北京市海淀區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含答案

1、2 2a3海淀區(qū)高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí) 數(shù) 學(xué)2020. 01本試卷共 4 頁(yè)，150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作 答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題 共 40 分）一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。（1）已知集合 u =1,2,3, 4,5, 6，a =1,3,5，b =2,3,4，則集合a i bu是（a）1,3,5, 6（b）1,3,5（c）1,3（d）1,5（2）拋物線 y2=4 x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（a）(0,1)（b）(1，0)（c）(0, -1

2、)（d）( -1,0)（3）下列直線與圓 ( x -1) +( y -1)=2 相切的是（a）y =-x（b）y =x（c）y =-2x（d）y =2 x（4）已知 a , b r ，且 a b，則（a）1asin b1 1 （c） ( ) b 21 （5）在 ( x - )x5的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為（a）- 5（b）5（c）- 10（d）10（6）已知平面向量 a , b, c滿足a +b+c=0，且 | a |=|b |=|c |=1 ，則 a b的值為（a） -12（b）12（c） -32（d）32（7）已知 a , b ,g是三個(gè)不同的平面，且ai g=m ， bi g=n，則“ m

3、n ”是“ a b”的（a）充分而不必要條件（c）充分必要條件（b）必要而不充分條件（d）既不充分也不必要條件（8）已知等邊 abc 邊長(zhǎng)為 3. 點(diǎn) d 在 bc 邊上，且 bd cd ， ad = 7 . 下列結(jié)論中錯(cuò)誤 的是bb （a） =2cc（b）ssdabddacd=2cos bad（c）cos cad=2（d）sin badsin cad=2- 1 -（9）聲音的等級(jí) f ( x )（單位：db）與聲音強(qiáng)度 x （單位：w/m 2 ）滿足 f ( x ) =10 lgx110-12.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為 140db；一般說(shuō)話時(shí)，聲音的等級(jí)約為 60db，那么 噴氣式飛

4、機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度的（a） 106 倍 （b） 108 倍 （c） 1010 倍 （d） 1012 倍（10）若點(diǎn) n 為點(diǎn) m 在平面 a 上的正投影，則記 n = f ( m ) . 如a圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 abcd - a b c d 中，記平面1 1 1 1ab c d 為 b ，平面 abcd 為 g ，點(diǎn) p 是棱 cc 上一動(dòng)點(diǎn)（與 1 1 1a1d1b1c1c ， c不重合），q = f f ( p) 1 g b1列三個(gè)結(jié)論：，q = f f ( p )2 b g. 給出下dpc線段 pq21 2長(zhǎng)度的取值范圍是 , )2 2；a b存在點(diǎn) p 使得

5、 pq 平面 b ；1存在點(diǎn) p 使得 pq pq1 2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（a） （b） （c） （d）第二部分（非選擇題 共 110 分）二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。（11）在等差數(shù)列a中， a =5 n 2， a =25，則 a =7_.（12）若復(fù)數(shù) z =1 + ii，則 | z | =_.（13）已知點(diǎn) a(0, 3)，點(diǎn) b ,c 分別為雙曲線xa22-y 23=1 ( a 0)的左、右頂點(diǎn). 若abc為正三角形，則該雙曲線的離心率為_(kāi).（14）已知函數(shù) f ( x ) =x +ax在區(qū)間 (1,4)上存在最小值，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_.（15

6、）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)f ( x) =a sin(wx +j)的圖象時(shí)，列表如下：- 2 -4 4 2 2x-1412542114wx +jf ( x )00p22p03p2-22 p0則 f (-1) =1_， f (0) + f ( - ) =2_.（16）已知曲線 c： x +y +mx y =1 （i）給出下列結(jié)論：曲線 c 為中心對(duì)稱圖形； 曲線 c 為軸對(duì)稱圖形；（ m為常數(shù)）.當(dāng) m =-1時(shí)，若點(diǎn) p ( x, y )在曲線 c上，則 | x |1或 | y |1.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .（ii）當(dāng) m -2時(shí)，若曲線 c所圍成的區(qū)域的面積小于 p，則 m的值可以是.（寫(xiě)出

7、一個(gè)即可）三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。 （17）（本小題共 13 分）已知函數(shù) f ( x) =cos2 x + 3 sin x cos x -12.（）求函數(shù)f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若f ( x)在區(qū)間 0, m 上的最大值為1，求 m 的最小值.（18）（本小題共 13 分）平面 abc abc 和如圖，在三棱錐 v -abc 中，平面vac vac 均是等腰直角三角形， ab =bc ， ac =cv =2， m ， n分別為 va , vb的中點(diǎn).mnv（）求證： ab/ 平面 cmn ；ac；（）求證： ab vc（）求直線

8、 vb 與平面 cmn（19）（本小題共 13 分）所成角的正弦值.b某市城市總體規(guī)劃（20162035 年）提出到 2035 年實(shí)現(xiàn)“15 分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購(gòu)物、休閑與健身 4 個(gè)方面構(gòu)建 “15 分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“15 分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分- 3 -為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為 0.61）、良好小區(qū)（指數(shù)為 0.40.6）、中等小區(qū)（指數(shù)為 0.20.4）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為 0 0.2）4 個(gè)等級(jí). 下面是三個(gè)小區(qū) 4 個(gè)方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù)： 小區(qū)指標(biāo)值a 小區(qū)b 小區(qū)c 小區(qū)權(quán)重教育與文化（0.20） 醫(yī)療與養(yǎng)老（0

9、.20） 交通與購(gòu)物（0.32） 休閑與健身（0.28）0.70.70.50.50.90.60.70.60.10.30.20.1注 ： 每 個(gè) 小 區(qū) “15 分 鐘 社 區(qū) 生 活 圈 ” 指 數(shù) t =wt +w t +w t +w t1 1 2 2 3 3 4 4， 其 中w , w , w , w 1 2 3 4為該小區(qū)四個(gè)方面的權(quán)重， t , t , t , t 為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值（小區(qū)1 2 3 4每一個(gè)方面的指標(biāo)值為 01 之間的一個(gè)數(shù)值）.現(xiàn)有 100 個(gè)小區(qū)的“15 分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)0,0.2）100.2,0.4）200.4,0

10、.6）300.6,0.8）300.8,110（）分別判斷 a，b，c 三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說(shuō)明理由；（）對(duì)這 100 個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取 10 個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的 10 個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取 2 個(gè)小區(qū)做深入 調(diào)查，記這 2 個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)為 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.（20）（本小題共 14 分）已知橢圓 c :x2 y 2+ =1 ( a b 0) 的右頂點(diǎn) a2 b2a (2,0)3，且離心率為 2（）求橢圓 c 的方程；（）設(shè) o 為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) o 的直線 l與橢圓 c 交于兩點(diǎn) p ， q ，直線 ap 和 a

11、q 分別與直線 x =4 交于點(diǎn) m , n 求 apq 與 amn 面積之和的最小值.（21）（本小題共 13 分）已知函數(shù) f ( x) =ex (ax 2+1)(a 0) .（）求曲線y = f ( x) 在點(diǎn) (0, f (0) 處的切線方程；（）若函數(shù) f ( x)有極小值，求證： f ( x)的極小值小于 1 .- 4 -（22）（本小題共 14 分）給定整數(shù) n ( n 2) ，數(shù)列 a ：x , x , l , x2 n +1 1 2 2 n +1每項(xiàng)均為整數(shù)，在 a2 n +1中去掉一項(xiàng) xk,并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為 m

12、 ( k =1,2, l , 2 n +1) . 將 m , m , l , m k 1 2 2 n +1中的最小值稱為數(shù)列 a2 n +1的特征值.（）已知數(shù)列 a :1, 2,3,3,3，寫(xiě)出 m , m , m 的值及 a的特征值；51235（）若 x x l x，當(dāng)i -(n +1) j -(n +1) 0 ，其中 i, j 1,2,l ,2 n +1且122 n +1i j時(shí)，判斷 | m -m |與 | x -x |的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；i（）已知數(shù)列 a2 n +1ijj的特征值為 n -1，求| x -x | i j的最小值.1i2均可三、解答題共 6 小題，共 80 分。解

13、答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。（17）解：（）f ( x ) =1 +cos 2 x 3 1 + sin 2 x -2 2 23 1sin 2 x + cos 2 x2 2=sin(2 x + )6.因?yàn)?y =sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k - , 2k + ( k z) 2 2 ，令2 x + 2 k - , 2 k + ( k z ) 6 2 2 ，得x k - , k + ( k z ) 3 6 .所以 f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為k - , k + ( k z ) 3 6 .（）方法 1：因?yàn)?x 0, m ，所以2 x + ,2 m + 6 6 6.- 6 -（）又因?yàn)?

14、x 0, m ， f ( x ) 2m +所以.6 2m 解得.6所以 m 的最小值為.6=sin(2 x +6)的最大值為 1，方法 2：由（）知：當(dāng)且僅當(dāng)x =k +6( k z )時(shí)， f ( x )取得最大值 1.因?yàn)閒 ( x)在區(qū)間 0, m 上的最大值為 1，所以m 6.所以m的最小值為6.（18）解：（） vab 中，m，n 分別為 va，vb 的中點(diǎn)， 所以 mn 為中位線.mn / ab所以.又因?yàn)?ab 平面 cmn ，mn 平面 cmn ， 所以 ab/ 平面 cmn .（）在等腰直角三角 vac 中， ac =cv ,mnzv所以vc ac.xac因?yàn)槠矫?vac 平

15、面 abc ，平面vaci 平面 abc =ac ， vc 平面 vac，所以 vc 平面 abc .bhy又因?yàn)閍b 平面abc，所以 ab vc .在平面 abc 內(nèi)過(guò)點(diǎn) c 做 ch垂直于 ac，由（）知， vc 平面 abc ， 因?yàn)?ch 平面 abc ， 所以 vc ch .如圖,以 c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系c -xyz.- 7 -， ，1 11 1則 c (0,0,0) v (0,0, 2) b (1,1,0) m (1,0,1) ， n ( ,2 2uur uuuur uuurvb =(1,1,-2) ， cm =(1,0,1) ， cn =( , ,1) .2 2,1).設(shè)

16、平面cmn的法向量為 n =( x, y , z ) ，則uuuurn cm =0, uuurn cn =0.x +z =0,即 1 1x + y +z =0. 2 2令x =1則y =1， z =-1,所以 n =(1,1, -1).直線vb與平面cmn 所成角大小為 q，uursin q =|cos |=uurn vb 2 2uur =| n | vb | 3.所以直線 vb 與平面 cmn 所成角的正弦值為 （19）解：（）方法 1:2 23.a 小區(qū)的指數(shù) t =0.7 0.2 +0.7 0.2 +0.5 0.32 +0.5 0.28 =0.58，0.58 0.60,所以 b 小區(qū)是優(yōu)

17、質(zhì)小區(qū);c 小區(qū)的指數(shù) t =0.1 0.2 +0.3 0.2 +0.2 0.32 +0.1 0.28 =0.172，0.172 0.60,所以 c 小區(qū)不是優(yōu)質(zhì)小區(qū).方法 2:a 小區(qū)的指數(shù) t =0.7 0.2 +0.7 0.2 +0.5 0.32 +0.5 0.28 =0.580.58 0.6 0.2 +0.6 0.2 +0.6 0.32 +0.6 0.28 =0.6b 小區(qū)是優(yōu)質(zhì)小區(qū);c 小區(qū)的指數(shù) t =0.1 0.2 +0.3 0.2 +0.2 0.32 +0.1 0.28- 8 -.b 0).所以橢圓 c 的方程為x 24+y2=1.（）設(shè)點(diǎn)q( x , y ) 0 0，依題意，

18、點(diǎn) p 坐標(biāo)為 ( -x , -y )0 0，- 9 -p qm n0000滿足x 20 +y402=1（ -2 x 2 且 y 0 ）,0 0直線 qa 的方程為yy = 0 ( x -2) x -20令 x =4，得2 yy = 0x -20，即2 yn (4, 0 )x -20.直線 pa 的方程為 y =y 2 y 0 ( x -2) ，同理可得 m (4, 0 ) .x +2 x +2 0 0設(shè) b 為 x =4 與 x 軸的交點(diǎn).sdapq+sdamn1 1= |oa | |y -y | + |ab | |y -y | 2 21 1 2 y 2 y = 2| 2 y | + 2|

19、0 - 02 2 x -2 x +20 0|=2 | y | +2 | y | | 0 01 1- | x -2 x +20 0又因?yàn)閤 20=2 | y | +2 | y | | 0 0+4 y=4， y 0 , 2004x 2 -40|.所以sdapq+sdamn1 2=2|y | +2 | y | =2| y | + 4y 2 | y | 0 0.當(dāng)且僅當(dāng)y =10取等號(hào)，所以sdapq+sdamn的最小值為 4 .（21）解：（）由已知得 f (x) =e x ( ax 2 +2 ax +1)，因?yàn)?f (0) =1， f (0) =1，所以直線l的方程為 y = x +1.（）（i）

20、當(dāng) 0 1 時(shí),一元二次方程 ax2+2ax +1 =0 的判別式 d=4a(a -1) 0 ，記x , x1 2是方程的兩個(gè)根，不妨設(shè)x x1 2.則x +x =-20. a所以x x 0 1 2.此時(shí) fxf(x)(x) ， f ( x)( - ? , x )1+隨x的變化如下： x( x , x )11 2-0x20( x , +? ) 2+f ( x)所以 f ( x )極大值f ( x )的極小值為2.極小值又因?yàn)?f ( x )在 x ,02單調(diào)遞增，所以f ( x ) f (0) =1 2.所以 f ( x )22. 解：（）由題知：的極小值為小于1 .m =(3 +3) -(2

21、 +3) =1 1m =(3 +3) -(3 +1) =2 2;m =33.a5的特征值為 1.（）| m -m | = | x -x | i j i j.理由如下：由于i -(n +1) j -(n +1) 0，可分下列兩種情況討論：當(dāng)i, j 1,2,l , n +1時(shí)，根據(jù)定義可知：m =( x i 2 n +1+x +l +x 2 n n+2) -( xn +1+x +l +x -x ) n 1 i- 11 -=( x2 n +1+x +l +x 2 n n +2) -( xn +1+x +l +x ) +x n 1 i同理可得：m =( x j 2 n +1+x +l +x 2 n

22、n +2) -( xn +1+x +l +x ) +x n 1j所以m -m =x -x i j ij.所以| m -m |=| x -x | i j i j.當(dāng)i, j n +1,n +2,l ,2 n +1時(shí)，同理可得：m =( x i 2 n+1+x +l +x 2 n n +1-x ) -( x +x i n n -1+l +x ) 1=( x2 n+1m =( x j 2 n +1+x +l +x ) -( x +x 2 n n +1 n n-1+x +l +x ) -( x +x 2 n n +1 n n -1+l +x ) -x 1 i+l +x ) -x 1j所以m -m =x

23、 -x i j j i.所以| m -m | = | x -x | i j i j.綜上有：| m -m | = | x -x | i j i j.（）不妨設(shè)x x l x 1 2 2 n +1| x -x |i j，1ij 2n +1=2nx2 n +1+(2 n -2) x +l +2 x2 n n+2+0 xn +1-2 x -l -2nx n 1=2n( x 2 n +1-x ) +(2 n -2)( x -x ) +l +2( x 1 2 n 2 n +2-x )n，顯然，x2 n +1-x x -x l x 1 2 n 2 n +2-xn，x2 n +1+x +l +x 2 n n +2-( x +x n n -1+l +x ) 1( xn+1+l +x ) -( x +x +l +x ) =m 2 n 1 2 n 2 n+1.當(dāng)且僅當(dāng)xn +1