高中數(shù)學(xué)高考 2021屆高三大題優(yōu)練11 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（文） 學(xué)生版

坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程大題優(yōu)練11優(yōu)優(yōu)選例題例1．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，求出的普通方程，并說明該曲線的圖形形狀．（2）當(dāng)時(shí)，P是曲線上一點(diǎn)，Q是曲線上一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1），是以，為端點(diǎn)的線段；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，消t得，是以，為端點(diǎn)的線段．（2）當(dāng)時(shí)，曲線的普通方程為橢圓，由，得曲線的普通方程為直線，由，得，，可知直線與橢圓相離，則的最小值為P到直線的距離最小值，則，當(dāng)時(shí)，有最小值．例2．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的傾斜角；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為，則有，則，即曲線的普通方程為．直線的極坐標(biāo)方程，展開可得，將代入，可得，即，即，所以斜率，則，由，可得，所以直線的傾斜角為．（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，得，整理得，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，所以．例3．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若極坐標(biāo)方程為的直線與曲線交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且直線交軸于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），由，可得，，，故曲線直角坐標(biāo)方程為．直線的極坐標(biāo)方程為，即，即，故直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，即，所以，，即，解得，即．將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)方程得，可得，即，直線與軸的交點(diǎn)為，，，故．

模擬模擬優(yōu)練1．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，與曲線交于兩點(diǎn)，求．2．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線交于點(diǎn)，，，求的值．3．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(為參數(shù))與曲線，的交點(diǎn)從上到下依次為，，，，求的值．4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，為直線l的傾斜角），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．5．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）射線分別交曲線于兩點(diǎn)，求的最大值．6．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）直線與曲線交于點(diǎn)，，求線段的長．7．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，射線分別交，于A，B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn))，當(dāng)時(shí)，求．8．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（2）若直線（為參數(shù)）與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍．9．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）若，設(shè)雙曲線的一條漸近線與相交于兩點(diǎn)，求；（2）若，分別在與上任取點(diǎn)和，求的最小值．10．在極坐標(biāo)系中，直線，圓．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和圓的參數(shù)方程；（2）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)到直線和x軸的距離分別為，求的最大值．11．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線的距離的最大值．

參考參考答案1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，又，所以，即．（2）把直線參數(shù)方程，得，，，由于，所以異號，．2．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由(t為參數(shù))，則(t為參數(shù))，所以，由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，由，則，即，又，，所以，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由（1）可知：曲線的直角坐標(biāo)方程為，且在曲線上，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）①將①代入曲線的直角坐標(biāo)方程化簡為，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，所以，，所以，，所以，又，所以．3．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，得．曲線的極坐標(biāo)方程為，有，由得曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）法一：將(為參數(shù))代入曲線的方程得，即．由于，故可設(shè)，是方程的兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，，由的幾何意義得．同理將(為參數(shù))代入曲線的方程得，解得兩根為，，所以，故．法二：直線的普通方程為，將直線與曲線的方程聯(lián)立，得，消去，整理得．設(shè)，，則，，所以．而曲線是以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)在直線上，所以，故．4．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，，又，即，得，即C的直角坐標(biāo)方程為．（2）將代入有，化簡得①，設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，由，得，，因此，即，解得或1，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)①對應(yīng)的，直線的方程為或．5．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以的極坐標(biāo)方程為，因?yàn)榈钠胀ǚ匠虨椋?，對?yīng)極坐標(biāo)方程為．（2）因?yàn)樯渚€，則，，則，，所以，又，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．6．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))得曲線C的普通方程，可化為，故其極坐標(biāo)方程為．（2）將代入，得，∴，，∴．7．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵(為參數(shù))，∴曲線的普通方程為，即，∵，，∴，∴曲線的極坐標(biāo)方程為．（2）依題意設(shè)，，∴由，得；由，得，∵，∴，∴，∵是圓的直徑，∴，∴在直角中，，∴在直角中，，∴，即，∴．8．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)榈膮?shù)方程為（為參數(shù)），所以的直角坐標(biāo)方程為，即，故的極坐標(biāo)方程為．（2）將直線（為參數(shù)）代入，可得，則，即，因?yàn)椋曰?，故的取值范圍為?．【答案】（1）2；（2）．【解析】（1）若，曲線的直角坐標(biāo)方程為，雙曲線，一條漸近線方程為，圓心到直線的距離，，則．另解：可知雙曲線，一條漸近線方程為，其極坐標(biāo)方程為，由，得，故，，．（2）若，曲線的直角坐標(biāo)方程為，圓心，半徑．設(shè)雙曲線上任取點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，．10．【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）．【解析】（1）由，得，因?yàn)?，代入有直線的直角坐標(biāo)方程為，即為，由圓，得，因?yàn)椋?，，所以圓直角坐標(biāo)方程為，由，得圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（2）