線面垂直、面面垂直知識點總結(jié)、經(jīng)典例題和解析、高考題練習和答案

1、. 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【考綱說明】1、能夠認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理。2、能夠運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題?！局R梳理】一、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1、 直線與平面垂直（1）定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。（2）判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。結(jié)論：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，記作.（3）性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的

2、兩條直線平行。即.由定義知：直線垂直于平面內(nèi)的任意直線。2、 直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，該直線與平面所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則此直線與平面所成的角是的角。3、 二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如果記棱為，那么兩個面分別為的二面角記作.在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則兩射線所構(gòu)成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范圍：. 二、平面與平面垂直的

3、判定與性質(zhì)1、定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面垂直.2、判定：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。簡述為“線面垂直，則面面垂直”，記作.3、性質(zhì)：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直，記作.【經(jīng)典例題】【例1】（2012浙江文）設(shè)是直線,a,是兩個不同的平面（）A若a,則aB若a,則a C若a,a,則D若a, a,則【答案】B 【解析】利用排除法可得選項B是正確的,a,則a.如選項A:a,時, a或a;選項C:若a,a,或;選項D:若若a, a,或. 【例2】（2012四川文）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面

4、所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行【答案】C 【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 【例3】（2012山東）已知直線m、n及平面，其中mn，那么在平面內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：一條直線；一個平面；

5、一個點；空集其中正確的是 （）A BC D【答案】C【解析】如圖1，當直線m或直線n在平面內(nèi)時有可能沒有符合題意的點；如圖2，直線m、n到已知平面的距離相等且所在平面與已知平面垂直，則已知平面為符合題意的點；如圖3，直線m、n所在平面與已知平面平行，則符合題意的點為一條直線，從而選C. 【例4】（2012四川理）如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是_.【答案】90 【解析】方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90 方法二:以D為原點,分別以DA, DC, DD1為x,

6、y, z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos = 0,故DND1M,所以夾角為90 【例5】（2012大綱理）三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.【答案】 【解析】設(shè)該三棱柱的邊長為1,依題意有,則 而 【例6】（2011福建）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_ 【答案】【解析】EF面AB1C，EFAC.又E是AD的中點，F(xiàn)是DC的中點EFAC. 【例7】（2012年山東文

7、）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.（1）求證:;（2）若,M為線段AE的中點,求證:平面.【解析】（1）設(shè)中點為O,連接OC,OE,則由知, 又已知,所以平面OCE. 所以,即OE是BD的垂直平分線,所以. （2）取AB中點N,連接,M是AE的中點, 是等邊三角形,.由BCD=120知,CBD=30, 所以ABC=60+30=90,即,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,又DM 平面MND,故DM平面BEC. 另證:延長相交于點,連接EF.因為CB=CD,. 因為為正三角形,所以,則, 所以,又, 所以D是線段AF的中點,連接DM, 又由點M是線段AE的中點知, 而平面BEC, 平面

8、BEC,故DM平面BEC. 【例8】（2011天津）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形ADC45，ADAC1，O為AC的中點，PO平面ABCD，PO2，M為PD的中點 （1）證明：PB平面ACM； （2）證明：AD平面PAC；（3）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值【解析】（1）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點又M為PD的中點，所以PBMO.因為PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.（2）證明：因為ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC，又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而A

9、CPOO，所以AD平面PAC.（3）取DO中點N，連接MN，AN.因為M為PD的中點，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在RtDAO中，AD1，AO，所以DO，從而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.【例9】（2012湖南文）如圖，在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.（1）證明:BDPC;（2）若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30,求四棱錐P-ABCD的體積. 【解析】（1）因為 又是平面PAC內(nèi)的兩條

10、相較直線,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. （2）設(shè)AC和BD相交于點O,連接PO,由()知,BD平面PAC, 所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因為四邊形ABCD為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱錐的體積為. 【例10】（2012新課標理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點,（1）證明:（2）求二面角的大小.【解析】（1）在中, 得: 同理: 得:面 （2）面 取的中點,過點作于點,連接 ,面面面 得:點與點重合 且是二面角的平面角

11、 設(shè),則, 既二面角的大小為 【課堂練習】（2012浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻著，在翻著過程中（）A存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直 B存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直 C存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直 D對任意位置,三直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直（2012四川理）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直

12、于第三個平面,則這兩個平面平行3（2011重慶）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點()A只有1個B恰有3個C恰有4個 D有無窮多個4（2012上海）已知空間三條直線l，m，n若l與m異面,且l與n異面,則 （）Am與n異面.Bm與n相交.Cm與n平行.Dm與n異面、相交、平行均有可能.5（2011煙臺）已知m，n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中正確命題的個數(shù)為()A1 B2C3 D46（2011濰坊）已知m、n是兩條不同的直線，、是三個不同的平面，則下列命題正確的是()A若，則B若mn，m，

13、n，則C若mn，m，則nD若n，n，則7.（2010全國卷文）直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D908.（2010全國卷）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（ ）A B C D9.（2010全國卷理）已知正四棱錐中，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（ ）A1 B C2 D310.（2010全國卷）已知在半徑為2的球面上有ABCD四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）A B C D 11.（2010江西理）過正方體的頂點A作直線L，使L與棱，所成的角都相等，這樣的直線L可以作（ ）A1條 B2條 C3條 D4條12.（

14、2012大綱）已知正方形中,分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為_ _.13.（2010上海文）已知四棱椎的底面是邊長為6 的正方形，側(cè)棱底面，且，則該四棱椎的體積是 .14.（2010四川卷）如圖，二面角的大小是60，線段.，與所成的角為30.則與平面所成的角的正弦值是 . A DB CA1 D1B1 C1E15.（江西卷文）長方體的頂點均在同一個球面上， ，則，兩點間的球面距離為 16.（2010湖南理）如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點。（1）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；（2）在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F/平面A1BE？

15、證明你的結(jié)論。17.（2012四川文）如圖,在三棱錐中,點在平面內(nèi)的射影在上.（1）求直線與平面所成的角的大小;（2）求二面角的大小. 18.（2012陜西文）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=（1）證明;（2）已知AB=2,BC=,求三棱錐的體積. 19.（2012課標文）如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.（1）證明:平面平面（2）平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.20.（2012福建文）如圖,在長方體中,為棱上的一點.（1）求三棱錐的體積;（2）當取得最小值時,求證:平面.【課后作業(yè)】1.（2012大綱全國）已知

16、正四棱柱中，為的中點，則直線與 平面的距離為（ ）A2 B. C. D. 12.（2010湖北文）用、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確的是（ ）ABCD3（2011日照）若l、m、n為直線，、為平面，則下列命題中為真命題的是()A若m，m，則B若m，n，則mnC若，則D若，l，則l4（2011山東）正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1、AB的中點，則EF與對角面BDD1B1所成角的度數(shù)是()A30 B45C60 D1505.（2010全國卷）已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正

17、弦值為（ ）A B C D6.（2010重慶卷理）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（ ）A直線 B橢圓 C拋物線 D雙曲線7.（2009四川）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. 直線 D. 直線所成的角為458.（2008海南寧夏）已知平面平面，= l，點A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC9.（2007江蘇）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題： 其中正確命題的序號是（ ）A B C D10.（2

18、011全國）已知直二面角，點C為垂足，為垂足，若，則D到平面ABC的距離等于 （ ）A B. C. D. 111.（2009浙江）設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ）A若，則 B若，則 C若，則 D若，則 12.（2010上海）各棱長為1的正四棱錐的體積V=_。13下面給出四個命題：若平面平面，AB，CD是夾在，間的線段，若ABCD，則ABCD；a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線過空間任一點，可以做兩條直線和已知平面垂直；平面平面，P，PQ，則PQ；其中正確的命題是_(只填命題號) .14.（2009江蘇）設(shè)和為不重合的兩個平面，給出下列命題： （1）

19、若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）. w.15已知，是三個不同的平面，命題“，且”是真命題，如果把，中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有_個 16（2012重慶文）已知直三棱柱中,為的中點.（1）求異面直線和的距離;（2）若,求二面角的平面角的余弦值.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F117. （2009山東）如圖，在直四

20、棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分別是棱AD、AA的中點. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 設(shè)F是棱AB的中點,證明：直線EE/平面FCC；（2） 證明:平面D1AC平面BB1C1C.ABCMPD18（2008山東）如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知，（）設(shè)是上的一點，證明：平面平面；（）求四棱錐的體積19（2011北京）如圖，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點（1）求證：DE平面BCP；（2）求證：四邊形DEFG為矩形；（3）是否

21、存在點Q，到四面體PABC六條棱的中點的距離相等？說明理由20（2012天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.（1）證明丄;（2）求二面角的正弦值;（3）設(shè)E為棱上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.【參考答案】【課堂練習】1-11、BCDDB DCDABD 12、90 13、9614、15、16、17、,18、19、(1)設(shè)知BC,BCAC,面, 又面, 由題設(shè)知,=,即, 又, 面, 面, 面面; (2) 20、(1) (2) 將側(cè)面繞逆時針轉(zhuǎn)動90展開,與側(cè)面共面.當,M,C共線時, +MC取得最小值A(chǔ)D=CD=1 ,=2得M為的中點連接M在中,=MC=,=2, =+ , =90,CM, 平面,CM AMMC=C CM平面,同理可證AM 平面MAC 【課后作業(yè)】1-11、DCBAD DDDCCC 12、13、14、(1)(2)15、216、E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 17、（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4, CD