數(shù)字邏輯與電子技術(shù)第05講

1、該方法簡單、直觀、容易掌握,當(dāng)變量個(gè)數(shù)小于等于6時(shí)非常有效, 在邏輯設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。直接把真值表作為運(yùn)算工具十分不便，但如果將真值表按特定的規(guī)律進(jìn)行排列，將其變成方格圖的形式，稱為真值圖或卡諾圖。利用卡諾圖可以方便地對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡通常稱為圖解法或卡諾圖法。第五講 4.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法關(guān)于“卡諾圖”關(guān)于“余3循環(huán)碼”和“格雷碼”請(qǐng)參見 余3循環(huán)碼P75和 格雷碼P94復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)：可靠性編碼能減少錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至糾正錯(cuò)誤的編碼稱為可靠性編碼。n個(gè)變量的卡諾圖是一種由2n個(gè)方格構(gòu)成的圖形,每一個(gè)方格表示邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng), 所有的最小項(xiàng)巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關(guān)系

2、的方格陣列。因?yàn)槿我庖粋€(gè)邏輯函數(shù)都 可表示成最小項(xiàng)之和的形式, 所以一個(gè)函數(shù)可用圖形中若干方格構(gòu)成的區(qū)域來表示。1、卡諾圖的構(gòu)成定義：彼此只有一個(gè)變量不同，且這個(gè)不同變量互為反變量的兩個(gè)最小 項(xiàng)(或與項(xiàng))稱為相鄰最小項(xiàng)(或相鄰與項(xiàng)).相鄰最小項(xiàng)在卡諾圖中有三種特征，即幾何相鄰、相對(duì)相鄰和重疊相鄰。卡諾圖在構(gòu)造上具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1）n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格組成, 每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。2）卡諾圖上處在相鄰、相對(duì)、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。mo m2m1 m3 0101ABAB 0101二變量卡諾圖mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001

3、ABC00 01 11 1001ABC三變量卡諾圖00 01 11 1000011110ABCD 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD四變量卡諾圖五變量卡諾圖BC10DE0000010110100001m0m1m3m2m8m9m10m24m26m16m17m1811m11m19m25m27110111101100m6m7m5m4m14m15m12m30m28m22m23m20M13m21m31m29在五變量的卡諾圖中，除了幾何位置相鄰的最小項(xiàng)具有邏輯相鄰性之外，以圖中黑粗線為軸左右對(duì)稱位置上的兩個(gè)最小項(xiàng)也具有邏

4、輯相鄰性。AA 將邏輯函數(shù)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)在卡諾圖的相應(yīng)方格中標(biāo)以1，剩余方格標(biāo)以0或不標(biāo)。2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示“與或”式的卡諾圖表示方法：直接將表達(dá)式的“與項(xiàng)”或“最小項(xiàng)”所對(duì)應(yīng)的方格標(biāo)以1. 00 01 11 1001ABC11111可表示為：例：其它形式函數(shù)的卡諾圖表示要轉(zhuǎn)換成“與或”式再在卡諾圖上表示。注意：例 :用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解： 首先將Y化為最小項(xiàng)之和的形式 化出四變量的卡諾圖，在對(duì)應(yīng)與函數(shù)式中各最小項(xiàng)的位置上填入1，其余位置上填入0，就得到如下圖所示的Y的卡諾圖。CDAB00011110000101001001001011111110例 : 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如下圖所示

5、，試寫出該函數(shù)的邏輯式。ABC0001111001001 1 0011解： 根據(jù)定理有AB+AB=A,它表明兩個(gè)相鄰“與項(xiàng)”或“最小項(xiàng)”可以合并為一項(xiàng)，這一項(xiàng)由兩個(gè)“與項(xiàng)”中相同的變量組成，可以消去兩個(gè)“與項(xiàng)”中不同的變量。在卡諾圖上把相鄰最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格“圈”在一起可進(jìn)行合并，以達(dá)到用一個(gè)簡單“與項(xiàng)”代替若干最小項(xiàng)的目的。這樣的“圈”稱為“卡諾圈”。3、卡諾圖的性質(zhì) 0101AB1 1 0101AB1 1 0101AB1 11二變量卡諾圖的典型合并情況00 01 11 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10

6、三變量卡諾圖的典型合并情況100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111111100 01 11 1000011110ABCD1111111111四變量卡諾圖的典型合并情況. 若兩個(gè)最小項(xiàng)相鄰，則可合并為一項(xiàng)并消去一個(gè)因子，合并后的結(jié)果中只剩下公共因子。 . 若四個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排列成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去二對(duì)因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。 . 若八個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排成一個(gè)矩形組，則可合并為一項(xiàng)并消去三對(duì)因子。合并后的結(jié)果中只包含公共因子。 一個(gè)卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：1）卡諾圈中的小方格的數(shù)目為2m, m

7、為整數(shù)且mn;3） 2m個(gè)小方格可用(n-m)個(gè)變量的與項(xiàng)表示, 該與項(xiàng)由這些最小項(xiàng)中的相同變量構(gòu)成。2） 2m個(gè)小方格含有m個(gè)不同變量和(n-m)個(gè)相同變量;4）當(dāng)m=n時(shí),卡諾圈包圍整個(gè)卡諾圖,可用1表示，即n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)之和為1。4、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：第一步：畫出該邏輯函數(shù)的卡諾圖。第二步：畫合并圈。將相鄰的“1”格按2n圈為一組直到所有的“1”格全部被復(fù)蓋為止。 （與或式）第三步：將每個(gè)合并圈所表示的與項(xiàng)邏輯加。 (1)合并圈按2n越大越好，(與項(xiàng)中因子少)。 (2)合并圈個(gè)數(shù)越少越好，(與項(xiàng)數(shù)目少)。 (3)由于A+A=A，所以同一個(gè)“1”格可以圈多次。 為使簡化后的邏

8、輯函數(shù)式最簡，在畫圈時(shí)，應(yīng)注意下列幾點(diǎn)： (4)每個(gè)合并圈中要有新的未被圈過的“1”格。如果某一合并圈中所有“1”格均被別的圈所包圍，由此圈所表示的與項(xiàng)是多余的。即為冗余項(xiàng)。 例：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)100 01 11 1000011110ABCD11111111解：第一步：(1)畫出該邏輯函數(shù)的卡諾圖。1100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1*1*第二步：(2)畫合并圈。將相鄰的“1”格按2n圈為一組直到所

9、有的“1”格全部被復(fù)蓋為止。第三步：(3)將每個(gè)合并圈所表示的與項(xiàng)邏輯加。 例：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) F(A, B, C, D)=m(2, 3, 6, 7, 8,10, 12)100 01 11 1000011110ABCD111111解：100 01 11 1000011110ABCD111111注意：有一冗余項(xiàng)00 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1*1例：用卡諾圖把邏輯函數(shù) F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,15) 化簡成最簡或與表達(dá)式。10

10、0 01 11 1000011110ABCD001001011001001約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)1)、 約束項(xiàng) 例如，有三個(gè)邏輯變量A、B、C，它們分別代表一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。ABC的取值只可能是001、010、100當(dāng)中的某一種，而不能是000、011、101、110、111中的任何一種。因此，A、B、C是一組具有約束的變量。 可寫成：約束項(xiàng)：恒等于0的最小項(xiàng)5. 具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡2)、 任意項(xiàng) 有時(shí)還會(huì)遇到另外一種情況，就是在輸入變量的某些取值下函數(shù)值是1還是0皆可，并不影響電路的功能。 任意項(xiàng)：在這

11、些變量取值下，其值等于1的那些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。3)、 無關(guān)項(xiàng) 約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為無關(guān)項(xiàng) 。1.在存在約束項(xiàng)的情況下，由于約束項(xiàng)的值始終等于0，所以既可以將約束項(xiàng)寫進(jìn)邏輯函數(shù)式中，也可以將約束項(xiàng)從函數(shù)式中刪掉，而不影響函數(shù)值。 同樣即可以把任意項(xiàng)寫入函數(shù)式中，也可以不寫進(jìn)去，因?yàn)檩斎胱兞康娜≈凳惯@些任意項(xiàng)為1時(shí)，函數(shù)值是1還是0無所謂。2. 在用卡諾圖表示邏輯函數(shù)時(shí)，首先將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，然后在卡諾圖中這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上填入1。既然可以認(rèn)為無關(guān)項(xiàng)包含于函數(shù)式中，也可以認(rèn)為不包含在函數(shù)式中，那么在卡諾圖中對(duì)應(yīng)的位置上就可以填入1，也可以填入0。為此，在卡諾圖中用表示無關(guān)項(xiàng)。在化簡邏輯函數(shù)時(shí)既可以認(rèn)為它是1，也可以認(rèn)為它是0。 討論：例: 化簡具有約束的邏輯函數(shù)給定約束條件為解：采用公式化簡法無關(guān)項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用:解：采用卡諾圖化簡法例: 化簡具有約束的邏輯函數(shù)給定約束條件為ABCD001100010100100101110 例: 試化簡邏輯函數(shù)已知約束條件為解： 卡諾圖化簡法ABCD000111100001000110011011106. 多輸出函數(shù)的化簡 為使整個(gè)系