高中數學復習學案(第39講)兩直線的位置關系

1、題目 第七章直線和圓的方程兩直線的位置關系高考要求 掌握兩條直線相交、平行、垂直、重合等位置關系的判別方法，兩條直線的夾角公式和到角公式，點到直線的距離公式及兩條平行線間的距離公式 知識點歸納1特殊情況下的兩直線平行與垂直當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：(1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90，互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90，另一條直線的傾斜角為0，兩直線互相垂直2斜率存在時兩直線的平行與垂直：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即=且 已知直線、的方程為：，：的充要條件是 兩條直

2、線垂直的情形：如果兩條直線的斜率分別是和，則這兩條直線垂直的充要條件是已知直線和的一般式方程為：，：，則3直線到的角的定義及公式：直線按逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角,叫做到的角 到的角：0180， 如果如果， 4直線與的夾角定義及公式: 到的角是, 到的角是-,當與相交但不垂直時, 和-僅有一個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角當直線時,直線與的夾角是夾角：090如果如果， 5兩條直線是否相交的判斷兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組：是否有惟一解6點到直線距離公式：點到直線的距離為：7兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為 8

3、 直線系方程:若兩條直線：，：有交點，則過與交點的直線系方程為或+ (為常數)題型講解 例1 點關于直線的對稱點是 A（6，8） B(8，6) C（6，8） D（6，8）解：設點關于直線的對稱點為，由軸對稱概念的中點在對稱軸上，且與對稱軸垂直，則有 解得，故選D點評：對稱問題可化為點關于點對稱，點關于直線對稱的問題例2 在ABC中，BC邊上的高所在的直線方程是x2y+1=0,A的平分線所在的直線方程為y=0,若點B的坐標為(1,2),求點A和點C的坐標解：由A(1,0)又kAB=1, x軸是A的平分線, kAC=1,AC: y=(x+1), 又kBC=2, BC: y2=2(x1)由C(5,6

4、)點評：分析出圖形，是此題的要點例3 已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角邊BC在直線2+3y-6=0上，頂點A的坐標是(5，4)，求邊AB和AC所在的直線方程解：直線BC的斜率kBC，直線AC與直線BC垂直，直線AC的方程為y4（5）即32y70ABC45，kAB5或kABAB邊所在的直線方程為:y4（5）或y45（5）即5y150或5y290 說明：此題利用等腰直角三角形的性質，得出ABC45，再利用夾角公式，求得直線AB的斜率，進而求得了直線AB的方程例4 求證：不論為什么實數，直線都通過一定點證法一：取1，得直線方程；再取，得直線方程為x9從而得兩條直線的交點為(9，），又當9，時

5、，有即點(9，）在直線上，故直線都通過定點(9，）證法二：，（x21）（x5）0，則直線都通過直線210與50的交點由方程組，解得9，即過點(9，）所以直線經過定點(9，)證法三：（，（21）5由為任意實數，知關于的一元一次方程（21）5的解集為R，解得9，所以直線都通過定點(9，）例5 k為何值時，直線：yk3k2與直線：4y40的交點在第一象限解：由兩直線的交點在第一象限k1即當k1時，兩直線的交點在第一象限說明：k為何值時，兩直線的交點在第一象限，可以解兩直線的方程組成的方程組，求出交點坐標，讓橫坐標大于0，縱坐標大于0，而后解不等式組即得k的范圍例6 若，求證直線必經過一個定點證明：由

6、，且不同時為0，設0，則代入直線方程，得(）（1）0此方程可視為過直線0與10的交點的直線系方程解方程組得1，1即兩直線交點為(1，1），故直線過定點(1，1)點評：以上例題是直線系的應用問題例7 光線由點射出，遇到直線：后被反射，已知其，求反射光線所在直線的方程解：設點A關于的對稱點為，則即所求直線方程為，即 點評：以上例題是點關于直線的對稱點、直線關于點的對稱直線的求解問題例8 求直線:2+-5=0,: +3-4=0的夾角，到的角，到的角 解：由兩條直線的斜率=-2,=-，得tan=，tan1，=-點評:夾角是指兩條直線所夾的銳角，不用考慮順序一條直線到另一條直線的角(簡稱為“到角”)有直

7、線的先后順序問題，其范圍應大于0且小于 例9 求經過點(2，3)且經過以下兩條直線的交點的直線的方程：:+3y-4=0, :5+2y+6=0解法一：解方程組,所以與的交點是(-2,2)，由兩點式得所求直線的方程為,即-4y+10=0解法二:可設所求直線方程為+3y-4+(5+2y+6)=0(R），點(2，3)在直線上2334（5223）0，所求直線方程為+3y-4+(-)(5+2y+6)=0即-4y+10=0例10 求點P（3，2）到下列直線的距離： (1)y；（2）y6；（3）y軸解：(1)把方程y寫成34y10由點到直線的距離公式得d (2)因為直線y=6平行于軸，所以d6（2）8（3）d

8、33說明：求點到直線的距離，一般先把直線的方程寫成一般式，對于與坐標軸平行的直線，=a或y=b，求點到它們的距離，既可用點到直線的距離公式也可以直接寫成dx0a或dy0b例11 求與直線：5-12y+6=0平行且到的距離為2的直線的方程解：設所求直線的方程為5-12y+c=0在直線5-12y+6=0上取一點P0（0，），點P0到直線5-12y+c=0的距離為d=，由題意得=2所以c=32或c=-20所以所求直線的方程為5-12y+32=0和5-12y-20=0說明：求兩條平行線之間的距離，可以在其中的一條直線上取一點，求這點到另一條直線的距離即把兩平行線之間的距離，轉化為點到直線的距離例12

9、已知正方形的中心為G（1，0），一邊所在直線的方程為3y50，求其他三邊所在直線方程解：正方形中心G(1，0)到四邊距離均為設正方形與已知直線平行的一邊所在直線方程為3yc10則，即c11解得c15或c17故與已知邊平行的直線方程為+3y+7=0設正方形另一組對邊所在直線方程為3yc20則，即c236解得c29或c23所以正方形另兩邊所在直線的方程為3-y+9=0和3-y-3=0綜上所述，正方形其他三邊所在直線的方程分別為：+3y+7=0、3-y+9=0、3-y-3=0 說明：本例解法抓住正方形的幾何性質，利用點到直線的距離公式，求得了正方形其他三邊所在直線的方程小結： 1數形結合是解析幾何的

10、突出特點，在解解析幾何題時應予以足夠重視，并注意利用平面幾何知識加以簡化;2解析幾何問題往往在解題時入手的地方較多，但不同的解法繁簡程度則大有區(qū)別，故在平時訓練中應注意采用一題多解的方法，這樣做一可以訓練基本技能，二有利于開拓思路，優(yōu)化解題方案3直線的各種形式均有它的優(yōu)越性，應在不同的題設下靈活運用，要注意當直線斜率不存在時的特殊情況4在解析幾何中，設而不求往往是簡化計算的重要方法之一5在兩條直線的位置關系中，討論最多的是平行與垂直，在兩條直線的夾角公式中，當分子為0時，兩條直線斜率相等，平行；當分母為0時，不存在，90，垂直學生練習 1到直線2x+y+1=0的距離為的點的集合是(D )A直線

11、2x+y2=0 B直線2x+y=0C直線2x+y=0或直線2x+y2=0 D直線2x+y=0或直線2x+2y+2=02點P(mn,m)到直線=1的距離等于(A )A B C D3若A(sin，cos）、B（cos，sin）到直線xcos+ysin+p=0(p1)的距離分別為m、n，則m、n的大小關系是( A )Amn Bmn Cmn Dmn4已知點(3，m)到直線x+y4=0的距離等于1，則m等于(D )A B C D 或5直線l過點P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距離相等，則直線的方程是(C )A4x+y6=0 Bx+4y6=0C3x+2y7=0或4x+y6=0 D2x+3y7

12、=0或x+4y6=06點P(x,y)到直線5x12y+13=0和直線3x4y+5=0的距離相等，則點P的坐標應滿足的是(A)A32x56y+65=0或7x+4y=0 Bx4y+4=0或4x8y+9=0C7x+4y=0 Dx4y+4=07已知直線：A1x+B1y+C10與直線：A2x+B2y+C20相交，則方程1（A1xB1yC1）2（A2x+B2y+C2）=0,(0)表示(A )A過與交點的一切直線B過與的交點，但不包括可包括的一切直線C過與的交點，但包括不包括的一切直線D過與的交點，但既不包括又不包括的一切直線8方程(a1)xy+2a+1=0(aR)所表示的直線(A )A恒過定點(2,3)

13、B恒過定點(2，3)C恒過點(2,3)和點(2，3) D都是平行直線9點(3，9)關于直線x+3y10=0對稱的點的坐標是( A )A(1,3) B(17,9) C(1,3) D(17,9)10下列直線中與直線y+1=x平行的直線是(A )A2x3y+m=0(m3) B2x3y+m=0(m1)C2x+3y+m=0(m3) D2x+3y+m=0(m1)11已知M(1，0)、N(1，0)，直線2x+y=b與線段MN相交，則b的取值范圍是(A )A2,2 B1，1 C， D0，212已知兩點A(0,1),B(1,0),若直線y=k(x+1)與線段AB總有公共點，則k的取值范圍是( B )A1,1 B

14、0,1 C1,0 D0,+)13 直線經過原點和點（,），則它的傾斜角是（ ）A B C 或 D 答案：A14兩平行直線和間的距離是（ ）A B C D答案：B解析：化成一般式，由平行線距離公式15如果直線與直線互相垂直，那么的值等于A B C D答案：D解析：直線互相垂直，16兩直線與的夾角是（ ）A B C D 答案：B解析：17已知直線2x+y2=0和mxy+1=0的夾角為/4, 那么m的值是 (1/3或3 )5過點A(3，0)，且平行于直線的直線方程是_ 答案：18點（2，5）關于直線的對稱點的坐標是_答案：（5，2）19直線y=k(x1)(kR)表示經過點到 且不與 垂直的直線答案：(1，0)；x軸20若方程(6a2a2)x+(3a25a+2)y+(a1)=0表示平行于y軸的直線，則a的值 答案：不存在21已知直線：y=x與：y=x，在兩直線的上方有一點P，過P分別作、的垂線，垂足為A、B已知PA2，PB2求(1)P點坐標；(2)AB的值答案：(1)(0，4) （2）22三角形的三個頂點坐標分別是A(4，1)、B(7，5)、C(4,7)，求角A的平分線方程答案：7x+y29=023已知一直線被兩直線：3x+4y7=0和：3x+4y+8=0截得的