三角函數(shù)講義(二)

1、三角函數(shù)講義（二）、兩角和公式5面公式的基礎(chǔ)很重要，正反兩個(gè)方向都要記住，并能靈活應(yīng)用) sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=cot(A+B)=cot(A-B)=(可通過(guò)上面的公式推導(dǎo)下面的公式，試試看) tanA tanB1 - tanAtanB tanA -tanB1 tanAtanB cotAcotB -1 cotB cotA cotAcotB 1 cotB -

2、 cotA、倍角/半角公式倍角公式(利用兩角和公式證明)tan2A = 2tanASin2A=2SinA?CosA1 -tan ACos2A = Cos2A-Sin / A、 1。cosAsin Atan( )= sin A 1 cosAA=2CoSA-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA) 3 cos3A = 4(cosA) 3-3cosAnjitan3a = tana - tan( +a) tan( -a)半角公式（怎么證明？ 一定要知道，條件要知道，根據(jù) A的大小可正可負(fù)）14./ A、1 - cosAsin(一尸.2 .2I / A、1 - cosA

3、tan(一尸.3 .1 cosA/ A、1 cosA8s.尸：2cot(38sA2- 1 -cosA萬(wàn)能公式 （要求能證明）- a2 tan2 sina=1 (tana)2a 2 1-(tan-)2 cosa=21 (tana)2- a2 tan,2tana=1 - (tan-a)2r . ctaCOSi. sm a i?11L: suia =-1. 2 «: ctsin 一十，。5 2tan .-tsu -cos a cosa =12 a cos .2 a i . 2 a sun 1 tan 22sill； + C05* 22l-tair-tana =cosa, . a a2sin

4、cos22a ： ct cos - -sui 721- tail'由i i o tn 2sin0cos0 士 口 ” ,例1已知=-5 ,求28 - 4sinshie-jco&e2 sin 9 +cose siaG 3cos0 .2 tan 6 +129的值白豐0 (否則2 5 )二原式=解之得：tan 03(1 -9) x2tan0 3(1-2*) 4x2x271 +tair 9l + tanz 91 + 21 + 2*三、和差化積/積化和差和差化積（要求能證明）sina+sinb=2sin a-b cos a-b22a b _ a -bcosa+cosb = 2cos co

5、ssin(a b) tana+tanb=cosacosbsina-sinb=2coscosa-cosb = -2sina b . sin2a ba - b2a - bsin 2積化和差（要求能證明）sinasinb =-sinacosb =1 r一cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = 21 .一sin(a+b)+sin(a-b) cosasinb =21 r一cos(a+b)+cos(a-b)21 sin(a+b)-sin(a-b)2四、其它變換（靈活應(yīng)用上述公式，重要，要求能夠證明，不要求死記）a?sina+b ?cosa= v'(a2 +b2) x sin(a+

6、c) 其中 tanc= b aa?sin(a)-b ?cos(a) =J(a2+b2) x cos(a-c) 其中 tan(c)=b1+sin(a) =(sin +cos )2221-sin(a) = (sin cos )222三陰要披是也算化胤過(guò)程中運(yùn)用較多的變換.提高三席克授能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件.員牯運(yùn)用三星公式，革惺注算、 化Q的方法技能.(1)用的受執(zhí)：角之間的和差、悟半、互補(bǔ)、互親等關(guān)系對(duì)角交換.還可作添加刷珠舄的恒等支招仁)溝道名和史摘，二角變嚴(yán)中常常需萼支向粉名禰為同名畫(huà)爵.采用公式wsinf+ hCQ迪十"4ing .小苴巾 e?_.丁丁 ： . J7 - sin J

7、 +JJcos rJ3+-'皿一+加，比如，L*,'? + i魴口 + cos I)>產(chǎn) 1 I lr 1l.亍產(chǎn);r +(V3)*U+6)”. 2(- sdn、+ eosi x) _ 2(4n.i cos +cosA4in)一 2 sin(A + ) StS"湮猜"退用；a=(ap)-P-a = p-0-a，貨=:3m-儲(chǔ)-叮1例如.已知& Qw l,jr)sin加一#)* siiK#),則uostjof十上)二7常敷代攪在=用函頰運(yùn)耳.求俏、證明巾有時(shí)候零將常敵轉(zhuǎn)化為三角的擺.特別是常魏"1"可轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)L sin2期4

8、85仃"® 鼎為支操；前忒翻楂昌的三建限數(shù)式一股求月瓦第皿當(dāng).由M胃要井后但如；*1二串月牙第化為甫翌式*Ce)公式變影,三角會(huì)式是受挽的悔據(jù).熟練軍膻二的公式的慎用、逆用及要形.(7)結(jié)構(gòu)至化工在三角交拗中考檔對(duì)條件.結(jié)論的拄狗進(jìn)而滔醛.或市新蘇組，京稀j葭 或玄更為降，或求 差等等*在上式上有時(shí)需要和差與硬的互化、分解因黃、配方等.m 消無(wú)匕，如期所要正明的過(guò)于巾不含三知條件巾的某些變量，可用此古16思路受友.如臬種思靜元法再走下吉,嵐若改變自己的出躇，逋過(guò)分析比較去選在更含適r藺捷的方 法去解港目二門(mén)G利用方程思想解三角曲效.如葉干以下三個(gè)式子:而"+。利

9、血門(mén)8網(wǎng)而，f_c8ch已知其中一個(gè)式子的母，其余廠(chǎng)式均可束出，且必要時(shí)可以換元.伊!1 L已知疝&-eg® = X，求 sin*8-rW 8 丁辮：*7 日由一工05公工一 l-2singeo&。1 1故士 1 - 2sincos0 = () 二 一 n 3口 次。*6 =-333sin3 - cos2 6 = (sin g - cos )(sfn B cos)、+ 3 Sind COS 0例 2 已知 tgff-ctg£Z=2T 求 sin'tz + c。/。Ji.JL- Jj|,rn*f理t sin'(? + cos = sin a +

10、 cos a 2 sin a cos a -2 sin « cos"(7=(sin Gcos'd)- 2 sin'Ccos' (Z =1-2 (sincosC? ?"1 511-1-2x(-)- =1=-922向介口如n # sina3c°sa鉆法例3已卻：tgff =3,求的值。2siti + cos(7解：由于 tgtz=3=> 口 w Ajt+ ncosa h 0sindf 丁 cci$a3 *故，原式二-"3 = "3 ”sintr cost? ?ga + l 2x3 + 12Fcost/ COS

11、ffsin =. sin( +),疝24 =-sin2(8 + 匚)+cos2 - cos2( + C)常見(jiàn)數(shù)據(jù)工 sinl5© = cos750 =-五fsin750 = cos 150=& 十 五 44tanl5c = 2-V3 , tan750 = 2-n 73 ,五、函數(shù)的最值，=疝1工+方(或收8工一的I型；利用三角兩捌由值域，須注意對(duì)字母的討論，="sin +68/型：引進(jìn)輔勖角化成】=JM +了=5im V +如再利用有界性“"而*國(guó)心”型.配方后求二次函數(shù)的最值，sinA <ismHsin.r + v =曲工+”B.反解出sink,化

12、歸為卜皿鵬£1解決0 y =(r(sin + cos v) + Z?sin v cos< 511常用到換元法：f - sin.v + co p但須注意的取值范田六、正余弦定理和解斜三角形1 .面積公式：-or2 .正弦定理:3 .余弦定理:a.b.c.ABC中，口的分別為兒"的對(duì)邊.A 芹:，O”力Q 5in# 6山" 蕓的，七、三角函數(shù)1 .求函數(shù)（0）的： 定義域：（一0° , +8） 值域：A, A 是周期函數(shù).周期=；最小正周期：二 伸縮和平移：=-（） 正弦波的一些概念o A為振幅（表小強(qiáng)度）o -是頻率（周期的倒數(shù)，表示每單位時(shí)間（秒）

13、內(nèi)循環(huán)往復(fù)震動(dòng)多少次）o 相位：（在一個(gè)循環(huán)周期中的位置）o 初相：（零時(shí)間點(diǎn)時(shí)的相位）例題講解一.求值與化衡L基本概念與公式(正用.逆用)例1,已知銳角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(2sin3.2833).求隹()(A> 3(B) -3<C> 3/(D) 1-3例 2, sin500.(1 +tan 100),例 3,化簫 cos200 cos400- cos805.例4, 化簡(jiǎn)：sin sinsin242412甸 s* 化2v?ui8+T-+ /2cos8 + 2F鏟例&化武(tanlO。一石)cos 100siii500例9.cos 400 + sin 500(l +

14、6 Tan 10c)sin *0avl-bcos400例io.若三 2< a v2向化簡(jiǎn) J-+-J-+b-cos2a例 11.求 tanl2J tan330T tanl2otan33° 的值3 12.求 tdll(8)+ 1311( F 81十 /5 t(Ul(831Hl1(F 6)的宣6666例 13.求(1 + tanl°Xl-b tan20Xl+tan30) (1+tan 15°)的值Z齊次式例L已知tail。=2,求下列各式的值n羽ina-Mesa 5cosa4 3siua2sin%+3c0a + l. sm-a + sniacoso.(3) si

15、n a cos a(4) 2sinz <7-3siii(7Cos(7-5cos2 a 例2.已知一生一二-L求下列各式的值二 tan a -1,工 sincr-3cost? ,八 一 、：(2) 5mz+ §】口。85a 2sina + cosa $ing±cosasine ccs®關(guān)系問(wèn)題例L已知疝q9co$=亡(空.三)，求cos。-sin®的值. 84 2國(guó) 2. Sl_ir<A<Osm.v + cciY= 1 .(I)求 £加1一8翡的值；(II)求25., K .) A 、N3 sin-2 sincos cos&qu

16、ot; 一2222的值.tnn t +cot1例3.已知6七(0.打疝8 + <：0區(qū)8 =.求下列各式的值, .5(I) siiiScos 9山8 - co%8 ta118 + cot 8 始口日例 l.已知sins4 cos8 = "i,求siif 8 + eo短 6的值,例 5. EfcJ： sin/? -cos _.求f sin7rtan3=，tan娘一，)=,求: 524例3.己知至三,o</<四，8$C0=匕£111（紅十上,求* 4 尸 4454/13的鼠 0 + cos4 0 的值.4.整體代換（湊角）問(wèn)題1 十_ sin70 + cosl

17、50siii80 例L不查表.求：的值:M2.已知:+ tz)的值.口 + ")cos 70- sml50 sm 8°已知i（q 0）二5加力=弓，且&。七。），求2a 戶(hù)的值,T例5.1- - -7求產(chǎn)的值, 14例I 6.三知Tana 二，sin/二、a.4均為銳身，求a斗2月的值*例，已知tan（a 似=；,tanp = a，且公£曰（0萬(wàn)），求2b一£的道 mr二.圖像與性質(zhì)1.圖像問(wèn)題例L 已知函數(shù)V =八5出（3 +學(xué)）（4 >0.|p| <萬(wàn)）的一段 圖象如圖所示；3）求函數(shù)的解析式；（2）求這個(gè)函數(shù)的 單調(diào)避地區(qū)間.例

18、2.作出¥ 二 81小山父的匡象二例3.根據(jù)正強(qiáng)函數(shù)的圖像求滿(mǎn)定Sin上21的K范圍n7巴4.,若函St t = 2cn工（0，工s2?0的圖得和直凄¥ 二 2孟或一個(gè)封閉的平面圖形.幾 這個(gè)封閉圖形的面積為例:已知/ (M二生出(。1 + /) (A > Sb> 0)圖象如圖(I )求/(I)的解析式：(2)百。)與/(Q圖象關(guān)于巨波<二2對(duì)稱(chēng)，求算()弊折式,詞&分析y =%山(2 r+W )可由V -Sill v的圖嫁如何變換得到. 3例，把函教*二sin(2r+三)的圖象向右平移四個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的懂坐標(biāo) 48縮短到原來(lái)的工，得到怎樣的解析式？?一T例10.要得到¥ = sin(2K-1)的雯象I只要將 =3in2K的圖象進(jìn)行影樣的平移？例11.帶述將¥2co£21+工)一1的圖象變換為. 85r的圖象的過(guò)程.司12,把函鼓、' = co%t 、；3sinx的基象區(qū)左平移四個(gè)單位當(dāng)?shù)玫膱D象美于轅對(duì)稱(chēng).則m的景小值是()n_ ,A.6B.詞】工把函數(shù)丁一疝乂2上:£)的匡形向左平移2,好律圖形對(duì)應(yīng)的堇數(shù)是()484.奇國(guó)數(shù)B.偶函數(shù)。既是直函數(shù)也是喘函數(shù)D.既不是奇醫(yī)數(shù)也不