泰勒公式在證明不等式中幾個運用

1、 泰勒公式在證明不等式中的幾個應(yīng)用 摘 要：泰勒公式作為一種重要的數(shù)學工具，無論對科研還是在證明、計算等方面，它都起著很重要的作用。特別在高等數(shù)學范疇內(nèi)，靈活運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮等是解決不等式證明問題的常用方法與思想。本文主要通過對各類典型不等式證明問題的分析處理，歸納了用泰勒公式來證明有關(guān)定積分不等式問題、含有初等函數(shù)與冪函數(shù)的不等式和一般不等式問題，以及泰勒公式在一元函數(shù)、二元函數(shù)不等式中的推廣、證明與應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：泰勒公式；偏導(dǎo)數(shù)；不等式 引言 泰勒公式是高等數(shù)學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數(shù)學的始終。n次多項式,去逼近一個已知的函數(shù)泰勒公式的重

2、點就在于使用一個)xp(nn?xfxf，的而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點具有相同的直到階x)(xpn1?3.所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學中的“逼近”這一思想精髓。導(dǎo)數(shù)泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了。但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用.文獻3-6介紹了運用泰勒公式，對不等式問題進行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想.本文擬在前面文獻研究的基礎(chǔ)上通過舉例歸納，總結(jié)泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用方法. 1 泰勒公式知識的回顧： ?1xxf處的某鄰域內(nèi)具有 設(shè)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)，在點則對該鄰域內(nèi)異于定

3、理11n?0?xx，使得： 與之間至少存在一點的任意點，在xx00?nxfxf00?n2xfxxxffR)-x(x(x-x)+ + +，=)x(x-?00000 n2!n!?1)(n?f?xR稱為余項，上式稱為階泰勒公式；其中 n? n(n?1)!x0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，若 ?0?n0f0f?nn20xff)(xxxxf0+即. += ?0 2!n2 泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用 不等式是高等數(shù)學和近代數(shù)學分析的重要內(nèi)容之一，它反映了各變量之間很重要的一種關(guān)系即他們之間的大小關(guān)系。不等式的內(nèi)容也極其豐富，證明方法很多，而泰勒公式在證明不等式問題中起著舉足輕重的作用。 2.1 泰

4、勒公式在證明有關(guān)定積分不等式問題的應(yīng)用 1 對于被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)可導(dǎo)，且又知最高階數(shù)符號的命題.x?dft在所需點處x，將F通過作輔助函數(shù)F（一般根據(jù)右邊表達式確x?ta?xf的泰勒展式，然后根據(jù)題意對展開式定展開點）進行泰勒展開或直接寫出（余項）作適當處理（一般是利用介值定理或放縮技巧）。 ?2 xaf,xbf例10 設(shè)在， 上單調(diào)增加，且?baff?b?dxfxab?. ：證明 2a?xxff0題設(shè)條件告知，由于高階導(dǎo)數(shù)的存在，提示我們嘗試二階可導(dǎo)且?bfaxff，我們不使用泰勒公式.因為不等式左邊被積函數(shù)是、，右邊有?tbfa,t在點x妨對，將處展開為泰勒公式，再令，進而找

5、出b?a,tt?xfbaff的關(guān)系與. 、?tbfa,t在點證明 對處的一階泰勒展開式為：, x?f2?xxxffttf-t與+之間，在，其中 =xxt- 2!?xtffxxft-f + 0, 將，分別代入1并相加，得 b?,tt?a?xfxfxa?bfb?aff +x22?ba,上積分，則 對2的兩邊在bbb?dxxdxffxxxfb?ab?a +dxba?ff22?aaabb? ?b? xf?ba? +22a?bb?bffa?dxfxdx?xfxfx?a?a?aab?dxfxa?b? bfa?f42?a?bffa?b?dxxfab?. 故 2a 在證明有關(guān)定積分不等式問題時，有時還需構(gòu)造函

6、數(shù)，然后通過泰勒公式與介值定理的結(jié)合使用，可以在不等式證明問題中達到事半功倍結(jié)果明朗化的效果. 2 ?3xfba,，則在該區(qū)間上存在一例上二階連續(xù)可微，其中在2 設(shè)ab0?，使得： 個11b?3232?dxfx. +=)faabaf-fb(b)(b)aafbf 2!3!a?fxf，提示可用泰勒公式證明題設(shè)條件告知二階可微，且題中含有. x?dtf注意證明xF展開為二階泰勒公式，可構(gòu)造函數(shù)又因為含有f?ta. 過程中與介值定理的結(jié)合使用x?xFdftx?t (，將F)x證明 令處展成二階泰勒公式：在 tab?ta1123?t?Fxx+在與之間，, txt?tx?x)tF(FF(F(t)()t)?

7、 2!3!1132?tx?tfFfxft 即3+ txt?x?)F(t? 2!3!at? 令3可得：,則有0?x113?2?fffaaa 4（-）+aa?)F(0)F(a?1 2!3! 得34?abfFabafFb?11?3223? -faf?bfb?afab?12 2!3!?ffff, 令, ,maxM?m?min2112?30a?a 并且?0?333333?b,xaffb?faa?b上連), (則有因為在a?mbM12?33?fabf?12?f，使得 續(xù)，由介值定理知存在? 33a?b11b?3322?dxxf)f-fabaafb(b+=所以. )ab)af(bf( 2!3!a同樣在證明某

8、一 泰勒公式不但在證明連續(xù)函數(shù)的不等式問題中起重要作用，. 定點的不等式問題中也發(fā)揮著很大作用 f(x)在，上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件設(shè)其中函數(shù)，1例34 a0)(fx cf)(c)f(x）上任意一點，試證明：是（，1都是非負數(shù)，其中a0bbb?2a. 2 3 . 在的一階泰勒公式，1具有二階導(dǎo)數(shù)，可考慮利用由于在cx?0)f(f(x)x:的一階泰勒公式，1上具有二階導(dǎo)數(shù)，在證明 由于在0c?x)xff(x)( ?)f(2 )cx)?(?(x)f(c)?f(c)(x?cf 2!?c ,0其中，1+)?c(x?)f(2?1c:=,則有在1) 中令 (x?c)f(c)(0?(0)f(0?c)?f(

9、c)?00 12!?)f(2?2c1) 中令=1，則有: (在x)cc()?f(c)(1?c)?(1?f(1)?f0 22!122? 將上述兩式相減,得c()?)f()(1?c)?f(f(1)?f(0)?fc? 122! 122? c)?ff()(1?f(c)?f(1)?f(0)?c于是? 122!b112222? ， ?aa?(1?c)?cf()c)f(1)?f(0)?)(1?cf(? 1222222(0,1)?c， 又因， c?(1?c)1b f(c)故 . 2a? 2我們可 從上述幾例可以看出，使用泰勒公式去證明關(guān)于定積分不等式問題， 以遵循以下幾個步驟：高階（二階及二階以上）導(dǎo)數(shù)的存在

10、是提示使用泰勒公式最明顯的特征之1 一；xx處的泰勒公式； ，然后寫出，選一個展開點（2）找一個函數(shù)在)f(fx)x00?(a,b) 進行放縮或或與介值定理結(jié)合使用（3）對. 2.2 泰勒公式在證明關(guān)于初等函數(shù)和冪函數(shù)不等式中的應(yīng)用 對于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時的麥克勞林展開式，選取適當?shù)幕竞瘮?shù)0x?0麥克勞林的的展開式，對題目進行分析、取材、構(gòu)造利用. 131xx?證明不等式：. 例4 xsin 6 不等式左邊是三次二項式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關(guān)系 。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進行比

11、較0x?xsin0判斷兩者的大小關(guān)系。 1132x1?cosx?)xsin?x?xf(x?xf()?, 證明, 0(0)f?0?f(0) 62? ,1cos?1x?)(?xx?)(fx?sin?f(0)0fx?cos?f()? 4 133? 時，的泰勒展式為：當)o(?x)xx)?0?0?0?(1?cosxf()(xf3n? 3!133?1) ,00 (0, ?)(x)xx?o(1?cosxxf(x)? 613. 所以0,，有xx?xxsin 6它們之間沒有明顯的大 在含有無理函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明問題中，我們很難比較它們之小關(guān)系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等）. 間的大小關(guān)

12、系，但這時用泰勒公式卻能輕易解答2xx 1x?1?1. ）例5 證明不等式：0，（x 82對于此題，若我們對不等式兩邊同時平方，雖可以去掉根號，但的次數(shù)卻提高x了次，這還是難以比較他們之間的大小關(guān)系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答. 2111? f(x)?(1?x), , 設(shè)，則證明?f(0)1f(0)?x?1f(x)2 2235131? f(x)?(1(1?x)?x)(fx)? ,?f(0)22 484x=0的二階泰勒公式，有代入 052x1x? 3 ?x1?xx)(1?1) (0=1+- +3 816251? 3?)?x(1x 0, 0 x3 162xx 1?x?1（所以 x0）. 28 對

13、于含有超越函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明，由于我們接觸很少，看xln不出它們之間的大小關(guān)系，更不知如何去分析比較，但這時泰勒公式將是對付這類題的最有效武器. 2x?5-xx1?lnxx0. 例6 證明不等式：，其中 2?xfx1ln?,由一階麥克勞林公式知： 證明 令 ?111?2?x1ln?x) ，( + + x)(0,x?ln1? 2?)?(12!?10?xln?1所以x, 再有二階麥克勞林公式知： 5 11?111?32?xln?1xx +, 其中x+)?(0,xln1? 32?)0)(1(1?2!01?3!2x?-x ，從而 x1?ln 22x?-x. 0）故 ，（xln?1xx 2在不

14、等式的證明問題中，若題目中出現(xiàn)了一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)、 時的麥克三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結(jié)合時，可優(yōu)先考慮泰勒公式在x=00當然能做好此類題的前提條件是要對一些基本函數(shù)的麥克勞林表達勞林表達式。 式熟悉. 2.3 泰勒公式在證明一般不等式中的應(yīng)用具有二階和二階以上導(dǎo)數(shù)，且最高階導(dǎo)數(shù)的大小或 對題設(shè)條件中函數(shù))(xf 上下界可知的命題，我們一般通過以下三個步驟證明： 1寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒展開式；xx為恰當選擇等式兩邊與為最合適，（不要認為展開點一定以有時以2xx00 佳）；. 3根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小或邊界對展開式進行放大或縮小?8 )(xfa,b ，）內(nèi)可導(dǎo)，在例7

15、設(shè)，。且有M上連續(xù)，在（a0b)x)af(f(?2 b?dxx)f(. 試證：Ma2)(b?a. 題目已經(jīng)告知連續(xù)可導(dǎo)，且最高階導(dǎo)數(shù)有界，故可用泰勒公式證之 )f(x? ， 證明 由泰勒公式及，有0)?af()f(x(f(x)xf(af()a)? )xff(x)( ，可得，于是. 由于MM）（ ，ab)a(b?M1 b22bb? )xf()?a?a(b(xM Mdxdx)a(x? ?b?b? dx)f(xdxx)f( aaaaa222M bb2?dx)xf(f(x)dx)a?(b. ， 故即 M aa2)?ab(2 但有些題目卻從反方向來考查泰勒公式在證明一般不等式問題時，函數(shù)所具備的最高階導(dǎo)

16、數(shù)的有界性，即不給出最高階導(dǎo)數(shù)的邊界，讓我們通過題目條件去證明最高階導(dǎo)數(shù)的邊界. ?1b,a上存在二階導(dǎo)數(shù)，且8例，則在 證明：若函數(shù)在)(bf)(fa?0)x(f? 6 4? )f()a?f(f(b). （ ，使得）內(nèi)存在一點ab2)a(b?二階導(dǎo)數(shù)存在，欲證最高階導(dǎo)數(shù)有界，所以可用泰勒公式證題目告知函數(shù))f(x. 明ba?，和證明 將處展開一階泰勒公式，并利用分別在)f(a)ba)?f(f(0b? 2 有：?bb?aa?af)b(?12? +, ，(f)()a)(af?1 22!22?bb?aa?a)(fb?22? , , +)(f()a)bf(?2 22!22 ，得：6由72)a(b?)

17、?ff(? )(bf(a)?f0?21 88?)?f(af(b)? )f(f(?)?21 2)?a(b? )(f)(f)f( ,令則：,max?122)b?a(? )ff(b)?(a)ff(?)f( 21284? )f(f(b)?f(a). 故有 2(b?a) 從上述幾例我們可以看出，若欲證明的不等式或題設(shè)中，含有一階以上的導(dǎo)數(shù)時，一般用泰勒公式證明比較方便. 3 泰勒展開式在一元函數(shù)、二元函數(shù)不等式中的推廣應(yīng)用與證明 泰勒展開式在一元函數(shù)、二元函數(shù)不等式中也扮演著重要角色，只要在)(xfx附近二階可導(dǎo)，那么泰勒展開式可以推廣為以下兩種類型： 0x附近二階可導(dǎo)，則 在點定理17 設(shè)函數(shù))xy?

18、f(0?xx(x)?f；1 若，具有 0)f)(f(x)x(fx000?x)?xxf(；2 若0，具有 )xf()xf()(fx000x時成立等號在. x?0 對于定理1的證明，利用一元函數(shù)的泰勒展開式，結(jié)論顯然成立。 7 . ，對下面兩個初等不等式作出證明下面我們利用定理1 8 nnnnnn22. ， 證明：設(shè)n，例9?nn?n?nNn?n?1n21?1n?11? nx?fx?fx?0x， ，則， 證明 設(shè)0)?(x?xfxnn nnn? nnnf 知：+，有定理1nfn?fn? nnnnf +n?fnnfn? 兩式相加即得結(jié)論。n?i?9?x ，2。，例10 設(shè)=1，2， ，niRx?i1

19、i?1?xxxxn321? + +求證：? ?2?xx?xx?n?1)(nn231?1?xx?x()?xf，),=(則證明 作函數(shù)，?xf?0?x 2?x?x?12?x)?(?x)?22(?1)xx?x? ，?xf 3?x?x?xx?n01xf?x ，有注意到,有0，利用定理1，取?x0? 0nx?x?x?x?xx?x?x?x?nn1121n22?xfxf +，? 11nnn?x?xx?x?x?x?x?x?x?n1nn21122?xfxf ，+? 22nnn? x?x?xxxx?x?xx?nnn211122?fxxf. +? nnnnn?. 以上式相加即得結(jié)論n我上述是泰勒公式展開式在一元函數(shù)

20、不等式中的應(yīng)用，當然對于二元函數(shù)， 們也有以下類似的定理：10 上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足：，在 若函數(shù)定理2D)?zf(x,y22222f?f?ff?0 ，0 222x?yx?y?x? 8 ? +則： ),yf(f(x,y)x)y,f(xyx?x?y000000 yx? 二元函數(shù)的泰勒公式：證明 2 ?1)y?(y?,y)?(x?x)?f(x,y)?(x?x)?(y?y)f(xyf(x,) 00000000 y2?x?x?y?1?),0),y?(y?y?f(x?x(x?000022222?f?f?ff? 0，因為0，? 222x?yx?y?y?222f?ff22?yy?2?x?xx?xy

21、?y所以 000022y?xx?y 222ff?f22? ，y2yx2?x?xxy?y? 000022y?x?x?y ?. +故有 )(x,y)f(x,yf),yf(xyy?x?x?000000 y?x11,x,?y中，若令可以很容易得到如下推論： 在定理2 00nn?yxkk1?k?1k D上具有連續(xù)的二階偏倒數(shù)，且滿足：，在推論 如果函數(shù))yx,z?f(22222f?f?ff?0 0， 222x?y?x?y?x?xxxyyy有 ， ，則對于D中的任意取值， ，y,x?n121n2nnn111?yf,x yxf,?kk 00nnn?k?111?k?kxxxyyy為正數(shù)，則有， ， ， ，為實

22、數(shù)，11 例設(shè)?n121n22?222x?x?x?xxx21nn12+ ? y?y?y?yyyn12n21222x2x22xx2x?f?f?,f?,，則設(shè)證明 ?fx,?f,?fyxxyxxyyy 232yyyyyy 9 2x22?fff?f?fxx , 所以且 ，滿足條件,00?xyyyxx xy y2y2? x?x?xn12?n2?222x?x?x?xxx?2n1n21 +? y?y?yyy?yyyyn21n12n21n在一般的含有字母或數(shù)字不等推論不但在證明函數(shù)不等式問題中可以使用, 然只是在證明的過程要構(gòu)造一個二元函數(shù),式的證明問題中也可以使用,)x,yf(. 后再利用推論, 且滿足為

23、正數(shù)12 設(shè),例cba,?abc11113 求證: + ?3332bb?ccbaa?ca?abcabc222cba，構(gòu)造與是上例相,右邊分子變換為證明 1=? cbca?acbc?baab?12? ，它滿足推論條件，于是有同函數(shù)yxf(,y)?x2?3?abcabc?313? ?2223， 左邊=cca?bab?bca? ?3abbc?ca2?222故此題得證. 利用上述兩個定理和推論，一般要構(gòu)造合適的一元函數(shù)或二元函數(shù))xf(，然后觀察所構(gòu)造的函數(shù)與題目中條件，是否滿足上述定理和推論所具)yx,f(備的條件. 結(jié)論 泰勒公式是高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容，它象一根絲線連接著高等數(shù)學的許多知識

24、版塊和知識點，且在許多方面有著廣泛的應(yīng)用。本文主要通過論述與舉例，闡述了如何靈活地運用泰勒公式，去解決一些不等式證明中用其它方法較難解決的問題。但在運用泰勒公式時需要注意一個問題是：將函數(shù)展開至多少項才可以呢？ 從上面所給的例題中不難看出，只要展開至比題目所給的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)少一次，然后根據(jù)題設(shè)條件恰當選擇展開點即可。由于本人知識掌握的還不夠全面系統(tǒng)，僅能總結(jié)歸納出以上幾個方面，在今后的學習與探討研究過程中，還可能會發(fā)現(xiàn)利用泰勒公式來解決其他典型不等式的例子。 10 參考文獻 1 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2001. 2 王三寶.泰勒公式的應(yīng)用例舉.高等函授學報（自然科學版），2005，19（3）：32. 3 徐香勤，張小勇.關(guān)于泰勒公式的幾點應(yīng)用J.河南教育學院學報（自然科學版），2005，14（2）：16-17. 4 孟趙玲，葉俠娟.證明不等式的六種方法J.北京印刷學院學報