第9講 群的同構(gòu)與同態(tài)

1、置換群子群(1);(1),(12);(1),(123),(132);(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23);(1),(12),(23),(13),(123),(132);(1),(13),(24),(1234),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)A4, S42022/7/251正規(guī)子群正規(guī)子群：HG,，且aG，aH=Ha. 記為HG.（1）判定定理 (1) N 是G 的正規(guī)子群(2) gG, gNg1 = N(3) gG, nN, gng1N（2）|N|=t, N是G的唯一t階子群 （3）指數(shù)為2的子群2022/7/252置換群子群S3=

2、(1),(12),(13),(23),(123),(132)正規(guī)子群, S3,A3=非正規(guī)子群, , 2022/7/253群的同態(tài)與同構(gòu)定義： 群G1 ，G2，映射f:G1G2 若x,yG1，f(xy)=f(x)f(y) ，則稱 f 為G1 到G2 的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)滿同態(tài)，單同態(tài)，自同態(tài)，同構(gòu)，自同構(gòu)2022/7/254群的同態(tài)實(shí)例(1) 整數(shù)加群的自同態(tài)： fc(x)=cx，c 為給定整數(shù)(2) 模n 加群的自同態(tài)： fp(x)=(px)mod n, p=0,1,n1(3) G1=,G2=,G1 到G2 的滿同態(tài) f:ZZn, f(x)=(x)mod n2022/7/255群的同態(tài)與同構(gòu)

3、群同態(tài)只要求保持乘法運(yùn)算,即若x,yG1，f(xy)=f(x)f(y) ，若將群看成代數(shù)系統(tǒng)，則同態(tài)f 是否滿足： f(e1)=e2 ，f(x1)=f(x)12022/7/256同態(tài)映射的性質(zhì)1同態(tài)保持元素的性質(zhì)f(e1)=e2f(x1)=f(x)1f 將生成元映到生成元(滿同態(tài)時(shí))|f(a)| 整除 |a|，同構(gòu)條件下|f(a)| = |a|2022/7/257同態(tài)映射的性質(zhì)2同態(tài)保持子代數(shù)的性質(zhì)H G1 f(H) G2HG1, f 為滿同態(tài)，f(H)G22022/7/258同態(tài)保持元素性質(zhì)的應(yīng)用證明不存在同構(gòu)(反證法)例1 證明不存在到的同構(gòu).證 假設(shè)存在同構(gòu)f:Q*Q,則 f(1)=0,

4、0 = f(1) = f(1)(1)= f(1)+f(1) = 2f(1)，從而f(1) = 0與f 的單射性矛盾.2022/7/259同態(tài)核同態(tài)核 kerf = x | xG1, f(x)=e2 (1) 整數(shù)加群的自同態(tài)： fc(x)=cx，c 為給定整數(shù)(2) 模n 加群的自同態(tài)： fk(x)=(kx)mod n, k=0,1,n1(3) G1=,G2=,G1 到G2 的滿同態(tài) f:ZZn, f(x)=(x)mod n2022/7/2510同態(tài)核性質(zhì)同態(tài)核 kerf = x | xG1, f(x)=e2 (1)kerf=e1 f 為單同態(tài)(2)kerfG1，a,bG1, f(a)=f(b)

5、 akerf = bkerf2022/7/2511同態(tài)核性質(zhì)的證明(2)證：(i)顯然kerf 非空. a,bkerf,f(ab1) = f(a)f(b)1 = e2e21=e2 ab1kerfkerf 為G1 的子群，下面證明正規(guī)性.(ii)gG1, akerf,f(gag1) = f(g)f(a)f(g1)= f(g)f(g1) = f(e1)=e2(iii)f(a)=f(b) f(a)1f(b)=e2 f(a1b)=e2 a1bkerf akerf=bkerf2022/7/2512同態(tài)核性質(zhì)應(yīng)用例 設(shè)f 為G1 到G2 的同態(tài), 則f 1(f(a) = akerf ,證 aG1,xf 1

6、(f(a) f(x) = f(a) f (a)1f(x) = e2 f(a1x) = e2 a1xkerf xakerf2022/7/2513商群定義商群 G/H = Ha | aG ,其中H G定義運(yùn)算HaHb = Hab說(shuō)明：良定義性質(zhì)：Ha=Hx, Hb=Hy Hab=Hxy可結(jié)合He是單位元Ha-1是Ha的逆元2022/7/2514商群的性質(zhì)性質(zhì)：|G/H|=G:H，商群的階是|G|的因子|G|=|H| |G/H|=|H|G:H保持群G 的性質(zhì)：交換性，循環(huán)性等.2022/7/2515同態(tài)基本定理(1) H 為G 的正規(guī)子群，則G/H 是G 的同態(tài)像(2) 若G為G 的同態(tài)像（f(G)

7、=G），則G/kerf G.例：G1=,G2=,G1 到G2 的滿同態(tài) f:ZZn, f(x)=(x)mod n2022/7/2516同態(tài)基本定理推論(同態(tài)基本定理)若G為G 的同態(tài)像（f(G)=G），則G/kerf G.|f(G)|整除于|G|2022/7/2517小結(jié):集合和二元運(yùn)算構(gòu)成半群,獨(dú)異點(diǎn),群群(集合及元素)的基本性質(zhì)群G 的給定子集H 構(gòu)成子群群G 的給定子群是正規(guī)的f 是群G1 到G2 的同態(tài)映射循環(huán)群，置換群2022/7/2518題例分析2 若a * b = b，則：b * b = (a * a) * b (a * a = b)= a * (a * b) (結(jié)合律)= a * b (a * b = b)2022/7/2519題例