材料成形基本原理合肥工大第三版13章課件

第十四章應(yīng)力分析分析變形——分析變形體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)第十四章應(yīng)力分析114.1張量的基本知識14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)14.5應(yīng)力莫爾圓14.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力14.4應(yīng)力平衡微分方程14.1張量的基本知識14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1214.1張量的基本知識一、角標(biāo)符號和求和約定

角標(biāo)符號:成組的符號和數(shù)組可以用一個帶下角標(biāo)的符號表示，這種符號叫角標(biāo)符號。如（x1，x2，x3）可簡記為xi(i=1,2,3)；xx，xy，xzyx，yy，yzzx，zy，zz可簡記為ij（i,j=x,y,z）;等等。一般地，如果一個坐標(biāo)系有m個角標(biāo)，每個角標(biāo)取n個值，則該角標(biāo)符號代表著nm個元素，例如ij（i,j=x,y,z）（m=2，n=3）就包含有9個元素。

n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。14.1張量的基本知識3

導(dǎo)數(shù)記號：導(dǎo)數(shù)記為fi,j，表示f(xi)對xj的導(dǎo)數(shù)，逗號后邊的下標(biāo)表示對相應(yīng)坐標(biāo)的求導(dǎo)。例如：導(dǎo)數(shù)記號：導(dǎo)數(shù)記為fi,j，表示f(xi)對xj的導(dǎo)數(shù)，4

克氏符號：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號，ij定義為

克氏符號：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號，5求和約定：在一項(xiàng)中，沒有重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，表示該項(xiàng)的個數(shù)。在一項(xiàng)中，同一角標(biāo)出現(xiàn)二次，則對該角標(biāo)自1到n的所有元素求和，這種角標(biāo)在求和之后不再出現(xiàn)，稱之為啞標(biāo)，這一運(yùn)算稱之為求和約定。

ii=Fijlj=B11+22+33=Fi1l1+i2l2+i3l3=B求和約定：ii=Fijlj=B11+22+336二、張量的基本概念張量：由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標(biāo)系中的三個矢量，即9個分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。描述張量分量的個數(shù)用階表示。在三維空間中，其張量分量的個數(shù)為3n，如應(yīng)力、應(yīng)變是二階張量，有32=9個分量。二、張量的基本概念7其中l(wèi)ki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。例如:物理量P在新坐標(biāo)系xk的9個分量為Pkl（k,l=1`，2`，3`

），這個物理量P在坐標(biāo)系xi中的9個分量為Pij（i,j=1，2，3）。若Pij（i,j=1，2，3）與Pkl（k,l=1`，2`，3`）之間存在下列線性變換關(guān)系

Pkl=Pijlkillj那么，這個物理量被定義為張量，可用矩陣表示其中l(wèi)ki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。8表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量。例：應(yīng)力張量受力物理內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一旦確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并沒有發(fā)生變化。因此，不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間存在線形轉(zhuǎn)換關(guān)系：表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱9三、張量的基本性質(zhì)1.張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f（Pij），這些函數(shù)的值不隨坐標(biāo)系而變，即：f（Pij）=f（Pkl）。這樣的函數(shù)就叫張量不變量。二階張量存在三個獨(dú)立的不變量:C1=PiiC2=PijPjiC3=PijPjkPki三、張量的基本性質(zhì)10三、張量的基本性質(zhì)2.張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應(yīng)的分量之和或差定義為另一個同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。3.張量可分為對稱張量（Pij=Pji）、非對稱張量、反對稱張量（Pij=-Pji，且Pij=0(i=j))

任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。Pij=Pij+1/2(Pji-Pji)=1/2(Pij+Pji)+1/2(Pij-Pji)4.二階對稱張量存在三個主軸和三個主值以主軸為坐標(biāo)軸，兩個下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個下角標(biāo)相同的三個分量，叫作主值。三、張量的基本性質(zhì)11金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)塑性理論：研究金屬在塑性狀態(tài)的力學(xué)行為稱為塑性理論或塑性力學(xué)，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支。塑性理論假設(shè)：（1）變形體是連續(xù)的；（2）變形體是均質(zhì)和各向同性的；（3）在變形的任一瞬間，力的作用是平衡的；（4）在一般情況下，忽略體積力的影響；金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)塑性理論：12在塑性理論中，分析問題的方法：靜力學(xué)：根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——平衡微分方程幾何學(xué)：根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，導(dǎo)出應(yīng)變與位移分量之間的關(guān)系式——幾何方程。物理學(xué)：根據(jù)實(shí)驗(yàn)與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——物理方程或本構(gòu)方程。此外，建立變形體在塑性狀態(tài)下應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系——屈服準(zhǔn)則或塑性條件。在塑性理論中，分析問題的方法：1314.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)FF＇Fμ

一、外力和應(yīng)力

外力：塑性加工時，由外部施加于物體的作用力叫外力?？梢苑譃閮深悾好媪蚪佑|力和體積力。

面力：作用于物體表面的力，也叫接觸力，如作用于物體表面的分布載荷，正壓力和摩擦力都是面力。

體積力：作用在物體每個質(zhì)點(diǎn)上的力，如重力、磁力和慣性力等。注：對于一般的塑性成形過程，體積力可以忽略不計(jì)。但在高速成形時，慣性力不能忽略。14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)FF＇Fμ一、外力和14

應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進(jìn)行分析。設(shè)Q點(diǎn)處一無限小的面積ΔF上內(nèi)力的合力為ΔP，則定義為截面F上Q點(diǎn)的全應(yīng)力，可以分解成兩個分量：垂直于截面的正應(yīng)力和平行于截面的切應(yīng)力，有注：過Q點(diǎn)可以作無限多的切面，在不同方向的切面上，Q點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會產(chǎn)生相互作用15二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

坐標(biāo)面上的應(yīng)力：在三個互相垂直的微分面上有三個正應(yīng)力分量和六個切應(yīng)力分量；一般情況下，共有9個應(yīng)力分量完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)161）應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo)：前一個角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面（用該面的法線命名）；第二個角標(biāo)表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向；正應(yīng)力分量的兩個下角標(biāo)相同，兩個下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量。

切應(yīng)力互等定理

9個應(yīng)力分量中只有6個是互相獨(dú)立的，它們組成對稱的應(yīng)力張量。1）應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo)：172）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分：外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面；在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向相反方向的取負(fù)號；負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分：18任意斜面上的力：已知變形體中一點(diǎn)的九個應(yīng)力分量，由靜力平衡條件，可求得過該點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力。已知Q點(diǎn)三個互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量ij，過Q點(diǎn)任一斜面ABC（面積為dF）的法線N與三個坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n，即：l=cos(N,x)m=cos(N,y)

n=cos(N,z)任意斜面上的力：已知Q點(diǎn)三個互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量ij19分析：1）斜面在三個坐標(biāo)面的投影面積分別為

dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF

2）設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件可知：用角標(biāo)符號簡記為（14-6）整理得：分析：2）設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個坐標(biāo)軸方向上的分量為20全應(yīng)力3）斜面上的正應(yīng)力

斜面上的切應(yīng)力為

因此，已知過一點(diǎn)9個應(yīng)力分量，可以求出過該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，即這9個應(yīng)力分量可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（14-7）全應(yīng)力3）斜面上的正應(yīng)力斜面上的切應(yīng)力為因此2114.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力一、主應(yīng)力主平面：切應(yīng)力為零的平面稱為主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力；主方向：主平面的法線方向，亦即主應(yīng)力的方向稱為主方向或應(yīng)力主軸。14.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力22主平面上全應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影為與式（14-6）合并整理得其中，l，m，n為未知數(shù)，其解為應(yīng)力主軸方向。由式（14-6）知：主平面上全應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影為與式（14-6）合并整理23即

不能同時為零，必須求得非零解。則展開行列式，整理得應(yīng)力狀態(tài)特征方程其中它有一組唯一的實(shí)根，即三個主應(yīng)力。由解析幾何知：即不能同時為零，必須求得非零解。則展開行列24二、應(yīng)力張量不變量盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變，但按式（14-12）組成的函數(shù)值是不變的，所以J1、J2、J3稱為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。應(yīng)力張量的三個不變量表示了一個確定的應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力分量之間的確定關(guān)系。在主軸坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只有三個主應(yīng)力，應(yīng)力張量為二、應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量的三個不變量表示了一個確定25主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：應(yīng)力張量的三個不變量為（14-15）（14-16）（14-17）(代入式（14-6）和式（14-7）)(代入式（14-12）)主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：應(yīng)力張量的三個不變量為（14-1526

主應(yīng)力圖：

自變形體中某點(diǎn)取一立方微單元體，用箭頭表示作用在該單元體主應(yīng)力，稱為主應(yīng)力圖，主應(yīng)力圖只表示出應(yīng)力的個數(shù)和方向，并不表示應(yīng)力的大小。主應(yīng)力圖有九種：單向主應(yīng)力圖：

二向主應(yīng)力圖：

三向主應(yīng)力圖：主應(yīng)力圖：27

主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面；(對式（14-16）求極大值）

主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。三、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力在主軸空間中，垂直于一個主平面而與另兩個主平面交角為45的平面就是主切應(yīng)力平面。主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切28（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為：

主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45相交的兩主平面的編號。d）b）c）(把上圖中的余弦組合分別代入式14-16)（14-16）（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為：主切應(yīng)力29最大切應(yīng)力：

主切應(yīng)力中絕對值最大的一個稱為最大切應(yīng)力，用max表示。設(shè)三個主應(yīng)力的關(guān)系為，則主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-19）（14-20）(把圖14-6中的余弦組合分別代入上面兩式)（14-15）（14-16）最大切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-1930主切應(yīng)力的性質(zhì)：若1=2=3=，即變形體處于三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀態(tài)（即球應(yīng)力狀態(tài)）時，主切應(yīng)力為零：12=23=31=0若三個主應(yīng)力同時增加或減少一個相同的值時，主切應(yīng)力值將保持不變。

主切應(yīng)力的性質(zhì)：31四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量或（14-21）若取主坐標(biāo)系，則四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張32其中，m為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即應(yīng)力球張量：

表示球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。特點(diǎn)：在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。其中，m為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力）33應(yīng)力偏張量：

稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力偏張量：稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出34應(yīng)力偏張量不變量對于主軸坐標(biāo)系

應(yīng)力偏張量用來表示不同的變形類型。如J1=0，表明應(yīng)力分量中已經(jīng)沒有靜水應(yīng)力成分；J2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)；J3決定了應(yīng)變的類型：J3>0屬伸長應(yīng)變，J3=0屬平面應(yīng)變，J3<0屬壓縮應(yīng)變。（14-22）

（14-23）

應(yīng)力偏張量不變量對于主軸坐標(biāo)系應(yīng)力偏張量用來表示不同的35五、等效應(yīng)力

等效應(yīng)力：把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。在主軸坐標(biāo)系中在任意坐標(biāo)系中（14-24）

（14-25）

五、等效應(yīng)力等效應(yīng)力：把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單36對于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)代入式（14-24），可得：。由此可見，等效應(yīng)力等于單向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。（14-24）

等效應(yīng)力表示了三個主應(yīng)力的綜合效果，可以在一定意義上“代表”整個應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量的綜合效果，與材料的塑性變形密切有關(guān)。也稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。（14-24）等效應(yīng)力表示了三個主應(yīng)力的綜合3714.4應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q(x,y,z)的應(yīng)力狀態(tài)為ij，則無限鄰近處點(diǎn)Q((x+dx),(y+dy),(z+dz))的應(yīng)力狀態(tài)為14.4應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即在直38分析：Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為如在Q點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為則Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為分析：如在Q點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為則Q點(diǎn)的應(yīng)力狀392）由平衡條件,有由此得2）由平衡條件,有由此得40得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程

（14-26）

簡記為得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程（14-26）簡記為4114.5應(yīng)力莫爾圓

應(yīng)力莫爾圓：應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示法。

切應(yīng)力的正、負(fù)規(guī)定：在作應(yīng)力莫爾圓時，順時針方向作用于單元體上切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。一、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知x，y，xy，用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力。14.5應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓：應(yīng)力狀態(tài)的幾何42平面應(yīng)力狀態(tài)下的圓方程為(P323)此時，圓心坐標(biāo)為，半徑為

該圓可以描述任意微分面上，的變化規(guī)律，圓周上每一點(diǎn)代表了一個物理平面上的應(yīng)力，圓與軸的兩個交點(diǎn)即為主應(yīng)力1，2。

（14-29）平面應(yīng)力狀態(tài)下的圓方程為43由幾何關(guān)系可得平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力與x，y，xy之間的關(guān)系

主應(yīng)力1與x軸之間的夾角從應(yīng)力莫爾圓上可得到主切應(yīng)力

（14-29）

注：應(yīng)力莫爾圓上平面之間的夾角是實(shí)際物理平面之間夾角的兩倍。GH由幾何關(guān)系可得平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力與x，y，44二、三向應(yīng)力莫爾圓對于三向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)變形體中某點(diǎn)的三個主應(yīng)力為1，2，3，且1>2>3，三向應(yīng)力莫爾圓為:圓心的坐標(biāo)和半徑分別為

應(yīng)力莫爾圓形表示，三個圓的半徑分別等于三個主切應(yīng)力，主應(yīng)力分別是三個圓兩兩相切的切點(diǎn)，位于水平坐標(biāo)軸上。O3)0,2(21ss+

O2)0,2(31ss+

O1)0,2(32ss+

二、三向應(yīng)力莫爾圓對于三向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)變形體中某點(diǎn)的三個主應(yīng)45三個圓的方程為

(14-31)每一個圓分別表示某方向余弦為零的斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化規(guī)律。三個圓所圍繞的面積內(nèi)的點(diǎn)便表示l，m，n均不為零的斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。故應(yīng)力莫爾圓形象地表示出點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。三個圓的方程為(14-31)每一個圓分別表示某方向余弦46例1：在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示成張量的形式為：要求：1）畫出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體。2）求出該點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向。3）畫出該點(diǎn)的應(yīng)力莫爾圓，并在應(yīng)力莫爾圓上標(biāo)出應(yīng)力單元體的微分面（即x，y，z平面）例1：在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示成張量的形式為：47解：1）解：1）48解：2）求主應(yīng)力。首先求出三個張量不變量可得：代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程可得：解：2）求主應(yīng)力。首先求出三個張量不變量代入應(yīng)力狀態(tài)特征49解：2）求主方向。把應(yīng)力分量代入

把分別代入上式，解得：可得：解：2）求主方向。把應(yīng)力分量代入把50解：3）把三個主應(yīng)力值代入

(14-31)可得三個圓的圓心和半徑分別為：O1（-2.5，0），R1=2.5O2（2.5，0），R2=7.5O3（5，0），R3=5應(yīng)力單元體的微分面在應(yīng)力莫爾圓上的位置如圖3-21所示。解：3）把三個主應(yīng)力值51材料成形基本原理合肥工大第三版13章課件52例2:設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為試寫出其應(yīng)力偏張量。解：首先求出平均應(yīng)力：可得：例2:設(shè)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為解：首先求出平均應(yīng)力：可得：53泰勒級數(shù)展開：

材料成形基本原理合肥工大第三版13章課件54第十四章應(yīng)力分析分析變形——分析變形體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)第十四章應(yīng)力分析5514.1張量的基本知識14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)14.5應(yīng)力莫爾圓14.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力14.4應(yīng)力平衡微分方程14.1張量的基本知識14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)15614.1張量的基本知識一、角標(biāo)符號和求和約定

角標(biāo)符號:成組的符號和數(shù)組可以用一個帶下角標(biāo)的符號表示，這種符號叫角標(biāo)符號。如（x1，x2，x3）可簡記為xi(i=1,2,3)；xx，xy，xzyx，yy，yzzx，zy，zz可簡記為ij（i,j=x,y,z）;等等。一般地，如果一個坐標(biāo)系有m個角標(biāo)，每個角標(biāo)取n個值，則該角標(biāo)符號代表著nm個元素，例如ij（i,j=x,y,z）（m=2，n=3）就包含有9個元素。

n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。14.1張量的基本知識57

導(dǎo)數(shù)記號：導(dǎo)數(shù)記為fi,j，表示f(xi)對xj的導(dǎo)數(shù)，逗號后邊的下標(biāo)表示對相應(yīng)坐標(biāo)的求導(dǎo)。例如：導(dǎo)數(shù)記號：導(dǎo)數(shù)記為fi,j，表示f(xi)對xj的導(dǎo)數(shù)，58

克氏符號：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號，ij定義為

克氏符號：ij稱為克羅內(nèi)克（Kronecker）符號，59求和約定：在一項(xiàng)中，沒有重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，表示該項(xiàng)的個數(shù)。在一項(xiàng)中，同一角標(biāo)出現(xiàn)二次，則對該角標(biāo)自1到n的所有元素求和，這種角標(biāo)在求和之后不再出現(xiàn)，稱之為啞標(biāo)，這一運(yùn)算稱之為求和約定。

ii=Fijlj=B11+22+33=Fi1l1+i2l2+i3l3=B求和約定：ii=Fijlj=B11+22+3360二、張量的基本概念張量：由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量組成的集合，稱為張量，需要用空間坐標(biāo)系中的三個矢量，即9個分量才能完整地表示。它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。描述張量分量的個數(shù)用階表示。在三維空間中，其張量分量的個數(shù)為3n，如應(yīng)力、應(yīng)變是二階張量，有32=9個分量。二、張量的基本概念61其中l(wèi)ki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。例如:物理量P在新坐標(biāo)系xk的9個分量為Pkl（k,l=1`，2`，3`

），這個物理量P在坐標(biāo)系xi中的9個分量為Pij（i,j=1，2，3）。若Pij（i,j=1，2，3）與Pkl（k,l=1`，2`，3`）之間存在下列線性變換關(guān)系

Pkl=Pijlkillj那么，這個物理量被定義為張量，可用矩陣表示其中l(wèi)ki，llj為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系的方向余弦。62表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量。例：應(yīng)力張量受力物理內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一旦確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并沒有發(fā)生變化。因此，不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間存在線形轉(zhuǎn)換關(guān)系：表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱63三、張量的基本性質(zhì)1.張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f（Pij），這些函數(shù)的值不隨坐標(biāo)系而變，即：f（Pij）=f（Pkl）。這樣的函數(shù)就叫張量不變量。二階張量存在三個獨(dú)立的不變量:C1=PiiC2=PijPjiC3=PijPjkPki三、張量的基本性質(zhì)64三、張量的基本性質(zhì)2.張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應(yīng)的分量之和或差定義為另一個同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。3.張量可分為對稱張量（Pij=Pji）、非對稱張量、反對稱張量（Pij=-Pji，且Pij=0(i=j))

任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。Pij=Pij+1/2(Pji-Pji)=1/2(Pij+Pji)+1/2(Pij-Pji)4.二階對稱張量存在三個主軸和三個主值以主軸為坐標(biāo)軸，兩個下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個下角標(biāo)相同的三個分量，叫作主值。三、張量的基本性質(zhì)65金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)塑性理論：研究金屬在塑性狀態(tài)的力學(xué)行為稱為塑性理論或塑性力學(xué)，是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支。塑性理論假設(shè)：（1）變形體是連續(xù)的；（2）變形體是均質(zhì)和各向同性的；（3）在變形的任一瞬間，力的作用是平衡的；（4）在一般情況下，忽略體積力的影響；金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)塑性理論：66在塑性理論中，分析問題的方法：靜力學(xué)：根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——平衡微分方程幾何學(xué)：根據(jù)變形體的連續(xù)性和均勻性，導(dǎo)出應(yīng)變與位移分量之間的關(guān)系式——幾何方程。物理學(xué)：根據(jù)實(shí)驗(yàn)與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式——物理方程或本構(gòu)方程。此外，建立變形體在塑性狀態(tài)下應(yīng)力分量與材料性能之間的關(guān)系——屈服準(zhǔn)則或塑性條件。在塑性理論中，分析問題的方法：6714.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)FF＇Fμ

一、外力和應(yīng)力

外力：塑性加工時，由外部施加于物體的作用力叫外力?？梢苑譃閮深悾好媪蚪佑|力和體積力。

面力：作用于物體表面的力，也叫接觸力，如作用于物體表面的分布載荷，正壓力和摩擦力都是面力。

體積力：作用在物體每個質(zhì)點(diǎn)上的力，如重力、磁力和慣性力等。注：對于一般的塑性成形過程，體積力可以忽略不計(jì)。但在高速成形時，慣性力不能忽略。14.2外力、應(yīng)力和點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)FF＇Fμ一、外力和68

應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，可采用截面法進(jìn)行分析。設(shè)Q點(diǎn)處一無限小的面積ΔF上內(nèi)力的合力為ΔP，則定義為截面F上Q點(diǎn)的全應(yīng)力，可以分解成兩個分量：垂直于截面的正應(yīng)力和平行于截面的切應(yīng)力，有注：過Q點(diǎn)可以作無限多的切面，在不同方向的切面上，Q點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力：在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會產(chǎn)生相互作用69二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

坐標(biāo)面上的應(yīng)力：在三個互相垂直的微分面上有三個正應(yīng)力分量和六個切應(yīng)力分量；一般情況下，共有9個應(yīng)力分量完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)701）應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo)：前一個角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐標(biāo)面（用該面的法線命名）；第二個角標(biāo)表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向；正應(yīng)力分量的兩個下角標(biāo)相同，兩個下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量。

切應(yīng)力互等定理

9個應(yīng)力分量中只有6個是互相獨(dú)立的，它們組成對稱的應(yīng)力張量。1）應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo)：712）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分：外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面；在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向相反方向的取負(fù)號；負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2）應(yīng)力分量有正、負(fù)之分：72任意斜面上的力：已知變形體中一點(diǎn)的九個應(yīng)力分量，由靜力平衡條件，可求得過該點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力。已知Q點(diǎn)三個互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量ij，過Q點(diǎn)任一斜面ABC（面積為dF）的法線N與三個坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n，即：l=cos(N,x)m=cos(N,y)

n=cos(N,z)任意斜面上的力：已知Q點(diǎn)三個互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量ij73分析：1）斜面在三個坐標(biāo)面的投影面積分別為

dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF

2）設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件可知：用角標(biāo)符號簡記為（14-6）整理得：分析：2）設(shè)斜面上的全應(yīng)力為S，它在三個坐標(biāo)軸方向上的分量為74全應(yīng)力3）斜面上的正應(yīng)力

斜面上的切應(yīng)力為

因此，已知過一點(diǎn)9個應(yīng)力分量，可以求出過該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，即這9個應(yīng)力分量可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（14-7）全應(yīng)力3）斜面上的正應(yīng)力斜面上的切應(yīng)力為因此7514.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力一、主應(yīng)力主平面：切應(yīng)力為零的平面稱為主平面；主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力；主方向：主平面的法線方向，亦即主應(yīng)力的方向稱為主方向或應(yīng)力主軸。14.3主應(yīng)力和主切應(yīng)力76主平面上全應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影為與式（14-6）合并整理得其中，l，m，n為未知數(shù)，其解為應(yīng)力主軸方向。由式（14-6）知：主平面上全應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影為與式（14-6）合并整理77即

不能同時為零，必須求得非零解。則展開行列式，整理得應(yīng)力狀態(tài)特征方程其中它有一組唯一的實(shí)根，即三個主應(yīng)力。由解析幾何知：即不能同時為零，必須求得非零解。則展開行列78二、應(yīng)力張量不變量盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變，但按式（14-12）組成的函數(shù)值是不變的，所以J1、J2、J3稱為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。應(yīng)力張量的三個不變量表示了一個確定的應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力分量之間的確定關(guān)系。在主軸坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只有三個主應(yīng)力，應(yīng)力張量為二、應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量的三個不變量表示了一個確定79主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：應(yīng)力張量的三個不變量為（14-15）（14-16）（14-17）(代入式（14-6）和式（14-7）)(代入式（14-12）)主軸坐標(biāo)系中斜面上的應(yīng)力：應(yīng)力張量的三個不變量為（14-1580

主應(yīng)力圖：

自變形體中某點(diǎn)取一立方微單元體，用箭頭表示作用在該單元體主應(yīng)力，稱為主應(yīng)力圖，主應(yīng)力圖只表示出應(yīng)力的個數(shù)和方向，并不表示應(yīng)力的大小。主應(yīng)力圖有九種：單向主應(yīng)力圖：

二向主應(yīng)力圖：

三向主應(yīng)力圖：主應(yīng)力圖：81

主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面；(對式（14-16）求極大值）

主切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。三、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力在主軸空間中，垂直于一個主平面而與另兩個主平面交角為45的平面就是主切應(yīng)力平面。主切應(yīng)力平面：使切應(yīng)力達(dá)到極大值的平面稱為主切82（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為：

主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45相交的兩主平面的編號。d）b）c）(把上圖中的余弦組合分別代入式14-16)（14-16）（14-18）主切應(yīng)力平面上的主切應(yīng)力為：主切應(yīng)力83最大切應(yīng)力：

主切應(yīng)力中絕對值最大的一個稱為最大切應(yīng)力，用max表示。設(shè)三個主應(yīng)力的關(guān)系為，則主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-19）（14-20）(把圖14-6中的余弦組合分別代入上面兩式)（14-15）（14-16）最大切應(yīng)力：主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值（14-1984主切應(yīng)力的性質(zhì)：若1=2=3=，即變形體處于三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀態(tài)（即球應(yīng)力狀態(tài)）時，主切應(yīng)力為零：12=23=31=0若三個主應(yīng)力同時增加或減少一個相同的值時，主切應(yīng)力值將保持不變。

主切應(yīng)力的性質(zhì)：85四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量或（14-21）若取主坐標(biāo)系，則四、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張86其中，m為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即應(yīng)力球張量：

表示球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力。特點(diǎn)：在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。其中，m為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力）87應(yīng)力偏張量：

稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出應(yīng)力球張量后得到的。應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。特點(diǎn)：應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力偏張量：稱為應(yīng)力偏張量，是由原應(yīng)力張量分解出88應(yīng)力偏張量不變量對于主軸坐標(biāo)系

應(yīng)力偏張量用來表示不同的變形類型。如J1=0，表明應(yīng)力分量中已經(jīng)沒有靜水應(yīng)力成分；J2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)；J3決定了應(yīng)變的類型：J3>0屬伸長應(yīng)變，J3=0屬平面應(yīng)變，J3<0屬壓縮應(yīng)變。（14-22）

（14-23）

應(yīng)力偏張量不變量對于主軸坐標(biāo)系應(yīng)力偏張量用來表示不同的89五、等效應(yīng)力

等效應(yīng)力：把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。在主軸坐標(biāo)系中在任意坐標(biāo)系中（14-24）

（14-25）

五、等效應(yīng)力等效應(yīng)力：把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單90對于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)代入式（14-24），可得：。由此可見，等效應(yīng)力等于單向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力。（14-24）

等效應(yīng)力表示了三個主應(yīng)力的綜合效果，可以在一定意義上“代表”整個應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量的綜合效果，與材料的塑性變形密切有關(guān)。也稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。（14-24）等效應(yīng)力表示了三個主應(yīng)力的綜合9114.4應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q(x,y,z)的應(yīng)力狀態(tài)為ij，則無限鄰近處點(diǎn)Q((x+dx),(y+dy),(z+dz))的應(yīng)力狀態(tài)為14.4應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即在直92分析：Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為如在Q點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為則Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為分析：如在Q點(diǎn)的x面上，其正應(yīng)力分量為則Q點(diǎn)的應(yīng)力狀932）由平衡條件,有由此得2）由平衡條件,有由此得94得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程

（14-26）

簡記為得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程（14-26）簡記為9514.5應(yīng)力莫爾圓

應(yīng)力莫爾圓：應(yīng)力狀態(tài)的幾何表示法。

切應(yīng)力的正、負(fù)規(guī)定：在作應(yīng)力莫爾圓時，順時針方向作用于單元體上切應(yīng)力