2022-2023學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高二年級上冊學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出．【詳解】設(shè)直線x+y﹣1=0的傾斜角為α．直線x+y﹣1=0化為．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故選D．【點睛】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．已知橢圓，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓的性質(zhì)以及即可求解.【詳解】由，則，，所以，所以，所以該橢圓的焦距為.故選：B【點睛】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.3．已知直線：，與：平行，則a的值是（

）A．3 B． C．3或 D．3或5【答案】D【分析】利用直線與直線平行列式計算并判斷即可作答.【詳解】由解得或，當時，直線：，直線：，有，當時，直線：，直線：，有，所以a的值是3或5.故選：D4．已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖形可得，根據(jù)比例關(guān)系可得，，再根據(jù)向量減法，代入整理并代換為基底向量．【詳解】即故選：D．5．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意將三棱柱補成如圖所示長方體，連接，CD，則可得即為異面直線與所成角（或補角），然后在中利用余弦定理可求得結(jié)果【詳解】把三棱柱補成如圖所示長方體，連接，CD，則，所以即為異面直線與所成角（或補角）．由題意可得，，，所以．故選：B．6．若直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，直線恒過點，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，求出直線與圓相切時的斜率和直線過點的斜率，從而可求出答案.【詳解】如圖，直線恒過點，曲線表示出以為圓心，2為半徑的右半圓，設(shè)直線與半圓相切于點，則，解得（舍去）或，所以，因為，，所以，因為直線與曲線恰有兩個交點，所以，所以，故選：A7．已知點，圓，點是圓上一動點，線段的垂直平分線與交于點.則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓的方程求出圓心坐標和半徑，再由，判斷點的軌跡是以，為焦點，長軸長等于6的橢圓，再寫出橢圓的方程.【詳解】圓，圓心為，半徑為6，由垂直平分線的性質(zhì)得：，，又，點的軌跡是以，為焦點，長軸長等于6的橢圓，，，即，，，點的軌跡方程是；故選：D.【點睛】本題主要考查橢圓中的軌跡問題，考查橢圓的標準方程，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8．如圖所示，橢圓中心在原點，F(xiàn)是左焦點，直線與BF交于點D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)左頂點，左焦點，上頂點，下頂點，由兩點間斜率公式求出直線的斜率與直線的斜率，由題意，直線的斜率與直線的斜率的積為，聯(lián)立橢圓中，即可求出橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)左頂點，左焦點，上頂點，下頂點則直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，所以，即，又，所以，所以，解得，因為，所以，故選：B．二、多選題9．口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，“第一次取出的是紅球”，“第二次取出的是紅球”，“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（

）A．A與B相互獨立. B．A與D互為對立. C．B與C互斥. D．B與D相互獨立；【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出所對應(yīng)的事件的概率，再根據(jù)相互獨立事件的定義判斷AD，根據(jù)對立事件，互斥事件的定義可判斷BC.【詳解】由題可得，，，，，所以，，所以A與B相互獨立，B與D相互獨立，故AD正確；對于B，由題意知，取出兩個球要么顏色相同，要么顏色不同，即A與D互為對立事件，故B正確；對于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時發(fā)生，故C錯誤.故選：ABD.10．下列四個命題中真命題有（

）A．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是1C．點關(guān)于直線的對稱點為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】AC【分析】對A：根據(jù)直線傾斜角和斜率的相關(guān)知識，即可判斷；對B：根據(jù)直線平行求得參數(shù)，再利用平行線之間的距離公式求解兩平行直線之間的距離，即可判斷；對C：設(shè)出所求對稱點，根據(jù)中點坐標滿足直線，以及直線斜率之間的關(guān)系，即可求得結(jié)果，從而判斷；對D：考慮直線經(jīng)過原點的情況，即可判斷；【詳解】對A：任意一條直線都有傾斜角，但直線傾斜角為時，沒有斜率，故A正確；對B：直線與直線平行，故可得，解得，則直線，即，則兩平行線之間的距離，B錯誤；對C：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，且，解得，故點關(guān)于直線的對稱點為，C正確；對D：經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，D錯誤.故選：AC.11．已知圓和圓相交于兩點，下列說法正確的是（

）A．圓上存在4個點到直線的距離都等于1B．直線的方程為C．線段的長為D．取圓上點，則的最大值為【答案】BD【分析】對A：求得到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，即可判斷；對B：根據(jù)兩圓相交弦方程的求解，結(jié)合已知條件，求解即可；對C：根據(jù)弦長公式進行求解即可；對D：求得的參數(shù)表達形式，結(jié)合三角函數(shù)的最值，即可求得結(jié)果.【詳解】對A：到直線的距離，又圓的半徑，故圓上存在3個點到直線的距離為，A錯誤；對B：圓和圓相交于兩點，故直線的方程為：，即，故B正確；對C：圓心到直線的距離，故，故C錯誤；對D：圓，即，因為在圓上，故可設(shè)，則，又的最大值為，故的最大值為，D正確.故選：BD.12．正方體的棱長為1，點是的中點，點是的中點，為的中點，點在正方形及其內(nèi)部運動，若面，則下列說法正確的是（

）A．過點，，的截面為菱形B．三棱錐的體積為定值C．與平面所成角正切值的最小值為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】BC【分析】畫出圖形，由面，可確定在線段上，然后結(jié)合平行的性質(zhì)，體積公式，線面角的求法，外接球的表面積求法逐一判斷即可【詳解】如圖：取，分別為的中點，連接，則易知四邊形為平行四邊形，為平行四邊形，進而有，又易知，從而可證明平面平面，由題意面，可知在線段上；對于A：過點，，的截面為平行四邊形，故A錯誤；對于B：，由，在線段，可知為定值，又到平面的距離也為定值，所以為定值，故B正確；對于C：設(shè)與平面所成角為，則，易知當最大時，最小，結(jié)合圖象可知，所以的最小值為，故C正確；對于D：三棱錐外接球，相當于長方體的外接球，且此時外接球的半徑滿足：，所以三棱錐外接球的表面積為，故D錯誤；故選：BC三、填空題13．在空間直角坐標系中，若點關(guān)于Oxy坐標平面的對稱點為點A，點關(guān)于坐標原點O的對稱點為點B，則的坐標為______．【答案】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點的對稱性，即可得坐標，進而根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】由題意知：,,所以，故答案為：14．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)作為的坐標，則點落在圓內(nèi)的概率_________.【答案】【詳解】基本事件總數(shù)為，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．記事件為“點落在圓內(nèi)”，則事件所包含的基本事件為，共8個，故．15．已知圓，直線，若在直線上任取一點作圓的切線，切點分別為，則最小時，原點到直線的距離為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，最小時可轉(zhuǎn)化為最小，即，此時四邊形為正方形，據(jù)此可求出結(jié)果.【詳解】由可得，即半徑，圓心，如圖，由切線性質(zhì)可知，，則最小時，最大，即最小，所以，，故四邊形為正方形，所以，又，故共線，所以原點到直線的距離為.故答案為：16．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為_______．【答案】【分析】連接，設(shè)（），則.利用橢圓的定義表示出，由勾股定理求出，即可得到，進而求出直線的斜率.【詳解】如圖，連接.設(shè)（），則.因為，，所以，.在中，，所以，即，整理得，所以，所以直線的斜率為．故答案為：-2.四、解答題17．平面直角坐標系中，已知△三個頂點的坐標分別為，，.(1)求邊所在的直線方程；(2)求△的面積.【答案】(1)；(2)5.【分析】（1）根據(jù)已知兩點，求得直線斜率，再利用點斜式即可求得直線的方程；（2）利用點到直線的距離公式，求得三角形的高，再結(jié)合兩點之間的距離公式以及三角形面積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）直線的斜率，故直線的方程為，即.（2）點A到直線的距離，又，則△的面積.18．在平面直角坐標系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點.（1）求圓的方程；（2）過坐標原點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）首先求出過點且與直線垂直的直線，則圓心必在此直線上；與聯(lián)立可求得圓心坐標；再利用兩點間距離公式可求得；根據(jù)圓心和半徑可求得圓的方程；（2）根據(jù)直線被圓截得的弦長可求得圓心到直線的距離：，分別在斜率存在和不存在兩種情況下求解直線方程，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，過點且與直線垂直的直線方程為：由，解得：

圓心的坐標為圓的半徑：圓的方程為：（2）因為直線被圓截得的張長為圓心到直線的距離：若直線的斜率不存在，則為直線，此時圓心到的距離為，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即由，整理得：解得：或直線的方程為：或【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，涉及到直線與圓相切、直線被圓截得的弦長問題.19．已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【答案】(1)；（2），a的取值范圍為.【分析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當且僅當，，，根據(jù)三個式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當且僅當，，，即

①

②

③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當，時，存在滿足條件的點.故，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.20．甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動.已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響.(1)求該小組未能進入第二輪的概率；(2)該小組能進入第三輪的概率；(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）該小組未能進入第二輪也即甲、乙、丙至少有一人未猜對，根據(jù)對立事件求解；（2）該小組能進入第三輪即前兩輪三人都猜對，根據(jù)事件積的概率計算即可；（3）乙猜歌曲的次數(shù)不小于2即該組過第一輪且甲猜對，據(jù)此求概率即可．【詳解】（1）解：設(shè)該小組未能進入第二輪為事件A，則，故該小組未能進入第二輪的概率為．（2）解：設(shè)該小組能進入第三輪為事件B，則，故該小組能進入第三輪的概率為．（3）解：設(shè)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2為事件C，．故乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率為．21．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G的坐標，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).22．已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點.（1）求的標準方程；（2）的右頂點