP，證明如下：過點(diǎn)N作NC⊥OB于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，如圖2∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°∵∠AOB=30°，OP=2∴DH=OH-OD=1∵∠OMP=∠OPN∴180°-∠OMP=180°-∠OPN即∠PMD=∠NPC在△PDM與△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD=NC，DM=CP設(shè)DM=CP=x，則OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1∵點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對稱點(diǎn)為Q∴HQ=MH=x+1∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x∴OC=DQ在△OCN與△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON=QP【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)題意畫圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和180°，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)．第（3）題的解題思路是以O(shè)N=QP為條件反推OP的長度，并結(jié)合（2）的結(jié)論構(gòu)造全等三角形；而證明過程則以O(shè)P=2為條件構(gòu)造全等證明ON=QP．6．（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【分析】（1）連接．根據(jù)對稱的性質(zhì)可得．．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．進(jìn)而證明≌，即可證明；（2）在上取點(diǎn)使得，連接．證明≌，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到線段與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：連接．∵，關(guān)于對稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點(diǎn)使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（1）∠AMQ=45°+α；(2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系：PQ=MB，理由見解析.【分析】(1)由直角三角形性質(zhì)，兩銳角互余，可得∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM，解得∠AMQ=45°+α；(2)由題意得AP=AQ=QM，再證Rt△APC≌Rt△QME，.全等三角形對應(yīng)邊相等得出PC=ME，得出△MEB為等腰直角三角形，則PQ=BM.【詳解】(1)∠AMQ=45°+α.理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°－α，∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM＝45°＋α；(2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系：PQ=MB.理由如下：連接AQ，過點(diǎn)M作ME⊥QB，∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=α+45°=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在Rt△APC和Rt△QME中，∴Rt△APC≌Rt△QME，∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴，∴PQ=MB.8．（1）80°；（2）①補(bǔ)圖見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)要求作出圖形，如圖2；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，由點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，得到AQ=AM，∠QAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠AQB=∠CAQ+∠C=20°+60°=80°；（2）①如圖2；②∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等邊三角形，∴AP=PM．9．（1）①如圖；②AH＝PH，AH⊥PH．證明見解析（2）或【詳解】試題分析：（1）①如圖（1）；②（1）法一：軸對稱作法，判斷：AH＝PH，AH⊥PH．連接CH，根據(jù)正方形的每條對角線平分一組對角得：△DHQ等腰Rt△，根據(jù)平移的性質(zhì)得DP＝CQ，證得△HDP≌△△HQC，全等三角形的對應(yīng)邊相等得PH＝CH，等邊對等角得∠HPC＝∠HCP，再結(jié)合BD是正方形的對稱軸得出∠AHP＝180°－∠