由遞推公式求通項公式六法3

1、由遞推公式求通項公式六法景泰五中 王喜民 羅耀娟 輔導教師 何成達遞推公式是給出數列的方法之一，給出數列時，必須遵循遞推關系，即由第一項求第二項，再由第二項求第三項依次遞推，如若直接求數列中某一項時，就需要由遞推公式求通項公式，筆者在初學時，對這類問題感到類型繁多，無從下手，而后在這方面進行了探究，對其解法進行分類研究，經同學討論，老師指導，形成方案.現將探究結果分類整理總結如下.方法一：公式法數學課本中介紹了兩種特殊數列（等差數列和等比數列）的通項公式：an=a1+(n-1)d和an=a1qn-1.問題中若給出形如an+1=an+p或an+1=p (p為常數）的遞推關系，就能判斷該數列為等差

2、數列或等比數列，求出基本量代入即可.例題一: 數列 an 中，a1=2，an+1=an+2，求an. 求由遞推公式得an+1-an=2，所以數列 an 是首項為2，公差為2的等差數列，代入公式可得:an= a1+(n-1)d=2+2（n-1）=2n.例題二：數列 an 中，a1=2，an+1=3an，求an.由遞推公式得=3，所以數列 an 是首項為2，公比為3的等比數列，代入公式可得:an= a1qn-1=23n-1方法二：逐差累加法 當給出數列的遞推關系為:an+1=an+f（n）時，可用此法，將鄰項逐差得： an+1-an=f(n),an-an-1=f(n-1),a2-a1=f(1)，

3、且f(n)+f(n-1)+f(2)+f(1)可求得時，兩邊累加抵消中間項，可得通向an. 例題三：數列an中，a1=1 ，an+1=an+2n ,求通項an. 由遞推關系得：an+1-an=2n，將各相鄰項逐差：an+1an=2n ,an-an-1=2，a3a2=22 a2-a1=21 .兩邊累加得:（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a3a2）+（a2-a1）=2n-1+2n-2+22+2,化簡得：an-a1= 即an=2n-2+a1=2n-1 .當n=1時也符合,所以an=2n-1.方法三：逐商累乘法： 當給出數列的遞推關系為: an=an-1f（n-1）,或者變形后為型，且f(

4、n-1)f(n-2)f(2)f(1)可求得時，將其逐項相除得：=f(n-1)， =f(n-2)=f(2)， =f(1) 兩邊累乘得：f(n-1)f(n-2)f(2)f(1).化簡得: =f(n-1) f(n-2)f(2)f(1)，最后求出.例題四：數列an中,a1=4,nan+1=(n+2)an,求an. 由遞推關系可得：于是有, , .將這（n-1）式子累乘得：= ，化簡得：, 即an= a1所以 當n2時，an=2n(n+1) . 當n=1時也符合， 所以an=2n(n+1).方法四：構造等比數列法 （1）待定系數法構造等比數列 當遞推關系為=pan-1+q（p,q為常數. )時，可構造新

5、的等比數列an+M,求得an+M后求an .例題五：數列an中， =3,=2an+1. 求通項an . 令an+1+M=p(an+M) 即an+1+M=2(an+M)，求得M=1 （也可用公式M=）， 所以由遞推關系得: an+1+1=2（an+1），所以， 所以數列an+1是首相為4，公比為2的等比數列 , 所以 +1=42n-1=2n+1 ，所以an2n+1-1，當n=1時也適應 . 即：an2n+1-1 （2）取對數構造等比數列 當給出數列的遞推關系為：an+1=panr(p， r為常數，且p0， an0）時，將遞推關系兩邊取對數得：lgan+1=rlgan+lgp ，令bn=lgan

6、，則bn+1=rbn+lgp 再利用（1）中方法構造等比數列bn+M從而求得通項bn+M ， 最后求出an.例題六：數列an中，a1=3 ， an+1=3an2 ,求an.由已知an0，在遞推關系的兩邊取對數得:lgan+1=2lg an+lg3 ,令bn=lgan ,則 bn+1=2bn+lg3 ,所以bn+1+lg3=2（bn+lg3）,即， 所以bn+lg3是首項為2lg3，公比為2的等比數列，所以bn+lg3=2lg32n-1 所以bn= 2n-12lg3-lg3，所以lgan=（2n-1）lg3, 所以.方法五：取倒數構造新數列法當給出數列的遞推關系為:（p，q為常數時).可分以下兩

7、類情況. （1）當q1時，將遞推關系兩邊取倒數, 再利用方法四中（1）構造等比數列從而求得an.例題七：數列an中，=1，=,求.兩邊取到數得利用方法四可構造等比數列，其首項為2，公比為2.所以=2,即從而求得an= （2）當q=1時，將遞推關系兩邊取倒數得：,即然后構造等差數列，利用等差數列通項公式求得,去倒數后可求得an .例題八：數列an中，a1=2,且求an .將遞推關系的兩邊取倒數得, 即,所以數列是首項為,公差為3的等差數列，所以 所以 .方法六：“和與項”互化法 當遞推關系中出現sn時，一般可利用an =s-s將“和化項”或者將“項化和”后再求an （1）“和化項”法例題九：數列

8、an 中，a1=2， sn=4an+3 ，求an .當n2時，由sn=4an +3得sn-1 =4an-1 +3 , - 得s-s=4a-4a即a=4a-4a,所以3an=4an-1 所以 所以數列an是首項為2,公比為的等比數列，所以an=2（）n-1 .當 n=1 時 也 適 應,所以通項：an=2（）n-1（2）“項化和”法例題十：數列an 中，a1=， ，求通項an 解析：當n2時,利用an =s-s將“項化和”得：s-s+2=0, 移項得：s-s=-2,兩邊同除以得：-=-2，即-=2，所以數列是首項為2，公差為2的等差數列，所以=2+（n-1）2=2n, 所以s=,由an =s-s得：an =