高考二輪精品專(zhuān)題十二 復(fù)數(shù)、算法、推理證明（理）講義

專(zhuān)題專(zhuān)題12××復(fù)數(shù)、算法、推理證明命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)1．對(duì)于復(fù)數(shù)的考查，一般比較簡(jiǎn)單，通常在選擇題的前兩道題，或者填空題當(dāng)中出現(xiàn)，考查的內(nèi)容一般為復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義；2．程序框圖考查頻率有降低，不再作為必考題出現(xiàn)，考查的形式多為選擇題或填空題，考查的內(nèi)容一般為循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的輸出功能以及判斷框內(nèi)循環(huán)體結(jié)束條件的填空；3．推理與證明單獨(dú)的考查的頻率比較低，一般作為工具應(yīng)用到解題當(dāng)中．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單一、復(fù)數(shù)1．形如a+bi(a，b∈全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用大寫(xiě)字母C表示．其中a，b分別叫做復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部與虛部．2．復(fù)數(shù)相等如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．如果a，b，c，特別地，a+bi=0?a=0，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就只能說(shuō)相等或不相等，不能比較大?。?．復(fù)數(shù)的分類(lèi)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，b=0時(shí)為實(shí)數(shù)；b≠0即復(fù)數(shù)（a+bi，a，b∈R4．復(fù)平面直角坐標(biāo)系中，表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+b?對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)za5．共軛復(fù)數(shù)（1）當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a?bi(a（2）共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)①z∈R?z=z；②非零復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)?z+z=0；③z+z=2a，z?（3）兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)z，z的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)等于每一個(gè)復(fù)數(shù)的模的平方，即z?6．復(fù)數(shù)的模向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)由模的定義可知|z|=|a+bi|=r=a2+b2當(dāng)b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi表示實(shí)數(shù)a，此時(shí)r=a7．復(fù)數(shù)的加法與減法兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)就是把實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相加(減)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a，8．復(fù)數(shù)的乘法（1）復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)乘法按多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行，設(shè)z1=a+bi，則它們的積z1（2）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律．對(duì)任何z1有①z1②(z③z19．復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化，即．二、算法程序框圖（也叫流程圖、算法框圖）是由一些框圖和帶箭頭的流線(xiàn)組成的，其中框圖表示各種操作的類(lèi)型，框圖中的文字和符合表示操作的內(nèi)容，帶箭頭的流線(xiàn)表示操作的先后次序．流程圖通常由輸入框、輸出框、流程線(xiàn)、處理框、判斷框、起止框等構(gòu)成．三、推理證明1．類(lèi)比推理的常見(jiàn)內(nèi)容為：平面幾何中的點(diǎn)類(lèi)比空間幾何當(dāng)中的線(xiàn)；平面幾何當(dāng)中的線(xiàn)類(lèi)比空間幾何中的面；平面幾何中的三角形類(lèi)比空間幾何中的三棱錐；平面幾何中的圓類(lèi)比空間幾何中的球．

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．設(shè)復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)3z?1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，，因此，復(fù)數(shù)3z?1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)平面及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．2．復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z?2i)?(1+i)=2（i為虛數(shù)單位），則A．1 B．2 C．2 D．5【答案】C【解析】由(z?2i)?(1+i)=2，得∴，z=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．3．已知a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=a?2+ai（i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若z為純虛數(shù)，則A．1?2i B．1+2i C．2+i D．2?i【答案】B【解析】∵z=a?2+ai為純虛數(shù)，∴則z=2i，∴z=?2i，則1?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)，純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．4．若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z+3+i≤A．2 B．3 C．23 D．【答案】D【解析】因?yàn)閦+3+i≤3表示以點(diǎn)又z?2i表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到N0所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】常見(jiàn)的復(fù)數(shù)與軌跡的結(jié)論：（1）z?z0=rr>0：表示以（2）z?z1+z?z（3）z?z1+z?z（4）z?z1?z?z5．復(fù)數(shù)z=1+i+i2+A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【解析】z=1+i+?1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1，1，在第一象限【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．若2?i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b=0的一根，則A．1 B．?1 C．9 D．?9【答案】A【解析】由題意可得2?i2+a2?i所以，解得，因此，a+b=1，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)原理，即實(shí)系數(shù)一元n次方程如果有虛根，他們的虛根成對(duì)出現(xiàn)，且互為共軛，考查了復(fù)數(shù)模的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．7．若(a+bi)i=1?bi，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則ab等于（）A． B．?1 C．0 D．1【答案】B【解析】因?yàn)?a+bi)i=1?bi，所以?b+ai=1?bi，所以?b=1，a=?b，所以所以ab=?1，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算問(wèn)題，也考查了復(fù)數(shù)相等問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．8．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，其中的“更相減損術(shù)”可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這是一個(gè)偉大創(chuàng)舉．其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之”．下面的程序框圖體現(xiàn)了該算法的主要過(guò)程，若輸入m=168，n=105，i=1時(shí)，則輸出的結(jié)果為（）A．m=21，i=4 B．m=21，i=5C．m=23，i=4 D．m=23，i=5【答案】B【解析】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入：m=168，n=105，i=1，m>n，則m=63，n=105，i=2；m<n，則m=63，n=42，i=3；m>n，則m=21，n=42，i=4；m<n，則m=21，n=21，i=5；i=5，滿(mǎn)足m=n，輸出m=21，i=5，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，屬于基礎(chǔ)題．9．如圖是一個(gè)計(jì)算：2019?2017+2015?2013+????5+3A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，2019，故空白處應(yīng)該填n=n?2，排除B、D；當(dāng)n=2019輸入后，，選項(xiàng)A：符合，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)程序框圖補(bǔ)充條件，屬于基礎(chǔ)題．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)S=4，那么判斷框內(nèi)可以填寫(xiě)的是（）A．k≥7? B．k≤7? C．k≥6? D．k≤6?【答案】C【解析】k=1，，，，，S=4，m=?1，故填k≥6?，【點(diǎn)評(píng)】本題考查算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)程序框圖補(bǔ)充條件，屬于基礎(chǔ)題．11．甲?乙?丙三人從紅，黃?藍(lán)三種顏色的帽子中各選一頂戴在頭上，各人帽子的顏色互不相同，乙比戴藍(lán)帽的人年齡大，丙和戴紅帽的人年齡不同，戴紅帽的人比甲年齡小，則甲?乙?丙所戴帽子的顏色分別為（）A．紅?黃?藍(lán) B．黃?紅?藍(lán) C．藍(lán)?紅?黃 D．藍(lán)?黃?紅【答案】B【解析】丙和戴紅帽的人年齡不同，戴紅帽的人比甲年齡小，故戴紅帽的人為乙，即乙比甲的年齡小；乙比戴藍(lán)帽的人年齡大，故戴藍(lán)帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年齡大或乙比丙的年齡大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年齡大，即戴藍(lán)帽的是丙；綜上，甲?乙?丙所戴帽子的顏色分別為黃?紅?藍(lán)，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)及創(chuàng)新意識(shí)，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．邏輯推理題通常借助表格或圖進(jìn)行求解，把數(shù)學(xué)對(duì)象之間的邏輯關(guān)系表示出來(lái)進(jìn)行判斷即可．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí)，從n=k到A．2k+2 B．2(k+1)+1C．[(2k+2)+(2k+3)] D．(k+1)+1【答案】C【解析】當(dāng)n=k時(shí)，左邊=1+2+3+?+(2k+1)，共當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1+2+3+?所以從n=k到n=k+1，等式左邊需增添的項(xiàng)是[(2k+2)+(2k+3)]，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)為數(shù)學(xué)歸納法，考生需要熟悉數(shù)學(xué)歸納法的形式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題．13．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z=________．【答案】2【解析】因?yàn)?，所以z2=?4設(shè)z=a+bi，則z2故a2?b聯(lián)立，解得a=0，，則z=a2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．14．如圖所示，滿(mǎn)足如下條件：①第n行首尾兩數(shù)均為n；②表中的遞推關(guān)系類(lèi)似“楊輝三角”．則第n行的第2個(gè)數(shù)是__________．【答案】【解析】由圖表可知第n行的第2個(gè)數(shù)為：，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，考查歸納推理，掌握歸納推理找規(guī)律的方法是解題的關(guān)鍵．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、填空題．1．設(shè)b、c均為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+bx①存在b、c，使得該方程僅有兩個(gè)共軛虛根；②存在b、c，使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根．其中正確的是（）A．①與②均正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②均不正確【答案】A【解析】令b=0，c為正實(shí)數(shù)，則存在兩個(gè)共軛的虛根，如，則存在兩個(gè)共軛虛根，x=±i，故①正確；若x為實(shí)數(shù)，則方程可看做x2+bx若x為虛數(shù)，則設(shè)x=m+ni，m，n∈R等價(jià)于m2?n又x為虛數(shù)，所以n≠0，則有m=0，即?n2+bn+c=0只需即可，如b=?3，a=2，方程有?1，?2，1，2四個(gè)實(shí)根，有，兩個(gè)虛根故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解，屬于中檔題．易錯(cuò)點(diǎn)：（1）根為復(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)x=m+ni，代入計(jì)算，可得m=0；（2）把握求實(shí)根和虛根時(shí)，兩個(gè)方程之間的關(guān)系，b，精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題一、選擇題．1．復(fù)數(shù)2+2i?|3A．0 B．2 C．?2i D．2i【答案】D【解析】因?yàn)?，所?+2i?|3?i|=2+2i?2=2i【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2A．1 B．2 C．2 D．5【答案】C【解析】由題意，復(fù)數(shù)z1可得，則，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模屬于基礎(chǔ)題．3．如圖是求數(shù)列，，，，，，，前6項(xiàng)和的程序框圖，則①處應(yīng)填入的內(nèi)容為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】判斷框中的條件應(yīng)該滿(mǎn)足經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到，經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到，經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到，…故判斷框中的條件應(yīng)該為，故應(yīng)選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查補(bǔ)全程序框的條件，屬于基礎(chǔ)題．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有人持五金出關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，…，”．源于問(wèn)題所蘊(yùn)的數(shù)學(xué)思想，設(shè)計(jì)如圖所示程序框圖，運(yùn)行此程序，輸出的結(jié)果為等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】第一次執(zhí)行循環(huán)，，i=1+1=2，S<60，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；第二次執(zhí)行循環(huán)，，i=2+1=3，S<60，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；第三次執(zhí)行循環(huán)，，i=3+1=4，S<60，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；第四次執(zhí)行循環(huán)，，i=4+1=5，S<60，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；第五次執(zhí)行循環(huán)，，i=5+1=6，S=60，結(jié)束循環(huán)，輸出i=6．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．由正整數(shù)組成的數(shù)對(duì)按規(guī)律排列如下：1，1，1，2，2，1，1，3，2，2，3，1，1，4，2，3，A．第351位 B．第353位 C．第378位 D．第380位【答案】B【解析】2019=3×673（673為質(zhì)數(shù)），故或者，m，n∈得，，在所有數(shù)對(duì)中，兩數(shù)之和不超過(guò)27的有個(gè)，在兩數(shù)之和為28的數(shù)對(duì)中，(2，26)故數(shù)對(duì)(2，26【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，等差數(shù)列的求和，屬于中檔題．二、填空題．6．已知（i為虛數(shù)單位），則z=_________．【答案】【解析】因?yàn)閕4=1，所以，所以，所以，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)的計(jì)算常見(jiàn)題型：（1）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接利用四則運(yùn)算法則；（2）求共軛復(fù)數(shù)是實(shí)部不變，虛部相反；（3）復(fù)數(shù)的模的計(jì)算直接根據(jù)模的定義即可．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果n=6，則t的取值范圍是_________．【答案】（或?qū)懗桑窘馕觥坑桑琻=2；，n=3；，n=4；，n=5；，n=6退出結(jié)束，則，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查程序框圖的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+?+25n?1?n∈【答案】5【解析】當(dāng)n=k時(shí)，原式為：，當(dāng)n=k+1時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng)，故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法，考生需熟悉數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，屬于基礎(chǔ)題．9．我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)