第2章泛函變分的基礎(chǔ)概念

第2章泛函極值問題的一些基本概念§2.1泛函的極大值和極小值問題如果函數(shù)y（x）在x=x0附近的任意點上的值都不大（?。┯趛（%）,也即dy=y（x）-y（x0）<0（>0）時：則稱函數(shù)y（x）在x=x0上達到極大（極?。以趚=x0上，有000dy=0（2-1）對于泛函n[y（x）],也有類似的定義。如果泛函n[y（x）]在任何一條與y=y0（x）接近的曲線上的值不大（或不?。┯趎[y0（x）]，也就是，如果沮=n[y（x）]-n[y0（x）]<0（或>0）時，則稱泛函n[y（x）]在曲線y=y0（x）上達到極大值（或極小值），而且在y=y0（x）上，有an=0（2-2）在這里，對于泛函的極值概念有進一步說明的必要，凡說到泛函的極大（或極?。┲?，主要是說泛函的相對的極大（或極?。┲担簿褪钦f，從互相接近的許多曲線來研究一個最大（或最小）的泛函值，但是曲線的接近有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小的定義里，還應(yīng)說明這些曲線有幾階的接近度。如同一般函數(shù)極大（極?。┯懻撘粯?，如果泛函在y=y0（x）曲線上有強極大（極?。┲?，不僅對于那些既是函數(shù)接近而且導(dǎo)數(shù)也接近的y（x）而言是極大（極?。┲?，而且對于那些只是函數(shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的y（x）而言，也是極大（極?。┲担苑汉趛=y0（x）曲線上是強極大（極?。┲禃r，也必在y=y0（x）上是弱極大（極?。┲?。反之，則不然，即泛函在y=y0（x）曲線上有弱極大（極?。┲禃r，不一定是強極大（極?。┲?，因為有可能對于那些只是函數(shù)接近但導(dǎo)數(shù)不接近的y（x）而言，有一個比函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都接近的y（x）所求的極大（極?。└螅ㄐ。┑臉O大（極小）值存在。所以弱極大（極?。?，不能滿足強極大（極?。┑囊蟆＿@一概念可以推廣到包含多個函數(shù)的泛函中去。§2.2求解泛函極值的歐拉方程變分法的早期工作是如何將泛函駐值問題轉(zhuǎn)化為微分方程問題。當(dāng)把泛函的駐值問題轉(zhuǎn)化為微分方程時，第一步工作就結(jié)束了，下一步是如何求解這一微分方程。這種求解方法在實際應(yīng)用上碰到很大的困難。自從里茲提出直接求泛函極值的近似法（里茲法）以后，人們才認識到直接從泛函極值出發(fā)，而避免從微分方程式出發(fā)更為有效與方便，這樣的處理方法可以充分利用電子計算機的作用。于是人們研究的目標(biāo)有所轉(zhuǎn)移，即把原來從泛函駐值問題化為微分方程問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榘盐⒎址匠虇栴}轉(zhuǎn)變?yōu)槎x一個泛函，而成為泛函求駐值的問題。對于前一種問題由歐拉、拉格朗日等已建立了一套比較成熟、比較系統(tǒng)的方法，而對于后一類問題，雖然正在大力進行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，還是根據(jù)微分方程物理和工程背景，采取嘗試和核對的方法，即先試猜一個泛函的極值和駐值問題，然后再核對一下，看它是否與原來的微分方程問題等價。這種方法在以后的變分原理中將經(jīng)常用到?，F(xiàn)在研究最簡單泛函（2-3）式的極值問題所得到的歐拉方程，其中能確定泛函極值曲線

y=y(x)的邊界是固定不變的，而且有y(x)=y,y(x)=y，函數(shù)F(x,y,y')將認為是1122三階可微的。n=jx2F[x,y(x),y'(x)]dx(2-3)x首先讓我們用拉格朗日法來求泛函的變分n[y+s8y]=jx2F[x,y+s8y,y'+s8yr]dxx于是有10n[y+sby]=jx2{°F[x,y+sby,y'+￡8y']8y+次’xiayaF[x,y+sSy,y+sby]Sy}dxay讓￡—。，得sn=an[y+￡gy]I=jx2[aFSy+dFby']dx

a^i。氣ayay,其中aF=FF(x,y,y')，當(dāng)=5F(x,y,y')ayayayay而且jx2土yrdx=jx2{S[竺Sy]-—(竺)Sy}dx%ayxidxay,dxay,對于固定邊界條件，因為有Sy(x2)=Sy(xi)=。，所以jx2竺Syrdx=-jx2—(aF)Sydxxiay,xidxay,將(2-5)式代入(2-4)式，得到變分極值條件1Sn=jx2[翌-—(aF)]Sydx=0%aydx8y，根據(jù)變分法的基本預(yù)備定理，求得本題的歐拉方程為翌-A(翌)=oaydx8y，(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)這里必須指出，上式中的第二項是對x的全導(dǎo)數(shù)，不是偏導(dǎo)數(shù)，且F=F(x,y,y')，所以dQFa2Fa2Fdya2Fdyf廠〃(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)—(——)=++=F"+F"y'+F"y"(2-8)dxay'axdyraxdyrdxay'2dx可巧’y'y'其中F"，F(xiàn)"，F(xiàn)"都是F(x,y,y')對x,y,y'的二階偏導(dǎo)數(shù)。y'=史，y"=^UL，所以/、'[，[，[[,,,?z,。/d.x'’d.尤，//i*>**、歐拉方程(2-7)式也可以寫成F-F"-F〃yJF〃y〃=0(2-9)y頑yyyy這就是1744年歐拉所得的著名方程。該方程也被稱為歐拉-拉格朗日方程。(2-9)式是關(guān)于y(x)的一個二階微分方程，其積分常數(shù)有兩個匕和c2,它的積分曲線y=y(x,ci,c2)叫做極值曲線，只有在這族極值曲線上，泛函(2-3)式才能達到極值，積分常數(shù)是由極值曲線通過y(x)=y，y(x)=y這兩個端點條件所決定的。1122

把泛函的變分作為泛函增量的主部，也同樣得到歐拉方程Q-7）式及（2-8）式。求泛函增量主部的過程實質(zhì)上與求微分的過程非常相似。例如從（2-3）式，因為積分限是固定的（不變的），所以有sn=Sjx2F（x,y,y'）dx=j%豚（x,y,y'）dxTOC\o"1-5"\h\zxx其SF是從y，y'增量引起的，其主部為1，dFdF，豚(x,y,y)=標(biāo)8"寥5y于是得到（2-4）式，這和拉格朗日法得到的變分表達式是相同的。這里還應(yīng)指出，（2-9）式這樣的歐拉方程，有下列四種特殊的情況，應(yīng)該予以注意。(2)F(x,y,y')和x無關(guān)，即F=F(y,y')（2-10）于是(2-9)式可以寫成F'-F"y'-F"y〃=0（2-11）yyy'y'y'上式可以簡化為—(F—名y')=0dxdyf（2-12）一次積分后f-^Ly=c（2-13）8y1其中c］為積分常數(shù)。（2）F（x,y,y'）和y無關(guān)，即F=F（x,y'）（2-14）代入（2-7）式，得-d（fF）=0（2-15）dxfy積分得fF=c（2-16）fy,其中c為積分常數(shù)。（3）F（x,y,y'）和y'無關(guān)，即F=F（x,y）（2-17）于是歐拉方程為F'（x,y）=0（2-18）y它不是微分方程，不包含什么特定常數(shù)，一般情況，所討論的變分問題不存在，只在個別的情況下，當(dāng)曲線（2-18）式通過固定端點時，才存在可能達到極值的曲線。（4）F（x,y,y'）是y'的線性函數(shù)，即FG,y,y'）=P（x,y）+Q（x,y）y'（2-19）于是歐拉方程為fP+fQy-dQ=0（2-20）fyfydx

但是dP_dOdQ,———十—ydydx但是dP_dOdQ,———十—ydydxdy(2-21)(2-22)(2-22)dydx它也不是一個微分方程式，因為它沒有y'項，一般說來它不滿足固定端點條件，因此，變分問題根本不存在?，F(xiàn)在我們將上述變分問題推廣到含有高階導(dǎo)數(shù)的泛函的極值問題和泛函變分得到的歐拉方程。我們研究泛函n[y(x)]=ix2F[x,y(x),y'(x),y〃(x),…，y(n)(x)]dx(2-23)xixi的極值，其中泛函f被認為對于y(x)，y'(x)，y〃(x)，...，y(n)(x)是n+2階可微的，并且假定，端點上有固定條件y(x)=y，y'(x)=y，y〃(x)=y，???，y(n一d(x)=y(n-d11111111>(2-24)y(x)=y，y'(x)=y'，y"(x)=》〃，???，y(n-1)(x)=y(n-1)22222222)端點上不僅給出函數(shù)值，而且還給出直至n-1階導(dǎo)數(shù)的值。我們將假定，極值在2n階可微曲線y=y(x)上達到。用上面相同的求泛函變分方法，我們可以證明：.dFdFdFdF用上面相同的求泛函變分方法，我們可以證明：.dFdFdFdFsn=fx2{——Sy+—8y'+——8y〃+...+Sy(n)}dxx1dydyrdy"dy(n)/其中用簡略符號Sy代替Sy(x)，Sy(k)代替Sy俄)(x)=祟\by(x)]。dxk積分(2-25)式中的第二項可以分部積分一次，得Jx2dFd(Sy)dx=dFSyIx2-fx2—(dF)Sydxx〔dyd?刃dy,)x2%dx*dy,"將積分(2-25)式中第三項分部積分兩次，得1Jx2dF蟲(Sy)dx=dFSy'I-—(dF)SyI%+Jx2蟲(2)Sydx22%dydx2dy%dxSyx%dx2dy最后一項經(jīng)過n次分部積分后，得J%王也(Sy)dx=仝Sy(n-1)Ix2-_!(堂)y(n-2)Ix2+22%dy(n)dxndy(n)%dxdy(n)%dndFc...+(-1)〃J%京(d—)Sydx根據(jù)變分法的預(yù)備定理，(2-25)式為零時，得1,ddFd2dFdndFF-(——)+——(——)+…+(-1)n——()=0ydxdydx2dydxndy(n)(2-25)(2-26)(2-27)(2-28)(2-29)這是y=y(x)的2n階微分方程式，一般稱之為泛函(2-23)式的歐拉-泊桑方程，而它的積(2-30)梁的位能等(2-31)圖2-1梁在橫向載荷作用下的彎曲dx21/dw(2-30)梁的位能等(2-31)圖2-1梁在橫向載荷作用下的彎曲dx21/dw、1+（刀）2

dxd2w一蘭32dx2【例2-1】梁在橫向載荷作用下的彎曲問題，就是含有較高階導(dǎo)數(shù)的泛函極值問題的一個例子。設(shè)梁的抗彎剛度為矽，兩端固定，在橫向分布載荷q(x)作用下發(fā)生彎曲變形(或稱撓度)w3)，如圖2-1所示。端點固定條件為w(0)=w'(0)=01w(L)=w'(L)=0j在梁達到平衡時，其總位能達到最小值。于梁在彎曲時所貯存的彎曲能，它等于1U=\l_eJx2dx02其中X為梁彎曲后的曲率，它和撓度w(x)的關(guān)系為這里假定撓度很小，略去高次項。(2-31)式可以寫成1d2wU=JL—EJ(-)2dx02dx載荷q(x)在變形w(x)上的位能為V=-JLq(x)w(x)dx(2-32)0于是，梁所形成的總位能n為n=U+V=JLE1EJ(^-)2-q(x)w(x)]dx(2-33)02dx梁的平衡條件為w(x)使總位能達到最小值，即an=0。于是利用變分計算，并利用固定端條件(2-30)式，得sn=JL[EJW-q(x)]Sw(x)dx=0(2-34)0dx4利用變分法的預(yù)備定理，求得梁的平衡方程為這就是歐拉一泊桑方程。注意到滿足端點位移約束條件的虛位移。下面討論另一種形式的泛函n(中,中，中這就是歐拉一泊桑方程。注意到滿足端點位移約束條件的虛位移。下面討論另一種形式的泛函n(中,中，中)=d4wEJ--q(x)=0dx4(2-34)式在靜力學(xué)中被稱為虛位移原理，8w(x)就是JJF（中,中,①）dxdy+JG（①）ds(2-35)的歐拉方程。函數(shù)中中(x,y)在域R內(nèi)連續(xù)，其邊界S由Sb和Sc組成中=中b(在Sb上)Sc其中8①中b為給定的，式中中=~8x8①8y現(xiàn)在對(2-35)泛函取一次變分，得到TOC\o"1-5"\h\z8Fs8Fs8F8G,8H=JJ[合中8中+合中8①+8①&①]dxdy+J合中8①ds(2-36)RxySc因為8中=8竺上8中，8中=8竺工8中8x8xy8y8y（2-36）式等號R8中您n?右邊第一個積分中的末兩項可化為丑8①］dxdy=JJ芭（-^8中）+—（-^8中）］dxdy-r8x8①8y8中88F88FJJR［8（亦）+哥（不琪中岫

xy8（2-36）式等號R8中您n?右邊第一個積分中的末兩項可化為丑8①］dxdy=JJ芭（-^8中）+—（-^8中）］dxdy-r8x8①8y8中88F88FJJR［8（亦）+哥（不琪中岫

xy8F利用高等數(shù)學(xué)中的格林公式JJ(^^+—)dxdy=J(Qdy一Pdx)R8x8yS上式可化為肚8FR8F8①+8①]dxdy=J[(-^8中)dy-(-^8①)dx]-ys8①8①xyJJ[—(主)+—(必)]8①dxdyr8x8①8/8①1y為周邊法線的方向余弦)代入上式，并引入邊界Sb上的給將dy=1ds，定條件，再代回（2-36）式中，可得JJ［竺-—（-^）-—（_^）］8①dxdy+J［竺+1+1］8①ds=0R8①8x8①8y8①S8①x8①y8中因為8①為在不同域的任意變分量，"由變分法的預(yù)備定理，可以泰得歐拉方程為8F88F88F一（）一（）=0（在R域內(nèi)）8①8x8①8y8①dx=-1dsy(2-37a)8G8F8F8￥+x8^+y8^=（在c上）xy§2.3含多個待定函數(shù)的泛函及其歐拉方程，哈密頓原理(2-37b)讓我們把上一節(jié)的泛函極值和歐拉方程推廣到含多個待定函數(shù)的泛函極值問題。設(shè)有泛函n[y,y，…y]=J%F(x,y,y…y,y',y',…，y',?12i12i12ixiy(n),y(n)...y(n))dx(2-38)其中*=yk（x）（k=1，2，.，i）為i個待定函數(shù)，=y'(x)，y〃=y〃(x)，…，kkky(n)=y(n)3)分別表示一階，二階，…，n階的導(dǎo)數(shù)，設(shè)這些函數(shù)有端點值kky(X)=y，y'(X)=y'，…，y(n)(x)=y(n)

k1kik1kik1kiy(x)=y，y'(x)=y'，…，y(n)(x)=y(n)k2k2k2對所有的x，y(j)(j=1，2，…，n；k=1，2，…，kyk(X)(k=1,2,..?i)是2n階可微的。泛函n[y,y，…，y]的變分極值條件為12i婦，2[生5y+生時+生5y〃+…+也xdy1dy1dy"1By(n)11111BFBFBFBF—5y+―8y'+―&y+...+——5y(n)]dx=0ByiByiByiBy(n)i通過分部積分，并利用端點固定的條件，即利用iby(j)(x)=0,by(j)(x)=0]k1k2>(j=1,2,-,n),(k=1,2,...,i)J后，可以把(2-40)式化為sn=fx2[生-■!(生)+-dL(BF)—...+(-1)n勺(-^)]bydx+xBydxBydx2BydxnBy(n)111111rBFdBFd2BFdnBFjx2[(—)+一(—)-...+(-1)n一()]bydx+xBydxBydx2BydxnBy(n212222k1,k-k2’2i)而言，F(xiàn)都是k(n+2)階可微的(2-39)待定曲線(2-40)(2-41)(2-42)TOC\o"1-5"\h\zxBydxBydx2BydxnBy(n)i1iiii利用上節(jié)相同的方法，我們可以得到i個歐拉方程BFd,BF、d2‘BF、,d?BF、八)+一(——)-……+(-1)n一()=0Bydxdy'dx2By"dxnBy(n)kkkk(2-43)(k=1,2,…n)這是決定y,y，…，y的i個待定函數(shù)的(2-43)12i現(xiàn)在我們研究力學(xué)中的一個基本變分原理：哈密頓(Hamilton)原理(或稱為最小作用量原理)，該原理可敘述為：質(zhì)點系滿足某些約束條件的運動，必使積分“作用量”(2-44)A=j匕(T-U(2-44)t成極值(最小值)。其中T，U分別表示質(zhì)點系的動能和位能，t為時間。滿足某些約束條件是指質(zhì)點系滿足下列邊值條件：在t=t[時，[x(t),y(t),z(t)]=[x(t),y(t),z(t)]、(2-45)iiii1i1i1I(2-45)在t=t2時，[x(t),y(t),z(t)]=[x(t),y(t),z(t)]iiii2i2i2J如果質(zhì)點的質(zhì)量為m(i=1,2,-n)，坐標(biāo)為(x,y,z)，作用在質(zhì)點上的力F是以-Uiiiii為力函數(shù)(即勢函數(shù))的

[「E，「廣_節(jié)，廣—云iii而勢函數(shù)U只依賴于質(zhì)點的坐標(biāo)，這是一個保守力場，即(i=1,2,…，n)U=U(x,y,z;x,y,z;x,y,z)111222nnn動能是T=—^m(x2+[「E，「廣_節(jié)，廣—云iii而勢函數(shù)U只依賴于質(zhì)點的坐標(biāo)，這是一個保守力場，即(i=1,2,…，n)U=U(x,y,z;x,y,z;x,y,z)111222nnn動能是T=—^m(x2+y2+z2)i=1其中x,y,z分別代表%,華,dziiidtdt其中i-,i-,idtdtdtOA=O"2t1，最小作用原理(即哈密頓原理)要求(T—U)dt=ft2(OT—OU)dt=0t1OT='^m(x.ox.+yOy+zOz)=15寸熱仗au仗OU=E(Ox+—Oy+i=1玄'代'au、——oz)dzii=—E(FOx+FOy+FOz)i=1(2-46)(2-47)(2-48)(2-49)(2-50)J12￡m(xox+yoy+zOz)dt=tiiiiiii1i=1—Jt2Em(xOx+yOy+zOz)dttiiiiii1i=1(2-51)于是哈密頓原理可以寫為J12E[(mx一F)Ox+(my一F)Oy+(mzF)Oz]dt=0(2-52)iix.iiiy,iiiz.i1i=1由于Ox.,Oy’,Oz.為任意的獨立變分，所以得到歐拉-泊桑方程F=mx，F(xiàn)=my，F(xiàn)=mz(i=1,2,…，n)(2-53)x,iiy,iiz.ii這就是n個質(zhì)點的3n個牛頓運動方程式?！瘡纳鲜龅挠懻撝胁浑y發(fā)現(xiàn)，最小位能原理等價于靜力平衡方程。而哈密頓原理等價于牛頓運動方程。如果運動還受另外一組獨立關(guān)系中(t,x,x,…x;y,y,…y;z,z,???[)=0TOC\o"1-5"\h\zj12n12n12n(j=1,2,…，m,mv3n)(2-54)的約束，則獨立變量只剩下3n-m個。如果我們用3n-m個新的變量(或稱廣義坐標(biāo))q，q，，q來表示原來的變量x來表示原來的變量x,y,z，iiix=x(q,q，…q,t)ii123n一m(2-55)y=y(q,q，…q,t)}(i=1,2,…,n)ii123n一mz=z(q,q，…q,t)ii123n一(2-55)則U、T可以寫成U=U(q,q，…，q,t)123n-mT=T(q,q，…q,q,q，…，q,t)122n-m123n-m于是哈密頓原理或最小作用量原理可以寫成經(jīng)過部分積分可以為而歐拉一泊桑方程為習(xí)慣上，人們把由=Jt23四[428q+艾詞]dt=0t1.=1呵1呵1"J12勿[^U!+g匹靦dt=0

ti,]dqdt6qia(T-U)dST()=0，Sqdt6qi=1,2,…,2n一m稱為拉格朗日函數(shù)。于是哈密頓原理可以寫成由=5Jt2Ldt=勿Jt2［況-d（況靦dtt1.=1t1Sq.dtaqi而歐拉-泊桑方程為1Z_1'SLdSL—（）=0（i=1,2,…,3n一m）SqdtSq在理論力學(xué)中，方程組（2-62）是著名的拉格朗日方程。上面用q稱為“廣義坐標(biāo)”，（2-59）、（2-62）式都是用廣義坐標(biāo)表示的。i定要用真正的坐標(biāo)或位移來表示，這樣就顯得靈活與方便得多。（2-56）（2-57）（2-58）（2-59）（2-60）（2-61）（2-62）其優(yōu)點是不一【例2-2】如圖2-2所示的耦合擺，它們之間以彈簧相連，若略去擺的重量，取01，02,03為廣義坐標(biāo)，于是動能和勢能分別為T=2ma2(02+02+02)(2-63)123U=—Ka2(sin0一sin0)2+上Ka2(sin0一sin0)2+2122232mga[(1-cos0)+(1-cos0)+(1-cos0)]123(2-64)對于微振幅的擺動而言，sin0?0，1-cos0^上02

2于是圖2-2耦合擺的運動U=1Ka2[(0-0)2+(02122-03)2]+mga(02+02+02)拉格朗日方程為SL-d(SL)=0,SL-d(SL)=0,S01dtS01S02dtS02SL-d(SL)=0S0dtS033（2-65）（2-66）將L=T-U代入，即得4mga20=-Ka2（0-0）一2mgaQ.1i2i4mga20=-Ka2（20-0-0）一2mga0>（2-67）4mga20=-Ka2（0-0）-2mga03323由以上三式，即可求得0「02,03。我們也可以在m個（2-54）式的約束條件下用廣義坐標(biāo)來求非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。非保守系統(tǒng)沒有這樣一個勢函數(shù)U，但我們可以把外力F,F,F對汲，Sy,&作的功用氣yiziii廣義坐標(biāo)qk的變分S匕對廣義力Qk作的功來表示。設(shè)***因為￡i=1(FSx+FSy+FSz)因為￡i=1(FSx+FSy+FSz)=

xiiyiizi無QSqkkk=1（2-68）<祐dx<Sx=^^—」Sq，

ikidqkSyik=1將上式代入（2-68）式，有關(guān)Sq的系數(shù)給出dxiidq

kk

=￡(Fi=i這就是廣義力的表達式。祐dy<=^^—」Sq

dq

kegdzeSz=^^—」Sq1k=1dqkdyi+F

dqzk氣)dqk（2-69）于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以寫成（2-70）SA=J‘2(ST+勿QSq)dt=0

t（2-70）1k=1或可寫成（2-71）SA=習(xí)（攵-A江+Q）Sqdt=0

tdqdtdq（2-71）d,dTdT^―)-^=Q(k=1,2,...,3n—m)dtdqdqkkk(2-72)于是由在非保守力場中的運動方程（即拉^格朗日方程）廣義坐標(biāo)在理論力學(xué)中受到重視的原因，不止一個。廣義坐標(biāo)使力學(xué)系統(tǒng)的描述不受坐標(biāo)選用的限制。如果我們把一組廣義坐標(biāo)q換置為另一組廣義坐標(biāo)iq=q（q,q,…，q）d,dTdT^―)-^=Q(k=1,2,...,3n—m)dtdqdqkkk(2-72)SA=Sjt2(T-U)dt=0仍舊給出拉格朗日方程（運動方程）為竺-1（竺）=0dqdtdq其形狀和坐標(biāo)無關(guān)。'用廣義坐標(biāo)的變分原理較易于求得近似解。(i=1,2,…p)(2-73)(2-74)許多平面問題，如彈性板的彎曲、平面應(yīng)力或應(yīng)變問題、軸對稱問題等都有x,j或尸,z兩個自變量，其它問題諸如彈性振動、平面熱傳導(dǎo)、彈塑性理論等有三個或四個自變量，這一類問題在力學(xué)物理中非常重要，也是變分法中的主要方面。這類泛函極值問題本質(zhì)是類似的。首先研究泛函TOC\o"1-5"\h\z88n[w（x,y）]=F[x,y,w（x,j）,丁w（x,j）,丁w（x,j）]dxdj（2-75）\o"CurrentDocument"s8x8y的極值問題。其中函數(shù)w（x,y）在域S的邊界C上的值已經(jīng)給出，即在邊界C上w（x,y）為已知。記（2-76）（2-77）8w8w~8X—Wx'~8J—Wy8Fc（2-76）（2-77）8Fc8Fcdw+——dw]dxdyyv^8w8<ow=0=ow，而且ffr8F_on=JJ[—&w+S8w8wx8w8c根據(jù)函數(shù)變分的定義，有owx=08x=8x宛8F&8F&Ow8wxx8F&Ow8wyy將上式代入(2-77)式，則得8,8F…8,8Fg(_Ow)(-—)0w8x8w8x8wxx8,8—、8,8F=^—(Ow)—()Owayawayaw（2-78）（2-79）（圖2-3）。圖2-3邊界的切線和法線（2-80）（2-81）On=ff[竺-—(至)-—(生)]Owdxdy+S8w8x8w8y8wff[—(互Ow)+—(也Ow)]dxdyS8x8w8y8w（2-78）（2-79）（圖2-3）。圖2-3邊界的切線和法線（2-80）（2-81）根據(jù)格林公式(Greenformula)，對f(x,y)，g(x,y)兩個連續(xù)函數(shù)有ff(8-+8g)dxdy=f(fdy—gdx)=f(fsina—gcosa)ds8x8yC其中s為邊界圍線C的弧長，以逆時針為正，順時針為負，a為切線和x軸的夾角并且有以下關(guān)系式dx=cosads，dy=sinadsx=〃sin"+SCos"]y=-ncosa+ssinaJS=xcosa+ysinJn=xsina-ycosaJ并有

ddsddnddd—=+=cosa—+sina——dxdxdsdxdndsdnddsddnddd—=+=sina—-cosa——dydydsdydndsdn:(2-82)TOC\o"1-5"\h\zddxddydd.d—=+=cosa—+sina—(2-83)dsdsdxdsdydxdyddxddyd.dd——=+=sina—-cosa—dndndxdndydxdy以上各式，對簡化二維問題時都是很有用的。按(2-79)式，我們有JJ[d(dF8w)+d(dSw)]dxdy=J(°Fsina-dFcosa)Swds(2-84)SdxdwdydwCdwdw在邊界C上，w(x,y)已知為^(x,y)，對于都通過^(x,y)的任意w(x,y)的變分8w在邊界C上都恒等于零。因此(2-8/)式右側(cè)圍線積分應(yīng)該恒等于零，于是(ddsddnddd—=+=cosa—+sina——dxdxdsdxdndsdnddsddnddd—=+=sina—-cosa——dydydsdydndsdn:(2-82)(2-83)(2-85)(2-86)【例2-3】弦的振動問題就是和(2-75)式相類似的泛函變分問題。設(shè)有均勻弦AB，單位長度的密度為P，弦內(nèi)拉力為N，x=0，x=L的兩端固定。單位長度弦的橫向位移w(x,t)既是x的函數(shù)，也是時間t的函數(shù)。整個弦的動能為(2-87)Piidw2

T=J1()(2-87)20dt弦內(nèi)由于變形所積蓄的彈性變形能(即勢能)等于弦內(nèi)拉力(即兩端的拉力N)和弦長dw.增長的總量的乘積。弦的元素dx在變形后增長到：1+(瓦)2dx，因此勢能為U=NJ＜：1+(華)2—1}dx汩NJ11(*)2dx(2-88)0\dx02dxzdwx,、這里略去了(=)的高次項。為了尋求運動方程，我們可以利用哈密頓原理，即尋^w(x,t)，dx使弦在t1<t<12中的作用量為最小，即求泛函A=Jt2Ldt=Jt2(T-U)dt=1Jt2J1[p(史)2-Ndw)2]dxdt(2-89)t1t/2%0dtdx的極值。w(x,t)應(yīng)滿足固定條件，1w(0,t)=0，w(1,t)=0(2-90)和滿足初始和結(jié)束時弦的形狀條件w(x,t)=w(x)，w(x,t)=w(x)(2-91)

8A=0的變分極值條件給出祖="JI[p生乾—N竺敢]dxdf=0t10dtdtdxdx根據(jù)(2-90)、(2-91)式，我們有8w(0,t)=bw(I,t)=bw(x,t「=bw(x,12)=0,LjIp竺巡dxdt=Jt2fIpB饑dxdt+j[p業(yè)饑]t2dx

ti0步洲ti0步20L步」ti=-ft2fIp劉成dxdtti0dt2N坐bwdtdxf12f，N竺乾dxdt=-ft2f，N生饑dxdt+ft2ti0dxdxti0dx2titd3W<=-J2JIN——SN坐bwdtdx最后（2-92）式可以寫成由=ft2fI[N丑-p=]Swdxdt=0

t0dx2dt2根據(jù)變分預(yù)備定理，得到弦振動的歐拉方程dx2Ndt2在以下的公式推導(dǎo)中，將用到下面諸微積分定理，進行簡化。（2）格林（Green）定理或高斯（Gauss）定理fff（竺+竺+竺）d。=ff（Acosa+BcosP+Ccosy）dsqdxdydzs(2-92)所以（2-93）（2-94）（2-95）（2-96）（2-97）其中A，B，C為Q中和S上的連續(xù)函數(shù)，S為閉域。的界面，a，p，(2-92)所以（2-93）（2-94）（2-95）（2-96）（2-97）（2）格林定理的形式之一fff四2陽。』（竺竺+竺空+竺當(dāng)dQ=ffU空ds（2-98）TOC\o"1-5"\h\z。。dxdxdydydzdzsdn..一―，一…d2d2d2其中dV；dn為V對外法線方向n的導(dǎo)數(shù)，V2=—+布+---。這一公式證明很容易，因為dVdVdxdVdydVdzdVdVndV——=++=——cosa+——cosp+——cosydndxdndydndzdndxdydz利用分部積分對(2-98)式右邊第一項進行運算，以其中第一項為例，有fff〃d2VfffdUdVff/V,U——d。=-dp~^~dO+JJU~dpcosads整理后即得到(2-98)式。(3)格林定理fff(UV2V-V2U)dO=ff(UdV—VdU)ds(2-99)

該式可以由(2-98)式進行證明。在使用了這些定理之后，我們可以證明下列常見的歐拉方程。(2)泛函n[w(x,yn[w(x,y,z)]=BJF(x,y,z,w,客，祟，頊)dxdydz。oxdydz為極值的必要條件是sn=0，其歐拉方程為0(0F)疽(0F)-°(0F)=00x0w0y0w0z0wOw(2-100)dFdw(2-101)dw苴中w=k,w八*x辦y邊界上8w=0。(2)泛函dwOZ，其邊界條件為w(x,y,z)在。的表面上為已知，即在n[w(x,y)]』F(x,y,w,票,祟,|^,弘,宮)dxdy(2-102)Soxoyox2oy2oxoy為極值的必要條件是sn=0，其歐拉方程為ofo,of、o,of、o2,of、o2——-—(——)_—(——)+——(-—)+owoxowoyowydx2dwxx(ofdxdydwxyo2of)+斯(ow-)=0yy(2-103)owowo2w其中wx3'，’布'wxx=W'wxy

o2wo2w=和'七廣旬？。其邊界條件為心^)和ow商在邊界C上為已知，n為外向法線，也即在邊界C上成=0oSw，京=°。(3)泛函n[w(x,y,z,t)]=J'2JJJF(x,y,z,t,w,客，祟，票，*)dxdydzdt?1qoxoyozot為極值的必要條件是sn=0，，其歐拉方程為ofo.ofo.ofo.ofo.of—()—()—()—()owoxowoyow6zow^otowowowowow(2-104)(2-105)ox，wy=祁，wz=w'wt。其邊界條件為w(x，y，z，〃在。的表面S其中wx上已知，即在邊界S上無論在(t1，12)內(nèi)任何時間，Sw=0，其起始和終止條件為w(x,y,z,t1)和w(x,y,z,12)為已知，即當(dāng)t=12,12時，。中的任意點Sw=0。(4)泛函n[w(x,y,t)]=towowo2wJ2JJF(x,y,t,w,ox，oy，o2wo2wow利，布，奇)dxdydt(2-106)為極值的必要條件是sn=0，其歐拉方程為ofo,of、o,of、o‘of、—()—()—()+owoxowoyowotowd2dF)+()=0dxdydwxyd2w,wdxdyyyd2,dF、d2,dFA()+A(Adx2dwdy2dwyyd2w了，wdx2xy(2-107)dw廠wdytxdxdww(x,y,t)和一dncde八8w=——8w=0dn時S上任意點的8w=0。下面列出幾個常見的例子?！纠?-4】泛函xxdw——,wdtxxd2wdy2其邊界條件為在邊界C上是已知的，即在邊界C上不論t1Vt<t其起始和終止條件為w(x，y，t1),w(x,j,12)為已知內(nèi)那個時間，dwdwdw口=川[(丁)2+成)2+()2]dxdydz。dxdydz的變分極值問題。由上式取極值必要條件sn=0，可得到歐拉方程d2w+d2w+d2w0dx2dy2dz2這是三維的拉普拉斯方程，w(x,y,z)在邊界S上的值為給定的，即有8w=0?！纠?-5】泛函dwdwdwn=jjj[(dx)2+(dy)2+(~dz)2+2wp(x,y,z)]dxdydz的變分極值問題。給出的歐拉方程是三維泊桑方程d2wd2wd2w砧+衫+很=心y,z)w(x,y,z)在邊界S上的值為已知的，即有8w=0。【例2-6】泛函=Djj[(d^W)2+(|2^)2+2(-d^)2]dxdy—jjq(x,y)wdxdysdx2dy2dxdys或泛函=Djj[(d^w)2+(d^w)2]dxdy—jjq(x,y)wdxdy2Sdx2dy2S或泛函(2-108)(2-109)(2-110)(2-111)(2-112a)(2-112b)Djj{(d2w+d2w)2-2(1-r)[d2wd2w-(d2w)2]}dxdy-jjq(x,y)wdxdy2Sdx2dy2dx2dy2dxdys(2-112c)其中D為抗彎剛度，r為泊桑比，q(x,y)為平板所受的橫向分布載荷。以上三式的變分極值條件，都給出同一個四階歐拉方程d4wd4wd4w、,、DV2V2w=D(—+2^—d—+———)=q(x,y)(2-113)以上三個泛函都被用于板彎曲問題。但必須指出，這三個泛函雖然給出了相同的歐拉方程，卻代表著不同的邊界條件。考慮式(2-112a)表示的泛函。首先對式(2-112a)進行變分，d2wd2饑d2wd2饑d2wd2饑_,,叫2叩辦2辦2+世2加+2斗斗岫項嚴(yán)呻(2-114)利用分部積分，等號右邊第一、二、三項可分解為TOC\o"1-5"\h\z82w828wd,d2w88w、d,d3w<、d4w<=—()-—(ow)+ow8x28x28x8x28x8x8x38x482w82Ow8.82w80w、8,83w<、84w<=()一(Ow)+ow8y28y28y8y28y8y8y38y482w82Ow8.82w8Ow、8/83w<、84w<=()一(ow)+ow8x8y8x8y8x8x8y8y8y8x28y8x28y2或82w82dw8(82w88w)8(83w&)+84w&(2115)8x8y8x8y8y8x8y8x8x8x8y28x28y2合并(2-115)各式，可得82w82bw+82w82bw+>82w82bw8x28x28y28y28x8y8x8y,一一8r82w88w82w88w8r82w88w82w88wn(V2V2w)8w+[+]+[+]-8x8x28x8x8y8y8y8x8y8x8y28y88一c88一c(2-116)(2-117)一[(—V2w)8w]-[(V2w)8w]8x8x8y8y根據(jù)格林公式(2-79)式，有jj{8[82w88w+82w88w]+8〔82w+82w88w]}&dS8x8x28x8x8y8y8y8x8y8y28y82w88w82w8饑[.「82w88w82w88w_,、,c{[京云+~8^8^~87的。a-[8x8yIT"87*。，a}(2-116)(2-117)jj{8[8V2w饑]+8[8V2w5w]}dxdy=j{8V2wsina-8V項cosa}8wdsS8x8x8y8yC8x8y（2-118）在邊界C上，如果w已知，即ow=0，即（2-118）式等號右邊邊界圍線積分等于零。如果周邊C上w為已知的，那么8w：8n也一定是已知的，在邊界C上，ow=0，8（Sw）8n?，F(xiàn)在證明式（2-117）等號右邊邊界圍線積分等于零，為了證明這點，我們引進（n,5）邊界正交坐標(biāo)（圖2-4），坐標(biāo)dx，dy，ds，dn之間的變換關(guān)系如（2-82）和（2-83）式。這里a是s的函數(shù)，即a=a（s），而且有8a18a(2-119)，——=08sp8ns其中ps為邊界曲線的曲率半徑，當(dāng)曲率中心在S域內(nèi)部時

為正，在外側(cè)時為負。于是利用（2-83(2-119)同樣O2w.O2wO/Ow、.O/Ow、O,Ow、sinacosa=—(——)sina——(——)cosa=——(——)(2-120)Ox2OxOyOxOxOyOxOnOx，可以證明O2w.O2wO7OwxOosma-—cosa=—(—)(2-121)于是(2-117)式中被積函數(shù)可以寫成.02wObwO2wO8w、..O2wObwO2wO8w.(Ox2Ox+OxOyOya(OxOyOy+Oy2Oy"0,0^08w0,0wxObw=()+()(2-122)OnOxOxOnOyOy…...,.,.00,,、.0,0w0,0w這里必須指出，我們不能把（2-82）、（2-83）式的=，丁直接代入?。╚-），k（^~）來計算dxdyondxondydwOw（2-122）式，因為（2-82）式所表示的。，。，是在周邊C上的導(dǎo)數(shù)極限，它們只是s的oxoy函數(shù)OOwOOw，匕們對法線n的導(dǎo)數(shù)定等于今。（2-122）式中的小（小入?。ㄐ。?yīng)該是邊界線附OnOxOnOy近的OOwOOw7—)^-)在n—0時的極限，即OnOxOnOy0,0w^0,0w,O(W'c=叩O(云)](2123)0f0^^T.0OwJ(2-123)—(—)1=Lim—(—)OnOycI。OnOy讓我們?nèi)∵吔缯蛔鴺?biāo)（n,s*），這一坐標(biāo)不在邊界C上，如圖2-4。同樣有以下關(guān)系00.0Ox*a0s*+sina0n*aaa}在s*上(2-124)0.0,00=sina0+cosa且=Ps0(2-125)0s*p+n0s所以sT?0z0^^T.0fpOw,0w.Lim——(——)=Lim——{scosa+——sina}10OnOxi0Onu+n0sOnT?P02wp0w^.02w.、=Lim{[—s一sJxcosa+sina}iop+nOnOs(p+n)20sOn2r02w10w02w.=[一Jcosa+sinaOnOspOsOn2s

同樣，得TOC\o"1-5"\h\z■.d/Qw、rd2w18w.d2wLim——(——)=[]sinacosantodndydndspdsdn2s于是(2-122)式可以化為「d,d^^xdb^wd,df^xdb^w^于是[—(——)——+——(——)——]=dndxdxdndydyc一,dbw?一、，cosa+sina)+dsdn,rd2w1dwd2w.,^dbw{[一]cosa+sina}(TOC\o"1-5"\h\zdndspdsdn2d一,dbw?一、，cosa+sina)+dsdndbw、cosa)dn{[一]sina一cosa}(sina一dndspdsdn2dssd2w1dwdbwd2wdbw=(—)(——)+—dndspdsdsdn2dnsdjd2w1dwd3wd1dwd2wdbw（2-126）（2-127）k角點增=一[()bw]-[]bw+dsdndspdsdnds2ds（2-126）（2-127）k角點增而且，根據(jù)邊界的封鎖性，我們有d「/d2w1dwF./d2w1dw.\虱^0^￥京ws=-（~5nd￥虱kwksk=1sd2w1dw其中△（瓦瓦—_~os}kbwk代表邊界C上第k角點的增值量（注意C的方向走向，s量順序），這里假設(shè)共有i個不連續(xù)角點，bwk為k角點的bw值。最后，從（2-117）式導(dǎo)出jj{d[d2wdbw*d2wdbw]+d[d2wdbw+d2wdbw]}&dSdxdx2dxdxdydydydxdydxdy2dyd2wdbwrd3wd1dw廠*.d2w1dw、j{寄京一[切一瓦"虱肉w}ds-乙璽版一"虱)kbwk(2-128)sk=1s同樣，利用(2-83)式中的第二式，我們可以從(2-118)式證明ddV2wddV2wdV2wjj[d(dw5w)+^(dd%w)]dxdy=jdqwbwds(2-129)最后，得口］的極值（必要）條件d2wdbw1ds-dn2dnbn=jj（DV2V2w—q）bwdxdy+jDdd2wdbw1ds-dn2dn(2-130)(2-131)jD[—(V2w+)—]bwds—D>A((2-130)(2-131)TOC\o"1-5"\h\zcdnds2dspdsdndspdsksk=1sk如果在邊界C上，w和dwdn為已知，包括邊界為固定的，則有bw=0,竺^=0在邊界C上dn>bw=0在角點k=1,2,i上k

從（2-130）式中利用（2-131）的條件，利用變分法的預(yù)備定理，就得到歐拉方程，這里為板的平衡方程為DV2V2W-q=0（2-132）如果在邊界C的一部分q上，w和dw/湖都是未知的，在q邊界上w和8"'湖均不等于零，它們可以是任選的。利用變分法預(yù)備定理，則在C1上必須滿足的條件為882w818w_］—（V2w+）—08n8s28sp8ss\（在C1邊界上）（2-133）82w=0TOC\o"1-5"\h\z82n,如果在角點匕上，w也是未知的，則在那里8w不等于零，利用變分法的預(yù)備定理，在匕角點上必須滿足角點條件1.,82w18w.-,△（8n8s—8s"廣0（在角點k1上）（2-134）s像（2-133）及（2-134）的條件，稱之為自然邊界條件。凡變分法中因邊界值事先未給定而由駐值要求所引