西南交通大學(xué)楊帆BSBS彈性力學(xué)第一、二章

1、彈性力學(xué)彈性力學(xué)楊 帆n王光欽等，王光欽等，彈性力學(xué)（第彈性力學(xué)（第3 3版），清華大學(xué)版），清華大學(xué)出版社，北京，出版社，北京，20152015（九里校區(qū)體育場(chǎng)附近（九里校區(qū)體育場(chǎng)附近的知海書店有售）的知海書店有售）n楊桂通，彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程，楊桂通，彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程，清華大學(xué)出版清華大學(xué)出版社，社，北京，北京，2006.092006.09n徐芝綸，彈性力學(xué)，高等教育出版社，北京，徐芝綸，彈性力學(xué)，高等教育出版社，北京，1990.06 1990.06 1.1. 彈性力學(xué)的任務(wù)和研究對(duì)象彈性力學(xué)的任務(wù)和研究對(duì)象什么是彈性力學(xué)？什么是彈性力學(xué)？彈性力學(xué)與材料力學(xué)的對(duì)比彈性力學(xué)與材料力學(xué)的對(duì)比2.

2、2. 彈性力學(xué)的基本假定彈性力學(xué)的基本假定3.3. 彈性力學(xué)的研究方法彈性力學(xué)的研究方法4.4. 彈性力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史彈性力學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史n什么是力學(xué)？什么是力學(xué)？l中國大百科全書：力學(xué)是研究物質(zhì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。中國大百科全書：力學(xué)是研究物質(zhì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。l機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)物質(zhì)在時(shí)間、空間中的位置變化。物質(zhì)在時(shí)間、空間中的位置變化。n力學(xué)的分類力學(xué)的分類l依尺度分類依尺度分類l依物性分類依物性分類n“彈性力學(xué)彈性力學(xué)”隸屬于隸屬于“變形體力學(xué)變形體力學(xué)”中的中的“固體力學(xué)固體力學(xué)”分支分支l研究尺度研究尺度宏觀宏觀l研究對(duì)象研究對(duì)象彈性固態(tài)可變形體彈性固態(tài)可變形體彈性：指荷載作用下變形在

3、卸載后可恢復(fù)的物性彈性：指荷載作用下變形在卸載后可恢復(fù)的物性日常的工程結(jié)構(gòu)和零件日常的工程結(jié)構(gòu)和零件l主要任務(wù)主要任務(wù)研究變形體都遵循的基本規(guī)律研究變形體都遵循的基本規(guī)律基本方程基本方程研究彈性物體的特定物理性質(zhì)研究彈性物體的特定物理性質(zhì)彈性本構(gòu)關(guān)系彈性本構(gòu)關(guān)系（方程）（方程）研究在給定荷載作用下的彈性物體中任意一點(diǎn)的位研究在給定荷載作用下的彈性物體中任意一點(diǎn)的位移、變形和應(yīng)力情況移、變形和應(yīng)力情況彈性力學(xué)彈性力學(xué)問題問題材料力學(xué)材料力學(xué)彈性力學(xué)彈性力學(xué)研究對(duì)象研究對(duì)象桿、梁、柱、軸等桿、梁、柱、軸等桿狀一維結(jié)構(gòu)桿狀一維結(jié)構(gòu)除材料力學(xué)研究的一維除材料力學(xué)研究的一維物體外，主要研究二、物體外，主

4、要研究二、三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)基本假定基本假定基本假定多，近似基本假定多，近似理論，精度低理論，精度低基本假設(shè)少，精確理論，基本假設(shè)少，精確理論，精度高精度高求解求解形狀簡(jiǎn)單，求解容形狀簡(jiǎn)單，求解容易，解答多易，解答多形狀復(fù)雜，求解困難，形狀復(fù)雜，求解困難，解答很少解答很少數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)初等數(shù)學(xué)、微積分初等數(shù)學(xué)、微積分微分方程微分方程彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別材料力學(xué)與彈性力學(xué)的變截面桿解答的區(qū)別材料力學(xué)與彈性力學(xué)的變截面桿解答的區(qū)別A材料力學(xué)與彈性力學(xué)的梁彎曲解答的區(qū)別材料力學(xué)與彈性力學(xué)的梁彎曲解答的區(qū)別 連續(xù)性假定：介質(zhì)連續(xù)無間隙地充滿整個(gè)物體所占據(jù)的連續(xù)性假定

5、：介質(zhì)連續(xù)無間隙地充滿整個(gè)物體所占據(jù)的空間；（宏觀尺度，數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)工具）空間；（宏觀尺度，數(shù)學(xué)分析等數(shù)學(xué)工具） 均勻性假定：物體中各處的介質(zhì)是均勻同一的；（不必均勻性假定：物體中各處的介質(zhì)是均勻同一的；（不必亦不可能對(duì)每處的介質(zhì)做材料試驗(yàn)）亦不可能對(duì)每處的介質(zhì)做材料試驗(yàn)） 各向同性假定：介質(zhì)各個(gè)方向的材料性質(zhì)相同；（簡(jiǎn)化各向同性假定：介質(zhì)各個(gè)方向的材料性質(zhì)相同；（簡(jiǎn)化問題）問題） 線彈性假定：彈性階段，應(yīng)力和應(yīng)變是線彈性關(guān)系，服線彈性假定：彈性階段，應(yīng)力和應(yīng)變是線彈性關(guān)系，服從虎克定律；卸載過程是彈性的從虎克定律；卸載過程是彈性的 小變形假定：物體的變形對(duì)比物體的幾何尺寸很小；小變形假定：

6、物體的變形對(duì)比物體的幾何尺寸很?。唬梢栽谧冃吻暗膸缀涡螤詈统叽绲幕A(chǔ)上研究問題，（可以在變形前的幾何形狀和尺寸的基礎(chǔ)上研究問題，可以忽略變形的高階影響）可以忽略變形的高階影響） 靜態(tài)和擬靜態(tài)假定：忽略時(shí)間的影響靜態(tài)和擬靜態(tài)假定：忽略時(shí)間的影響 無初應(yīng)力假設(shè)：物體的初始狀態(tài)是自然狀態(tài)，荷載作用無初應(yīng)力假設(shè)：物體的初始狀態(tài)是自然狀態(tài)，荷載作用前物體內(nèi)部無應(yīng)力前物體內(nèi)部無應(yīng)力n彈性力學(xué)的微分問題提法彈性力學(xué)的微分問題提法1、靜力學(xué)靜力學(xué)2 2、幾何學(xué)、幾何學(xué)3 3、物理學(xué)、物理學(xué) n彈性力學(xué)變分提法彈性力學(xué)變分提法泛函的極值問題泛函的極值問題彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)建立期彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)建立期 彈性力學(xué)理

7、論的發(fā)展成熟期彈性力學(xué)理論的發(fā)展成熟期 彈性力學(xué)理論發(fā)展的深化期彈性力學(xué)理論發(fā)展的深化期 n彈性力學(xué)發(fā)展初期（彈性力學(xué)發(fā)展初期（1717世紀(jì)前）世紀(jì)前） 16781678，HookHook（虎克、胡克，英）發(fā)現(xiàn)虎克定律（虎克、胡克，英）發(fā)現(xiàn)虎克定律 16871687，NewtonNewton（牛頓、英）建立牛頓力學(xué)三大定律（牛頓、英）建立牛頓力學(xué)三大定律n彈性力學(xué)基本理論和基本方程的奠基時(shí)期（彈性力學(xué)基本理論和基本方程的奠基時(shí)期（1717世紀(jì)末世紀(jì)末1919世紀(jì)）世紀(jì)） 早期對(duì)梁的研究早期對(duì)梁的研究 1820s1820s，CauchyCauchy（柯西，法）定義了應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念，建（柯西

8、，法）定義了應(yīng)力、應(yīng)變等基本概念，建立了幾何方程和平衡方程，將虎克定律推廣到三維一般情況立了幾何方程和平衡方程，將虎克定律推廣到三維一般情況n彈性力學(xué)理論發(fā)展和應(yīng)用階段（彈性力學(xué)理論發(fā)展和應(yīng)用階段（1919世紀(jì)世紀(jì)2020世紀(jì)初）世紀(jì)初） 18551855，18561856，Saint VenantSaint Venant（圣維南，法）解決柱體的彎曲和（圣維南，法）解決柱體的彎曲和扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)問題 18811881，HertzHertz（赫茲，德）解出彈性接觸的局部應(yīng)力分布（赫茲，德）解出彈性接觸的局部應(yīng)力分布 18981898，KirschKirsch（基爾施，德）解出了受拉含圓孔薄板的孔邊

9、應(yīng)（基爾施，德）解出了受拉含圓孔薄板的孔邊應(yīng)力分布力分布 能量原理，近似計(jì)算方法等得到發(fā)展能量原理，近似計(jì)算方法等得到發(fā)展n非線性彈性力學(xué)、熱彈性力學(xué)、粘彈性力學(xué)等得到發(fā)展非線性彈性力學(xué)、熱彈性力學(xué)、粘彈性力學(xué)等得到發(fā)展（2020世紀(jì)）世紀(jì)）第二章第二章 彈性力學(xué)的基本方程和一般定理彈性力學(xué)的基本方程和一般定理1.1. 基本概念基本概念l荷載（體積力、表面力）、內(nèi)力、應(yīng)力荷載（體積力、表面力）、內(nèi)力、應(yīng)力l位移、應(yīng)變位移、應(yīng)變2.2. 控制方程和邊界條件控制方程和邊界條件l平衡方面（平衡方程、力學(xué)邊界條件）平衡方面（平衡方程、力學(xué)邊界條件）l幾何方面（幾何方程、位移邊界條件）幾何方面（幾何方程

10、、位移邊界條件）l物性方面（本構(gòu)方程）物性方面（本構(gòu)方程）3.3. 彈性力學(xué)的原理彈性力學(xué)的原理l迭加原理迭加原理l解答唯一性原理解答唯一性原理l圣維南原理圣維南原理n體積力體積力體力體力u作用在物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)上的分布力作用在物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)上的分布力u體積力（集度）是矢量，是體積力（集度）是矢量，是位置坐標(biāo)位置坐標(biāo) x, y, z 的的函數(shù)函數(shù)0dlimdVVVppF體體積積力力集集度度（密密度度）n表面力表面力面力面力u作用在物體表面的分布力；（風(fēng)力，水壓力、作用在物體表面的分布力；（風(fēng)力，水壓力、接觸力）接觸力）u表面力（集度）是矢量，表面力（集度）是矢量，是位置坐標(biāo)是位置坐標(biāo) x, y,

11、 z 的的函數(shù)函數(shù)n集中力集中力u分布在微小面積或體積分布在微小面積或體積表面力或體積力表面力或體積力0dlimdSSS PPT表表面面力力集集度度（密密度度）內(nèi)力：物體內(nèi)部的相互作用內(nèi)力：物體內(nèi)部的相互作用0dlimdSSS QQTn沿坐標(biāo)分解沿坐標(biāo)分解n正應(yīng)力正應(yīng)力內(nèi)力沿截面法線方向的分力內(nèi)力沿截面法線方向的分力n剪應(yīng)力剪應(yīng)力內(nèi)力在截面內(nèi)的分力內(nèi)力在截面內(nèi)的分力0dlimdxxyyzzSTTTSS QQTeee 共共9 9個(gè)應(yīng)力：個(gè)應(yīng)力：,;,;,xxxyxzyxyyyzzxzyzzn應(yīng)力作用面的法應(yīng)力作用面的法向與坐標(biāo)正向一向與坐標(biāo)正向一致時(shí)，應(yīng)力的正致時(shí)，應(yīng)力的正向亦與坐標(biāo)正向向亦與坐

12、標(biāo)正向一致一致n應(yīng)力作用面的法應(yīng)力作用面的法向與坐標(biāo)負(fù)向一向與坐標(biāo)負(fù)向一致時(shí)，應(yīng)力的正致時(shí)，應(yīng)力的正向亦與坐標(biāo)負(fù)向向亦與坐標(biāo)負(fù)向一致一致n張量，共張量，共9 9個(gè)應(yīng)力個(gè)應(yīng)力n可以證明應(yīng)力張量是對(duì)稱的，可以證明應(yīng)力張量是對(duì)稱的，6 6個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量xxxyxzyxyyyzzxzyzz,xxxyzxxyyxyzzyzxxzxyyyyzzxyzzz(d )d dd d(d )d dd d(d )d dd dd d d0yxxxxyxyxzxzxzxxxy zy zyx zx zxyzx yx yF x y zz0 xzxyxxFzyx(d d )d(d d )d0 xyyxxyyxy zxz

13、xy222222twFzyxtvFzyxtuFzyxzzyzxzyzyyxyxzxyxxn斜面的方向n面積關(guān)系n體積AnAPabAmAPcaAlAPbczyxdd :dd : dd :AhVdd31dxyzlmneee0dddddVFAAAATxzzxyyxxxx0d31hFnmlTxzxyxxxxxyxzxTlmnyxyyzyzxzyzzTlmnTlmn同理n斜面上應(yīng)力的大小n斜面上應(yīng)力的法向分量正應(yīng)力n斜面上應(yīng)力的面內(nèi)分量剪應(yīng)力222|zyxTTTT TnTmTlTzyxTnlmnlmnmlzxyzxyzyx22222222|T Tn經(jīng)典的說法：三個(gè)與坐標(biāo)軸正交的截面，每個(gè)上面的面力經(jīng)典的

14、說法：三個(gè)與坐標(biāo)軸正交的截面，每個(gè)上面的面力沿坐標(biāo)軸分解為沿坐標(biāo)軸分解為1 1個(gè)正應(yīng)力和個(gè)正應(yīng)力和2 2個(gè)剪應(yīng)力，共計(jì)個(gè)剪應(yīng)力，共計(jì)9 9個(gè)應(yīng)力分量個(gè)應(yīng)力分量n應(yīng)力張量應(yīng)力張量xxxyxzijyxyyyzzxzyzz關(guān)于應(yīng)力張量的討論關(guān)于應(yīng)力張量的討論為什么為什么9 9個(gè)量就構(gòu)成個(gè)量就構(gòu)成應(yīng)力張量呢應(yīng)力張量呢？n截面的內(nèi)力（截面的內(nèi)力（TractionsTractions） 與截面的位置（矢徑向量）與截面的位置（矢徑向量）X( (x,y,z) )和單位法向量和單位法向量( (l,m,n) )有關(guān)有關(guān)n對(duì)截面的單位外法向量對(duì)截面的單位外法向量( (l,m,n) )線性展開線性展開n矩陣表示矩陣表

15、示關(guān)于應(yīng)力張量關(guān)于應(yīng)力張量的另外的說法的另外的說法T( , )( , , ; , , )x xy yz zxyzx y z l m nTTTlmnX eeeeeeT TTT( , , ; , )( , , ; , )( , , ; , )xxxlxmxnyyylymynzzzlzmznTT x y z l m nT lT mT nTT x y z l m nT lT mT nTT x y z l m nT lT mT nxlxmxnylymynzlzxyzmznTTTTTTTTTlTnTmT 單位法向量單位法向量應(yīng)力矩陣（張量）應(yīng)力矩陣（張量）內(nèi)力內(nèi)力n截面截面1 1：取：取 l=1，m=n=

16、0 法向?yàn)榉ㄏ驗(yàn)閤方向的截面方向的截面 n截面截面2 2：取：取 m=1，l=n=0 法向?yàn)榉ㄏ驗(yàn)閥方向的截面方向的截面n截面截面3 3：?。喝?n=1，l=m=0 法向?yàn)榉ㄏ驗(yàn)閦方向的截面方向的截面 應(yīng)力張量的物理含義應(yīng)力張量的物理含義,xxxyxxlyzlylxzzTTTTTT,xyxyyxmyzmymyzzTTTTTT,xzxyzxnyznynzzzTTTTTTxlxmxnylymynzlzxyzmznTTTTTTTTTlTnTmT n應(yīng)力矩陣（張量）應(yīng)力矩陣（張量）n應(yīng)力矩陣（張量）是對(duì)稱矩陣（張量）應(yīng)力矩陣（張量）是對(duì)稱矩陣（張量）應(yīng)力張量應(yīng)力張量Txlxmxnxxyxzxxxxyx

17、zylymynxyyyzyyxyyyzzlzmznxzyzzzzxzyzzTTTTTTTTT xxxyxzxyyyyzxzyzzzn物體的運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)n物體的位移物體的位移 z yx( , , )P x y z( , , )x y zu( , , )P x y z ( , , )( , , )( , , )xx x y zyy x y zzz x y z( , , )( , , )( , , )( , , )x y zuu x y zvv x y zww x y zuun正（線）應(yīng)變線素的相對(duì)伸長(zhǎng)或縮短dddddddddxyzxxxyyyzzz222xyyxyzzyzxxzn剪（切）應(yīng)變剪（

18、切）應(yīng)變兩正交線素夾角的減少兩正交線素夾角的減少ddddxp apap apapapauxuxuxxxux ,yzvwyz同理22 xyyxxyyxB P Ab p ab ba ab ba ap bp apbpa ddddxyyxuvuyuvxvuvyxyxyx,yzzyzxxzvwwuzyxz同理xxyyyzzzxuuvxyxvvwyzywwuzxz1()1()1()yzyzxxyzzxyyzxzxxyzzxyxyEEE n單拉n三向應(yīng)力E n純剪|xx xx yx zx 向應(yīng)力向應(yīng)力y 向應(yīng)力向應(yīng)力z 向應(yīng)力向應(yīng)力dd (1) d (1) d (1)dddd (1) d (1) d (1)

19、d d dd d dxyzxyzxyzVxyzVVVxyzx y zx y z12()xyzxyzEKm3zyxm)21 ( 3EKn體積應(yīng)變體積應(yīng)變n平均應(yīng)力（靜水壓力）平均應(yīng)力（靜水壓力）n體積模量體積模量000yxxzxxxyyzyyyzxzzzFxyzFxyzFxyzyuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx , , ,1()1()1()yzxxyzyzzxyyzxzxxyzzxyxyEEE n廣義虎克定律定律廣義虎克定律定律 n幾何方程幾何方程 n平衡微分方程平衡微分方程 n應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件 n位移邊界條件位移邊界條件 :xxyxzxxyxyyzyyzxzyzzz

20、TlmnTTlmnTTlmnT, ,uuvvwwn坐標(biāo)坐標(biāo)n坐標(biāo)方向的單位向量（基向量）坐標(biāo)方向的單位向量（基向量）n表面單位法向量分量表面單位法向量分量n位移向量位移向量n體積力向量體積力向量n表面力向量表面力向量n應(yīng)力、應(yīng)變張量應(yīng)力、應(yīng)變張量123,(1,2,3)ixyzxxxxi123,(1,2,3)iu v wuuuui123, , (1,2,3)iieeee111213313233111213313233,1111,2222xxxyxzzxzyzzijxxxyxzzxzyzzij123, , , , (1,2,3)ilmnnnnn i123,(1,2,3)xyziFFFFFFF i1

21、23,(1,2,3)xyziTTTTTTT i未加說明的指標(biāo)均取值未加說明的指標(biāo)均取值1，2，3n向量表達(dá)式向量表達(dá)式n線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組n愛因斯坦求和約定：一對(duì)重復(fù)的字母指標(biāo)表示對(duì)該對(duì)字愛因斯坦求和約定：一對(duì)重復(fù)的字母指標(biāo)表示對(duì)該對(duì)字母指標(biāo)求和母指標(biāo)求和111213121222323132333a xa ya zPa xa ya zPa xa ya zP31 (1, 2, 3)ijjija xPi31 122331iiiaaaaaeeee111213121222323132333aaaxPaaayPaaazP ijjia xPiiaen對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)對(duì)坐標(biāo)求導(dǎo)n梯度算子梯度算子 向量算

22、子向量算子n標(biāo)量函數(shù)的梯度向量標(biāo)量函數(shù)的梯度向量,1,2,3123222,11,12,23111223( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )xxxx xx xxx 1,23iijfxffffxxfx ,()()()iiixn向量函數(shù)的梯度向量函數(shù)的梯度l左梯度左梯度l右梯度右梯度l向量的散度向量的散度1,12,23,3,ii iiiiuuuuuux312111312222312333jijiuuuxxxuuuuuxxxxuuuxxx111123222,123333123ii jjuuuxxxuuuuuxxxxuuuxxxn置換符號(hào)（克羅內(nèi)克爾符號(hào)、單位張量）置

23、換符號(hào)（克羅內(nèi)克爾符號(hào)、單位張量）n置換符號(hào)的作用置換符號(hào)的作用1 for ,1,2,30 ijiji jij100010001332331232221131211ij,ijjiiijjAAAA置換符號(hào)置換符號(hào)克羅內(nèi)克爾符號(hào)克羅內(nèi)克爾符號(hào)n平衡方程平衡方程n幾何方程幾何方程n物理方程物理方程n力學(xué)（自然）邊界條件力學(xué)（自然）邊界條件n位移（約束）邊界條件位移（約束）邊界條件2,2iij jiiiuFuut)(21,ijjiijuu112ijijkkijkkkkEEE 指標(biāo)表示的彈性力學(xué)控制微分方程和邊界條件指標(biāo)表示的彈性力學(xué)控制微分方程和邊界條件iijjiTnTiiuu ,01()21ij j

24、iiji jj iijijkkijijjiiiFuuEEnTuu 疊加原理疊加原理解一解一解二解二,01()21ij jiiji jj iijijkkijijjiiiFuuEEnTuu 解一和解二的疊加解一和解二的疊加,()()01()()()21()()()ijijjiiijiji ji jj ij iijijijijkkkkijFFuuuuEE()( )()()ijijjiiiiiinTTuuuu,01()21ij jiiji jj iijijkkijijjiiiFuuEEnTuu 解的唯一性原理 解一解一 解二解二,01()21ij jiiji jj iijijkkijijjiiiFuu

25、EEnTuu 解一和解二的差解一和解二的差,1()0,()()()21()()()()0,()0ijijjijiji ji jj ij iijijijijkkkkijijijjiiuuuuEEnuuiijijijijuu圣維南原理圣維南原理 若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則此若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則此力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生影力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生影響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。若作用在物體局部表面上的外力，用一個(gè)靜力等效的若作用在物體局部表面上的外力，用一個(gè)靜力等效的力系（具有相同的主矢和主矩）代替，則離此區(qū)域較力系（具有相同的主矢和主矩）代替，則離此區(qū)域較遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì)。遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì)。 n第一種提法第一種提法n第二種提法第二種提法圣維南原理圣維南原理 圣維南原理圣維南原理 n把位移邊界轉(zhuǎn)化為等效的力邊