2023高考真題知識(shí)總結(jié)方法總結(jié)題型突破：44 導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題(學(xué)生版)

專題44導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題【高考真題】1．(2022·全國(guó)乙文)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．2．(2022·全國(guó)乙理)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．3．(2022·新高考Ⅰ)已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【方法總結(jié)】1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)(其中g(shù)′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)利用零點(diǎn)存在性定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2．求解函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)問題的3步驟第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；第三步：結(jié)合圖象求解．3．利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用零點(diǎn)的存在性定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．【題型突破】1．已知函數(shù)f(x)＝xex＋ex．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)討論函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R．(1)當(dāng)m＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．3．已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a>0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(1,2)x2－ax－f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．已知函數(shù)f(x)＝lnx－aex＋1(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．函數(shù)f(x)＝ex－2ax－a．(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．6．已知函數(shù)f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)討論y＝f(x)和y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－a,sinx)－2(a∈R)．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；(2)當(dāng)a>0時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在x∈(0，π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．8．已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4．(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明h(x)在R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)．9．(2018·全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．10．(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．①eq\f(1,2)＜a≤eq\f(e2,2)，b＞2a；②0＜a＜eq\f(1,2)，b≤2a．11．(2020·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．12．(2021·全國(guó)甲)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．13．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2＋2x，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求f(x)的極值；(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．14．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋eq\f(1,2)．(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)的圖象與直線y＝bx有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．15．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋1)，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx－e．(1)求a，b的值；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－3ex－m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx．(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[eq\r(2)，e]上有兩個(gè)不等的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．(2021·浙江卷節(jié)選)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)