連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度ppt課件

1、一、概率密度的概念與性質(zhì),二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,三、小結(jié),第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,一、概率密度的概念與性質(zhì),1.概率密度函數(shù)的定義,存在,概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),2.概率密度函數(shù)的性質(zhì),反之，滿足（1）（2）的一個(gè)可積函數(shù)f(x)必是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，因此，常用這兩條性質(zhì)檢驗(yàn)f(x)是否為概率密度。 幾何意義：曲線y= f(x)與x 軸之間的面積等于1,同時(shí)得以下計(jì)算公式,幾何意義：X落在區(qū)間(x1，x2)的概率Px1Xx2等于區(qū)間(x1，x2)上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積,1,3概率密度f(x)與分布函數(shù)F(x)

2、的關(guān)系 (1)若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為f(x)，那么它的分布函數(shù)為,2)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，那么它的概率密度為f(x)=F(x,注意,對(duì)于任意指定值 a,連續(xù)型隨機(jī)變量取 a的概,率等于零,即,證明,連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某區(qū)間的概率與端點(diǎn)無關(guān),注意,若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,X=a 是不可,能事件,則有,連 續(xù) 型,若 X 為離散型隨機(jī)變量,離 散 型,例1,其他,3) 求,解,得,解得,其他,其他,3,即,練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度,1)試確定常數(shù)k，(2)求F(x)，(3)并求PX0.1,解: (1) 由于 , 解得k=3,于是X的概率密度為,2,例2 確定常

3、數(shù)A，B使得函數(shù),為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù),并求出X的概率密度,解: 由分布函數(shù)的性質(zhì)知,又由連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的連續(xù)性知F(x)在x=0處有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2. 于是X的分布函數(shù)為,X的概率密度為,所以B=1,二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布,一)均勻分布,其他,概率密度函數(shù)圖形,分布函數(shù),均勻分布的意義,例3 長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率,解：設(shè)A為乘客候車時(shí)間超過10分鐘，X為乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá),例4 設(shè)隨機(jī)變量X 服從區(qū)間-3，

4、6上的均勻分布，試求關(guān)于t 的方程,有實(shí)根的概率,解：隨機(jī)變量 的概率密度為,方程有實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng),即,解得,是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為,二) 指數(shù)分布,其他,記作,的指數(shù)分布,隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布,應(yīng)用與背景,例6 電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少,解,有,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性,該性質(zhì)稱為無記憶性,的壽命,那么上式表明,與從開,這,就是說,練習(xí) 設(shè)打一次電話所用

5、時(shí)間X （單位：分鐘）是以1/10 為參數(shù)的指數(shù)型隨機(jī)變量. 如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間，求你需要等待10分鐘到20分鐘之間的概率,解：依題意，可知X 的密度函數(shù)為,令A(yù)=某人等待時(shí)間為10到20分鐘 ，則,三）正態(tài)分布,正態(tài)分布的概率密度函數(shù),正態(tài)分布,性質(zhì),有,軸平移,而不改變其形狀,可見正態(tài)分布的概率密,為位置參數(shù),稱軸不變,而形狀在改變,圖形越高越瘦,圖形越矮越胖,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測(cè),量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等,正常,情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸,直徑,長(zhǎng)度,重量高度,等都近似服從正態(tài)分布,即有,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形,性質(zhì),證明,解

6、,例7,證,得,則,由此知,定理1,正態(tài)分布的計(jì)算,原函數(shù)不是,初等函數(shù),轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算,有,例8 設(shè)X N(1.5，22)，求P-1X2。 解,查表得：(3-c)/2=0.43, 即c=2.14,例9 設(shè)XN(3,4)，求數(shù)c，使得 PXc=2PXc. 解,從而,PXc=1-PXc,2PXc,因此，PXc=1/3,1/3,例10,將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的,容器內(nèi),是一個(gè)隨機(jī)變量,2) 若要求保持液體的溫度至少,解,1) 所求概率為,即,亦即,故需,例11,說明：X N(, 2)落在(-3, +3)內(nèi)的概率為0.9974, 這一事實(shí)稱為“3規(guī)則”,2）P|X-|2,3）P|X-|3,2(2)-1=0.9544,2(3)-1=0.9974,20.8413-1,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,的定義,三、小結(jié),2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景, 是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)