自由度系統(tǒng)在一般激勵(lì)下的受迫振動(dòng).ppt

1、第6講 單自由度系統(tǒng)在一般激勵(lì)下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,6.1 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 6.3 響應(yīng)譜,周期振動(dòng),展成傅氏級(jí)數(shù),n=1,2,3,n=1,2,3,6.1 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無(wú)數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過(guò)程。,在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開(kāi)稱為諧波分析,周期函數(shù)的幅值頻譜圖，相位頻譜圖。,周期函數(shù)的譜線是互相分開(kāi)的，故稱為離散頻譜。,周期振動(dòng)的諧波分析,6.1 周期激勵(lì)

2、作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,函數(shù)的頻譜，說(shuō)明了組成該函數(shù)的簡(jiǎn)諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。這種分析振動(dòng)的方法稱為頻譜分析。 由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。 這是將周期振動(dòng)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。,周期振動(dòng)的諧波分析,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,周期振動(dòng)的諧波分析以無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)，但一般可以用有限項(xiàng)近似表示周期振動(dòng)。 例 已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。,解矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)F (t)可表示為,表

3、示F(t)的波形關(guān)于t軸對(duì)稱，故其平均值為零。,周期振動(dòng)的諧波分析,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,n=1，2，3,于是，得F(t)的傅氏級(jí)數(shù),F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級(jí)數(shù)中也只含正弦函數(shù)項(xiàng)。在實(shí)際的振動(dòng)計(jì)算中，根據(jù)精度要求，級(jí)數(shù)均取有限項(xiàng)。F(t)的幅值頻譜如圖所示。,周期振動(dòng)的諧波分析,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,函數(shù)f ( t )的傅氏積分公式,f ( t )的傅氏變換,又稱非周期函數(shù)f ( t )的頻譜函數(shù)。頻譜函

4、數(shù)的值一般是復(fù)數(shù)。,連續(xù)頻譜,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 試求圖示單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖形。,可求得頻譜函數(shù),f (t)的傅氏積分為,解: f ( t )可表示為,非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,其振幅頻譜,頻譜圖,傅氏積分和變換，是研究瞬態(tài)振動(dòng)與隨機(jī)振動(dòng)的重要工具。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可使用計(jì)算機(jī)運(yùn)算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器(FFT)。,非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Stru

5、ctural Vibration,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分別疊加，即得到系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)。,設(shè)粘性阻尼系統(tǒng)受到周期激振力,諧波分析方法，得到,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為,Mechanical and Structural Vibration,由疊加原理，并考慮欠阻尼情況，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期性矩形波的激勵(lì)。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

6、。(其中 ),解：周期性矩形波的基頻為,矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù),將矩形波分解為,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng),將矩形波分解為,從頻譜圖中看，系統(tǒng)只對(duì)激勵(lì)所包含的諧波分量有響應(yīng)。對(duì)于 頻率靠近系統(tǒng)固有頻率的那些諧波分量，系統(tǒng)響應(yīng)的振幅放大 因子比較大，在整個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中占主要成分。,畫出系統(tǒng)的響應(yīng)頻譜圖,6.1周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),物塊受到?jīng)_量的作用時(shí)，物塊的位移可忽略不計(jì)。但物塊的 速度卻變化明顯。根據(jù)力

7、學(xué)中的碰撞理論，可得物塊受沖量 作用獲得的速度,對(duì)作用時(shí)間短、變化急劇的力常用它的沖量進(jìn)行描述。,1. 用沖量描述瞬態(tài)作用,Mechanical and Structural Vibration,如果取 為沖量作用的瞬時(shí)等價(jià)于對(duì)初始條件的響應(yīng),初位移,初速度,得到單自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)沖量的響應(yīng),如果 作用在 的時(shí)刻，未加沖量前，系統(tǒng)靜止，則物塊的響應(yīng)為,6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,同理，如果在t = 0時(shí)，沖量作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，得其響應(yīng),如果 作用在 的時(shí)刻，則物塊的響應(yīng)為,6.2任意激勵(lì)作

8、用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,用 (t)函數(shù)表示作用在極短時(shí)間內(nèi)沖擊力,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),表明只在近旁極其短暫的時(shí)間內(nèi)起作用，其數(shù)值為無(wú)限大。 但它對(duì)時(shí)間積分是有限數(shù)1。,函數(shù)的定義是,從積分式可見(jiàn)，如果時(shí)間以秒計(jì)， (t)函數(shù)的單位是1/s。,用單位脈沖(unit impulse)函數(shù) (t)表示沖擊力,Mechanical and Structural Vibration,如果在t = 0的瞬時(shí)施加沖量，則相應(yīng)的沖擊力,當(dāng) ，即施加單位沖量時(shí)，沖擊力為,F是沖擊力, (t)函數(shù)又稱單位脈沖函數(shù)，就是由此而得名。,單位

9、脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為,6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,單位脈沖力作用于單自由度系統(tǒng)時(shí)，其振動(dòng)微分方程為,單位脈沖力作用等價(jià)于沖量 作用在有粘性阻尼的物塊上，對(duì)欠阻尼的情形，,根據(jù)初始條件可確定A和。最后得其響應(yīng),6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,為了應(yīng)用方便，單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用h(t)表示。得單 自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng),有粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng),稱為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù),6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振

10、動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,h(t)有以下特性,不難發(fā)現(xiàn)h(t)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。h(t)是單位脈沖沖量的響應(yīng)，其量綱為位移/沖量。,2.3.2系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng),6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),作用有一任意激振力F(t),欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程,將激振力看作是一系列元沖量的疊加,元沖量為,得到系統(tǒng)的響應(yīng),Mechanical and Structural Vibration

11、,由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)在 時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)元沖量的總和，即,得到系統(tǒng)的響應(yīng),6.2任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,上式的積分形式稱為卷積。因此，線性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于激勵(lì)與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積。這個(gè)結(jié)論稱為博雷爾(Borel)定理，也稱杜哈梅(Duhamel)積分。,對(duì)無(wú)阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng),用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,系統(tǒng)有初

12、始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為,對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為,t t1 即激振力停止作用后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱為剩余運(yùn)動(dòng)。,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力F0的作用，試求其響應(yīng)。,積分后得響應(yīng)為,代入,在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿力F0的方向移動(dòng)一距離,解：取開(kāi)始加力的瞬時(shí)為t = 0，受階躍函數(shù)載荷的圖形如圖所示。設(shè)物塊處于平衡位置，且 。,也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structura

13、l Vibration,若階躍力從t = a 開(kāi)始作用，則系統(tǒng)的響應(yīng)為,t a,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,解：在 階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即,例2-10 無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖,作用，試求其響應(yīng)。,當(dāng)t t1時(shí)，F(xiàn) ( t ) = 0，得,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,系統(tǒng)的響應(yīng)為,t t1,實(shí)際上，在t t1階段，物塊是以t = t1的位移x1和速度 為初始條件作自由振動(dòng)。因此，其響應(yīng)也可用下面的方法求得。,將初始條件

14、,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),作為研究線性振動(dòng)系統(tǒng)的工具，拉普拉斯變換方法有廣 泛的用途。它是求解線性微分方程，特別是常系數(shù)的線性微 分方程的有效工具。用拉氏變換可簡(jiǎn)單地寫出激勵(lì)與響應(yīng)間 的代數(shù)關(guān)系。,現(xiàn)在說(shuō)明如何用拉氏變換方法求解單自由度具有粘性欠 阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。由物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程,其中f (t)表示任意激振力。并設(shè)t = 0時(shí)，,對(duì)式兩端各項(xiàng)作拉氏變換,Mechanical and Structural Vibration,如不計(jì)運(yùn)動(dòng)的初始條件，即令 ，則寫成,在拉

15、氏域中，系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和激勵(lì)的乘積。,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,對(duì)式兩端各項(xiàng)作拉氏變換,經(jīng)整理得,是系統(tǒng)的響應(yīng)在拉氏域中的表達(dá)式,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 具有粘性欠阻尼的系統(tǒng)，受到階躍力F (t) = F0的作用，且 t = 0時(shí)， ，試用拉氏變換方法求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由式求出,階躍力的拉氏變換為,響應(yīng)的拉氏變換為,引入記號(hào),上式寫成,例 題,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical a

16、nd Structural Vibration,其中系數(shù)可由部分分式方法確定,最后得到,對(duì)上式作拉氏逆變換，即得響應(yīng),例 題,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 題,系統(tǒng)基礎(chǔ)有階躍加速度 ，初始條件為 ，求質(zhì) 量m的相對(duì)位移。,解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為,系統(tǒng)的激振力為,可得響應(yīng)為,其中,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 題,解：由上題可得系統(tǒng)的微分方程為,基礎(chǔ)有階躍位移,系統(tǒng)的激振力為,可得響應(yīng)為,上題中，若基礎(chǔ)有階躍位移，求零初始條

17、件下的絕對(duì)位移。,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 題,求系統(tǒng)響應(yīng)。,解：由圖得激振力方程為,當(dāng) 0 t t1時(shí)，,當(dāng) t t1時(shí)，,零初始條件的無(wú)阻尼系統(tǒng)受圖的半正弦脈沖作用，若,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,例 題,無(wú)阻尼系統(tǒng)的支承運(yùn)動(dòng)加速度如圖，求零初始條件下系統(tǒng)的相對(duì)位移。,解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為,支承運(yùn)動(dòng)加速度方程為,當(dāng) 0 t t1時(shí)，,當(dāng) t t1時(shí)，,6.2 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng),Mechanical and Struct

18、ural Vibration,響應(yīng)譜是系統(tǒng)在給定激勵(lì)下的最大響應(yīng)值與系統(tǒng)或激勵(lì) 的某一參數(shù)之間的關(guān)系曲線圖。最大響應(yīng)值可以是系統(tǒng) 的最大位移、最大加速度、最大應(yīng)力或出現(xiàn)最大值的時(shí) 刻等；參數(shù)可以選擇為系統(tǒng)的固有頻率或激勵(lì)的作用時(shí) 間等。響應(yīng)譜中有關(guān)的量都化為無(wú)量綱的參數(shù)表示。 響應(yīng)譜在工程實(shí)際中是很重要的，它揭示出最大值出現(xiàn) 的條件或時(shí)間等。如受迫振動(dòng)的幅頻特性曲線。當(dāng)振動(dòng) 系統(tǒng)已定，激振力的大小已定時(shí)，該曲線表示出受迫振 動(dòng)的振幅和激振力頻率的關(guān)系。振幅就是振動(dòng)位移的最 大值，由曲線便能確定最大振幅出現(xiàn)時(shí)的激振力頻率的 值。因此，幅頻特性曲線就是一種響應(yīng)譜。,6.3 響應(yīng)譜,Mechanical and Structural Vibration,現(xiàn)以前例中，在矩形脈沖 作用下的系統(tǒng)為例，說(shuō)明響應(yīng)譜的概念。,當(dāng) 時(shí),其中 ，表示靜力F0使彈簧產(chǎn)生的變形。,當(dāng) 時(shí),在此階段，物體作自由振動(dòng)，振幅為,6.3響應(yīng)譜,Mechanical