數(shù)學(xué)建模A題第二問(wèn)

1、數(shù)學(xué)建模A題第二問(wèn)2021高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目（請(qǐng)先閱讀“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文格式規(guī)范”）A題 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略嫦娥三號(hào)于2021年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三 號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2. 4t,其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到 7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s,可以滿(mǎn)足 調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后, 能夠自動(dòng)通過(guò)多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為 19. 51W, 44. 1

2、2N,海拔為-2641m （見(jiàn)附件 1）。嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)健問(wèn) 題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn) 15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道：著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過(guò)程共分為 6個(gè)階段（見(jiàn)附件2）,要求滿(mǎn)足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過(guò)程的 燃料消耗。根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問(wèn)題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方 向。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。（3）對(duì)于你們?cè)O(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策

3、略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。附件1：?jiǎn)栴}的背景與參考資料：附件2：嫦娥三號(hào)著陸過(guò)程的六個(gè)階段及其狀態(tài)要求：附件3：距月面2400m處的 數(shù)字高程圖：附件4：距月面100m處的數(shù)字高程圖。第二問(wèn)大概思路月球上沒(méi)有空氣，所以只能依靠主減速發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)進(jìn)行減速。依靠主發(fā)動(dòng)機(jī)的反向推力 實(shí)現(xiàn)嫦娥三號(hào)速度的調(diào)整，抵消著陸器的初始動(dòng)能和勢(shì)能。燃料消耗主要在主減速階段， 所以對(duì)嫦娥三號(hào)的軌跡軌道最優(yōu)化控制應(yīng)該主要針對(duì)主減速階段。月球表面沒(méi)有空氣， 故嫦娥三號(hào)在下落過(guò)程中不會(huì)受到大氣阻力，即在動(dòng)力模型中不會(huì)出現(xiàn)大氣阻力項(xiàng)。嫦娥 三號(hào)將在近月點(diǎn)15公里處以拋物線下降，整個(gè)過(guò)程大概需要十幾分鐘的時(shí)間，時(shí)間相對(duì) 較

4、短，所以對(duì)日月引力攝動(dòng)、和月球引力非球項(xiàng)等影響因素可以忽略不計(jì)；以及月球所引 起的牽引力的影響也可以忽略。在以上假設(shè)下，可以假設(shè)其在慣性坐標(biāo)系下，以月球的 求新為原點(diǎn)的極坐標(biāo)形式來(lái)表示飛行器動(dòng)力學(xué)方程：uveF?v?sin?r?2?RRmo?mt?ve?vrve?F_mtcos?Rmo ?R?vr?ve?R?在式子 中，u為月球的引力常數(shù)，vr、ve分別表示法向速度和切向速度，？、？表示為推力與切向 速度的夾角，F(xiàn)為發(fā)動(dòng)機(jī)提供的推力，m。和m分別表示嫦娥三號(hào)在起始時(shí)的質(zhì)量和單位時(shí) 間燃料消耗的公斤數(shù)。第一階段：嫦娥三號(hào)著陸器在近月點(diǎn)的時(shí)候，法向速度vf為0,切向速度?vf?0m./s?ve=

5、1. 7km./s,初始條件：？ve?l. 7km/s?R?r?15?這里的R為近月點(diǎn)距離月球圓心的距離，r為月球的平均半徑。第二階段：?ve?0m/s?在落至3km高度時(shí)，滿(mǎn)足條件：?vf?57m/s?R?r?3?第三階段：嫦娥三號(hào)再主減速階段完成后，開(kāi)始進(jìn)入快速調(diào)整階段，調(diào)整結(jié) 束后，滿(mǎn)足?ve?0m/s ?R?r?2.4第四階段：嫦娥三號(hào)進(jìn)入粗避障階段，在100m時(shí)，懸停在目標(biāo) 上方，滿(mǎn)足條件：?ve?0m/s?vf?0m/s ?R?r?0. 1?第五階段：嫦娥三號(hào)進(jìn)入精避障階段，調(diào)整水平距離 第六階段：在高于地面41n進(jìn)行白由落體運(yùn)動(dòng)。在六個(gè)階段進(jìn)行軟降落的過(guò)程中，燃料主 要消耗在主減

6、速階段，嫦娥三號(hào)著陸的最優(yōu)策略是探測(cè)器到達(dá)月球表面的速度為零，最優(yōu) 策略是在主減速階段燃耗最小，待優(yōu)化的性能指標(biāo)為：tQ?m (t) dtt0?,其中？二2940m/s, m 的范圍為 0. 5L2. 55kg/s。推力范圍在 1500-7500N, F?m 此 函數(shù)值得最小值時(shí)，代表在主減速過(guò)程中消耗的燃料最少，即為最優(yōu)策略。將軌道離散化成許多小段，在各個(gè)小段設(shè)定待優(yōu)化的參數(shù)，然后利用參數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式 擬合，從而得到整個(gè)軌道的控制曲線。將嫦娥三號(hào)的著陸軌道離散化，分割成n個(gè)小段，每段的節(jié)點(diǎn)設(shè)置一個(gè)推力方向，可 以令n?l個(gè)節(jié)點(diǎn)的推力方向角和結(jié)束時(shí)刻tn作為待優(yōu)化的參數(shù)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)刻：(i?0,1,2» ? n) ti?tO? (tn?tO) /n每個(gè)時(shí)刻每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的推力方向角，推力方向角假設(shè)表示為:? (t) ?0?lt?2t2?3t3相當(dāng)于對(duì)函數(shù)進(jìn)行逼近，得出沒(méi)一小段？，將節(jié)點(diǎn)的推力方向角與對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)時(shí)刻對(duì) 多項(xiàng)式? (t)進(jìn)行擬合，求得參數(shù)?0、？1、？2、?3,進(jìn)而求出整個(gè)軌道的推力方向？。軌道的優(yōu)化軌道優(yōu)化問(wèn)題經(jīng)離散化后、可以看成一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題。系統(tǒng)的狀