12　余弦定理教學(xué)設(shè)計

1、1.2余弦定理教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2. 能夠運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題教學(xué)重點：重點是余弦定理及其證明過程教學(xué)難點：難點是余弦定理的推導(dǎo)和證明教學(xué)過程：問題1：確定一個三角形的條件（判定兩個三角形全等的條件）ASA AAS SAS SSS三角形中，已知兩角一邊，可用正弦定理求出三角形的其它元素。問題2：三角形中，已知兩邊及夾角，如何求第三邊呢？（畫圖）在ABC中，已知邊AC,BC，角C，求AB。法1：（構(gòu)造直角三角形）圖2如圖2，過點A作垂線交BC于點D，則ADACsinC，CDACcosC，BDBCCDBCACcosC，所以

2、， 圖3法2：（向量方法）如圖3，因為，圖4 所以， 即 法3：（建立直角坐標(biāo)系）建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，則A （ACcosC, ACsinC），B （BC, 0），根據(jù)兩點間的距離公式，可得，所以，師：回顧剛剛解決的問題，我們很容易得到結(jié)論：在ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊長，則有成立類似的還有其他等式，（板書）正弦定理反映的是三角形中邊長與角度之間的一種數(shù)量關(guān)系，因為與正弦有關(guān)，就稱為正弦定理；而上面等式中都與余弦有關(guān)，就叫做余弦定理（引出課題）問題3：剛才問題的解題過程是否可以作為余弦定理的證明過程？設(shè)計意圖：作為定理要經(jīng)過嚴(yán)格的證明，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣學(xué)生

3、活動：經(jīng)過思考得出，若把解法一作為定理的證明過程，需要對角C進(jìn)行分類討論，即分角C為銳角、直角、鈍角三種情況進(jìn)行證明；第二種和第三種解法可以作為余弦定理的證明過程教師總結(jié)：證明余弦定理，就是證明一個等式而在證明等式的過程中，我們可以將一般三角形的問題通過作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題；還可以構(gòu)造向量等式，然后利用向量的?；驍?shù)量積將其數(shù)量化；還可以建立直角坐標(biāo)系，借助兩點間的距離公式來解決，等等 問題4：剛剛認(rèn)識了余弦定理這個“新朋友”，看一看它有什么特征？學(xué)生活動：勾股定理是余弦定理的特例 反過來也可以說，余弦定理是勾股定理的推廣；當(dāng)角C為銳角或鈍角時，邊長之間有不等關(guān)系 ，；是邊長a、b、c的

4、輪換式，同時等式右邊的角與等式左邊的邊相對應(yīng)；等式右邊有點象完全平方差，等等問題5：我們已經(jīng)解決了已知兩邊及其夾角解三角形，那么已知三邊，如何解三角形呢？設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會在使用公式或定理時，不但要會“直接使用”還要學(xué)會“變形使用”公式變形：例題：1在ABC中，求a2在ABC中，若a3,b5,c7，求最大內(nèi)角變題:在ABC中，若a：b ：c 3： 5：7，求最小內(nèi)角的余弦3.在ABC中，求c變題:在ABC中，求c變題:在ABC中，求c學(xué)生活動：練習(xí)后相互交流得出，解答題1時，直接用余弦定理；解答題2時，利用的是余弦定理的變形形式；而題3既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解決總結(jié)余弦定理在求解三角形時的適用范圍：已知三邊求任意角或已知兩邊夾角解三角形，同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢，以及利用余弦定理建立方程的解法.其實在ABC中，已知三邊、一角中的任意三個量就可用余弦定理求出第四個量。課堂練習(xí)1.在ABC中：(1)已知b8，c3，A60，求a；(2)已知a3 eq r(3) ，b7，c2，求B. (3)已知A=45，a2，c eq r(