關(guān)于生物心率與體重之間的關(guān)系建立初等模型

1、數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計*指導(dǎo)教師:*期:2013 年 _6_ 月 _25_ 日數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)名:口，號:關(guān)于生物心率與體重之間的關(guān)系建立初等模型.問題提出:生物學(xué)家認為，對于休息狀態(tài)的熱血動物，消耗的能量主要用于維持體溫， 能量與從心臟到全身的血流量成正比， 而體溫主要通過身體表面散失，建立一個 動物（體重：g）與心率單位：次/min之間關(guān)系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢 驗.動物體重/g心率/ （次？ min 1）田鼠25670家鼠200420兔2 000205小狗5 000120大狗30 00085羊50 00070人70 00072馬45000038二.問題分析1. 根據(jù)生活經(jīng)驗可知，心率大小的

2、影響因素不止一兩個，由于很多因素我們 無法控制，如在運動狀態(tài)下和休息狀態(tài)下，心率的大小明顯不同；而隨著年齡的 增長，心率也會改變?yōu)榱撕喕瘑栴}，我們假設(shè)所討論的結(jié)果是在休息的狀態(tài) 下，顯而易見，這樣的假設(shè)比較粗略。2. 從問題的提出可以看到，對于熱血動物來說，消耗能量與全身血流量成正 比，體溫從體表散失，于是有：體表散熱率 =心跳產(chǎn)熱率。而動物消耗的能量主 要用于維持體溫，而體內(nèi)熱量通過表面積散失，則有：能量X動物的表面積，能 量X血流量3. 建模的目的在于找出體重與心率之間的近似數(shù)量關(guān)系。顯然，由上表可看出：體重越大，其心率就越?。环粗?，動物的體重越小，其心率就越大。二.問題假設(shè)本次模型只考慮

3、在外界溫度不變動物休息狀態(tài)下的、身體正常的情況下 的心率問題。假設(shè)生物的體積與長度的立方完全成正比，表面積與長度的平方也是完 全成正比。假設(shè)體表散熱率等于心跳產(chǎn)熱率假設(shè)每分鐘總的血流量等于心率與每分鐘心臟到全身的血流量的乘積 假設(shè)供血能力與體重成正比假設(shè)每分鐘通過血液提供的能量與每分鐘總血流量成正比四.符號說明符號說明S生物身體的表面積L生物的長度V生物的體積W生物的體重Q每分鐘為維持體溫而流失的能量E每分鐘通過血液提供的能量T每分鐘總血流量n生物的心率q每次心跳從心臟到全身的血流量k 1表面積S與長度L的比例系數(shù)k 2體積V與長度L的比例系數(shù)k 3體積V與體重W的比例系數(shù)k4能量Q與表面積S

4、的比例系數(shù)k5q與W，n的比例系數(shù)k6能量E與總血流量T的比例系數(shù)K心率q與血流量W的比例系數(shù)五.模型建立根據(jù)以往的數(shù)學(xué)知識可知：表面積 S*長度L的平方，體積V X長度L的立方.即：S S2 V k2L3 （其中k1,k2為常數(shù)且大于0）。于是，有S紙3kJ生物的體積V與體重W成正比，即V k3W，將其代入式可得:? k 2 rW3-W3k陽駅3為維持體溫而流失的能量 Q與動物的表面積有關(guān)，且是一種正比關(guān)系，則有kikiWk4S（其中k4為常數(shù)且大于0）將式代入式，可得出：叭2 W3k2k3 3由假設(shè)體表散熱率等于心跳產(chǎn)熱率，即 Q=E，則有:E W3kzks 3由于假設(shè)供血能力與體重成正比

5、，則有：q k5W （其中ks為常數(shù)且大于0）k1 k4由于假設(shè)每分鐘總的血流量等于心率與每分鐘心臟到全身的學(xué)流量的乘積, 則有：T=nq,由式，可得：T k5nW由于假設(shè)每分鐘通過血液提供的能量與每分鐘總血流量成正比，則有：E k6T（其中k6為常數(shù)且大于0） 將式與式代入式，可得:k6k5 nW 即:kik4n 2I I 7k6k5 k2k3 3式就是通過比例關(guān)系所推導(dǎo)得出的數(shù)學(xué)模型。六. 模型求解要利用由W來計算n,則首先得確定其中的參數(shù)k、k?、ks、kq、ks、k6 。由于要確定這六個參數(shù)需要進行測量以及查閱相關(guān)資料，1用另一種簡便的方法：將式改寫成 n KW 3 (其中,而迫于時間

6、限制，可以kik4I I - k6k5 k2k3 3)，這樣,我們只需要確定參數(shù)K就可以得出n與W之間的比較粗糙的關(guān)系。>> W=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000;>> n=670,420,205,120,85,70,72,38;>> plot(W, n, 'ro');>> titleC已給數(shù)據(jù)的散點圖')>> xIabelC生物的體重');>> ylabelC生物的心率');700率 心 的 物 生0已給數(shù)據(jù)的散點圖60050040

7、030020010044.55X 1000.511.522.533.5生物的體重1KW，若對-,由此可3由圖可看出這些數(shù)據(jù)組成的散點圖是一個曲線，其數(shù)學(xué)模型是1兩邊取對數(shù)，則有：lg(n) lg(K) 1lg(W)，令 y=lg(n),a=lg(K), b31得模型為：y a丄X，是一個直線，可用最小二乘法擬合出a的值。下面用matlab3畫出改造數(shù)據(jù)后的散點圖。>> W=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000;>> n=670,420,205,120,85,70,72,38;>> x=log10(W);>&

8、gt; y=log10( n);>> plot(x,y,'r*');>> title('改造數(shù)據(jù)后的散點圖')改造數(shù)據(jù)后的散點圖2.5t1.511.52.533.544.5由此可以看出，與前面的分析符合，改造后的數(shù)據(jù)大致與一個直線擬合，由之前 學(xué)過的數(shù)值分析，可直接利用最小二乘法的結(jié)果求出 a的值。若要用最小二乘法擬合出數(shù)據(jù)為xi,yi im1的逼近直線y a。a/，貝9：a。m m2x yi 1 i 1m2Xii 1mmxiViXii 1i 1m 2Xi1mma1mxym XiXii 1 i 1m2Xi所以，此次模型所要求得的:yim

9、m2Xii 1 i 1m2mXii 1mmXi yiXii 1i 12 mXii 1>> W=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000;>> n=670,420,205,120,85,70,72,38;>> x=log10(W);>> y=log10( n);>> a=(sum(x.A2)*sum(y)-sum(x.*y)*sum(x)/(8*(sum(x.A2)-sum(x)A2)3.2631>> p lot(x,y,'r*',x,a-1/3*x,'g&#

10、39;)2.82.62.42.2+1.81.61.41.522.533.544.555.56所以:10a 1.8328103，1KW 31.8328 103W下面就根據(jù)所求出的模型作圖，與題目所給的數(shù)據(jù)比較。>> W=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000;>> n=670,420,205,120,85,70,72,38;>> N=1.8328*10A3.*W.A(-1/3);>> p lot(W, n, 'ro',W,N,'b')>> xlabel('

11、;生物的體重');>> ylabelC生物的心率');>> titleC擬合后的曲線與原數(shù)據(jù)的比較')擬合后的曲線與原數(shù)據(jù)的比較700率 心 的 物 生0600500400300200100100.51.522.533.544.5生物的體重x 1051)七. 結(jié)論解釋由上面的圖可看出,7這幾個點擬合的不夠好，下面是將生物的體重代5, 6，1入模型n 1.8328 103W 3與實際數(shù)據(jù)作比較得出的表格 >> W=25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000;>> n=670,420,2

12、05,120,85,70,72,38;>> N=1.8328*10A3.*W.A(-1/3);>> N626.8088 313.4044145.4694107.182858.985049.749844.471623.91721，然后為了簡1)2)3)2)3)動物體重實際心率模型結(jié)果田鼠25670626.8088家鼠200420313.4044兔2 000205145.4694小狗5 000120107.1828大狗30 0008558.9850羊50 0007049.7498人70 0007244.4716馬4500003823.9172由上表可看出，雖然曲線軌跡比較接

13、近原數(shù)據(jù)，可是將模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù) 比較，差別還是很大的。此次模型是先通過比例關(guān)系推導(dǎo)出的模型：n 嵌 Wkzks 31K。而且，彳假便，將模型簡化為n KW-3，最后又用最小二乘法求出比例系數(shù) 設(shè)條件比較粗糙，又缺乏足夠的數(shù)據(jù)支持，所以，得到的結(jié)果不夠滿意。八. 優(yōu)缺點與存在問題模型的優(yōu)點：建立模型時假設(shè)環(huán)境不變，減少影響結(jié)果的因素，使得問題簡化，便于分析 求解。由于本課程是關(guān)于心率與體重的關(guān)系，所以二者之間的關(guān)系不能直接觀測 出，而建立模型使得問題迎刃而解。利用matlab編程進行求解，所得結(jié)果數(shù)據(jù)比較準(zhǔn)確，利用 matlab畫圖利于 比較實際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果的差異。模型的缺點：建立模型時，假設(shè)熱血動物在休息狀態(tài)時消耗的能量全部轉(zhuǎn)換為熱量，忽略 了其他熱量的散失方式。假設(shè)外界環(huán)境不變，但不能確定外界環(huán)境是否一直保持不變。 假設(shè)動物表面積、體積、與長度成正比，是非常粗略的。九模型推廣通過對生物體重與心率這個模型的研究， 雖然結(jié)果不太令人滿意， 但是二者 之間的大概關(guān)系很容易看出來，體重越大，心率越小。在實際醫(yī)療問題中，通過 控制體重來預(yù)防心臟病， 預(yù)防心臟病的發(fā)病率。 可以通過