人教版幾何定理及拓展

1.過兩點有且只有一條直線:N個點最多可確定N*（N-1）/2條直線。

2.兩點之間線段最短。

3.同角或等角的補(bǔ)角相等：對頂角相等。

4.同角或等角的余角相等。

5.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直：如果

AB±MN,AC±MN,則A、B、C三點共線。

6.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。求兩

點之間的最長距離也可運用此結(jié)論，即先求出某一定長，再減去

最短距離，得到最長距離。

7.平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

8.平行公理的推論：若a||b,a||c,則b||c0（反證法）證明：假設(shè)b

與c不平行，相交于點0,vallb,a||c，，過。有b、c兩條直線

平行于a,這與平行公理矛盾，假使不成立，.山呢。

9.平行線的判定：①同位角相等，兩直線平行；②內(nèi)錯角相等，兩

直線平行；③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

10.平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)

錯角相等；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

11.平移的性質(zhì)：連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上）且

相等。

12.三角形三邊關(guān)系：①三角形兩邊的和大于第三邊；②三角形兩邊

的差小于第三邊。

13.三角形三個內(nèi)角的和等于180%推論：①直角三角形的兩個銳角

互余；②有兩個角互余的三角形是直角三角形；③三角形的一個

外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

14.N邊形內(nèi)角和等于(N-2)*180%

15.多邊形的外角和等于360°。證明：?.!!邊形各個頂點的外角=180。

-相令B內(nèi)角二外角和=180n-180(n-2)=360°

16.全等三角形的判定：①SSS;②SAS;③ASA;④AAS;⑤HL。

17.角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

18.角的內(nèi)部到該角兩邊距離相同的點，在角的平分線上。--角的外

部到一個角的兩邊的距離相同的點，在該角的補(bǔ)角平分線上

19.如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所

連線段的垂直平分線。同樣，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對

對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

20.線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等。

21.與線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

22.等腰三角形的性質(zhì)定理:①等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對

等角、②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高

互相重合(三線合一卜

23.等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這

兩個角所對的邊也相等(等角對等邊\

24.等邊三角形：①等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于

60%②三個角都相等的三角形是等邊三角形。③有一個角等于

60。的等腰三角形是等邊三角形。

25.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等

于斜邊的一半。

26.勾股定理：如果直角三角形兩直角邊為a、b,斜邊為c,則

222

a+b=co

27.勾股定理的逆定理加果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2,

那么這個三角形是直角三角形。

28.平行四邊形的性質(zhì)定理：①平行四邊形的對角相等。②平行四邊

形的對邊相等。推論：兩條平行線之間的任何平行線段都相等。

③平行四邊形的對角線互相平分。

29.平行四邊形的判定定理：①兩組對角分別相等的四邊形是平行四

邊形。②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。③對角線互

相平分的四邊形是平行四邊形。④一組對邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形。—⑤兩組對邊分別平行（平行四邊形的定義）b

30.三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半。一

f梯形的中線平行于兩底且等于兩底和的一半。

31.矩形的性質(zhì)定理：①矩形的四個角都是直角。②矩形的對角線相

等。

32.矩形的判定定理：①有三個角是直角的四邊形是矩形。②對角線

相等的平行四邊形是矩形。D

33.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的

一半。—注意反向運用：有同一端點的/

三條以上相等線段共圓。如果其中二條線AB

段在同一直線上，則其為直徑，與其他線段的另一端點構(gòu)成直角

三角形。如圖，若AB=BC=BD,則AD±DC.

34.菱形性質(zhì)定理：①菱形的四條邊都相等。②菱形的對角線互相垂

直，并且每一條對角線平分一組對角。

35.菱形判定定理：①鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線互相

垂直的平行四邊形是菱形。③四邊都相等的四邊形是菱形。

36.正方形性質(zhì)定理：矩形或菱形的性質(zhì)。

37.正方形判定：①有一組鄰邊相等的矩形是正方形。②有一個內(nèi)角

是直角的菱形是正方形。③鄰邊相等且有一個內(nèi)角是直角的平行

四邊形是正方形。④對角線互相垂直平分且相等的平行四邊形是

正方形，或者對角線相等的菱形是正方形，或者對角線互相垂直

的矩形是正方形。

38.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

39.中心對稱的性質(zhì)：①中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對

稱中心，并且被對稱中心平分。②中心對稱的兩個圖形全等?！?/p>

平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是對角線的交點。

40.圓是軸對稱圖形，任何直徑所在直線都是圓的對稱軸。

41.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的

兩條弧。

42.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

43.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦有一組相等，

那么它們所對應(yīng)的其余各組都相等。

44.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等；②半圓（或直徑）所對

的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

--圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相同，故圓周角的度數(shù)是它

所對的弧的一半。A.兩弦夾角是由角兩邊所夾的

兩弧之和的一半。圓周角可視為有一弧是o的特不弋、

殊情況。如圖，兩弦夾角/1=/3+/4,/3、"

分別是弧AC、BD的一半。圓周角可視為有一弧7Ji

是0的特殊情況。B.兩割線夾角是角兩邊所夾兩弧之差的一半。

圓周角亦可視為有一弧是0的特殊情況。從上述結(jié)論出發(fā)，把切

線當(dāng)作退化的弦，可得以下定理：

★★弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.如圖ND=ZABCO

（注：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的

角叫做弦切角。）

證明二BC為切線，,經(jīng)過B點的直徑BE±BC,.-^ABC+k

/ABE=90。，/BE為直徑，./BAEu90。，.?./￡+/BC

ABE=90°，.二NABC=NE，:ND=NE，,;ND=NABC

推論：弦切角等于它所夾的弧所對的圓心角的一半。

45.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

46.點與圓的位置關(guān)系：①點P在圓外d>r;②點P在圓上d=r;③點P

在圓mwd<r.

47.不在同一直線上的三點確定一^圓。

48.直線與圓的位置關(guān)系:①L利。。相交d〈r。②直線L和。。相切d二r。

③直線L和。。相離d>r。

49.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是

圓的切線。

50.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

51.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

52.圓與圓的位置關(guān)系：①兩圓外離d>R+r。②兩圓外切d=R+r。③兩

圓相交R-r〈dvR+r(R>ij。④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)。⑤兩圓內(nèi)含d<

R-r(R>r)o

53.正n邊形的性質(zhì):①內(nèi)角和為180(n-2)。;②每個內(nèi)角都等于(n-2)

x180°/no③外角和為360°

54.弧長計算公式：L=nirR/180。

55.S扇形=nnR2/360=LR/2O

56.圓錐側(cè)面積=TIRL;圓錐全面積=itR(R+L)

57.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的

對應(yīng)線段成比例。推論：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

(或兩邊的延長線)相交，所得的對應(yīng)線段成比例。②平行于三

角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似。

58.相似三角形判定定理：①三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似。②兩

邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似。③兩角分別相等的兩

三角形相似。

59.相似三角形的性質(zhì)定理：①相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的

比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。一般地，相似三角形對應(yīng)

線段的比等于相似比。②相似三角形面積的比等于相似比的平方。

--可推廣到任意相似圖形。任意圓都相似，故兩圓的面積比是半

徑的平方之比。

拓展定理

1.角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊

之比。如圖，已知"BC中，AD是角平分線，則"二款證明略)

推論:AD2=ABxAC-BDxCD

證明：延長AC到E使CE=CD,連接DE廁NE=zl，/

E=zACB/2.在AB邊上取點F,使BF=BD,連接DF,

則/2=/3,-.22+23=180°-zB=zA+zC,

.-.z2=(zA+zC)/2,又.：z2=z4+zA/2

,-.z4=z2-zA/2=(zA+zC)/2-zA/2=zC/2=zE

X-.zDAF=zEAD,/.△AED-AADF,,-.AE/AD=AD/AF

AD2=AExAF=(AC+CD)(AB-BD尸ABxAC-ACxBD+ABxCD-BD'CD①，由角

平分線定理知AB/BD=ACQD,

即ABxCD=ACxBD代入①中得A￡>2=ABXAC-BDXCD。

2.射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射

影的比例中項，直角邊是這條直角邊在斜邊

的射影和斜邊的比例中項。如圖，AD是斜

邊上的高，則有圖右上的三個結(jié)論。

3.廣義勾股定理：平行四邊形兩條對角線的平方和等于它的四邊的

平方和。在矩形中，因?qū)蔷€相等，故對角線的平方和也等于兩邊平

方的和Tf可用于已知三角形三邊的長，求中線長度的問題。

4.托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形中，兩組對邊乘積的和等于兩條對

角線的乘積。

證明：如圖1,過C作CP交BD于P,使,

又/3=N4一?.△ACD-^BCP.得AC:BC=AD:BP,

ACB