江蘇省南通市海安市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2021~2022學(xué)年末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共6頁，滿分150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卷交回．2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號用毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符．4．作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.設(shè)集合A＝{x|－5≤x≤2}，B＝{x||x＋3|＜3}，則A∪B＝（）A.[－5，0） B.（－6，2] C.（－6，0） D.[－5，2）【答案】B【解析】【分析】解出集合B，由集合的并集運算求解即可.【詳解】解：由可得，解得，所以，所以A∪B＝，故選：B.2.若（－1＋i）z＝3＋i，則|z|＝（）A. B.8 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由題意知，，所以.故選：C3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】，，，所以．故選：．4.已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則該三棱錐的表面積是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出圖形，求出底面積和側(cè)面積，即可求出三棱錐的表面積.【詳解】如圖，正三棱錐中，，取的中點，連接，則在上，且，又，所以，所以，則，所以，故三棱錐的表面積為.故選：D5.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對兩邊平方求得，進而利用且列出方程，求出，結(jié)合，求出答案.【詳解】，兩邊平方得：，即，所以，由，而，所以，所以，因為，所以故選：D6.已知f(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）A.f（4）＝0 B.y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱C.f（x＋8）＝f(x) D.若f（－3）＝－1，則f（2021）＝－1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，令，即可判斷A的正誤；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判斷B的正誤；根據(jù)奇函數(shù)及對稱性，整理可判錯C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期性，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為f(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，所以，又，令代入可得，故A正確；對于B：因為，所以圖象關(guān)于對稱，無法確定是否關(guān)于直線x＝1對稱，故B錯誤；對于C：因為為奇函數(shù)，所以，所以，則，故C正確；對于D：由C選項可得，的周期為8，所以，故D正確；故選：B7.一個表面被涂上紅色的棱長為ncm（n≥3，n∈N*）的立方體，將其適當(dāng)分割成棱長為1cm的小立方體，從中任取一塊，則恰好有兩個面是紅色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定共分割的塊數(shù)，以及滿足條件的塊數(shù)，再求概率.【詳解】由條件可知，共有塊，兩個面的交界處的中間部分是兩個面是紅色，每一個交界處有塊，共有12個交界，則兩個面是紅色的有塊，所以概率.故選：B8.在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為()A1 B.3 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)利用三角恒等變換和正余弦定理得到，再根據(jù)余弦定理和基本不等式可得cosB的范圍，由此得B的范圍，從而得到sinB的最大值，從而根據(jù)可求△ABC面積的最大值．【詳解】，，即，即，則，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a2，則．故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分．9.按先后順序拋三枚質(zhì)地均勻的硬幣，則（）A.第一枚正面朝上的概率是B.“第一枚正面朝上”與“三枚硬幣朝上的面相同”是相互獨立的C.“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣正面都朝上”是互斥的D.“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣反面都朝上”是對立的【答案】BD【解析】【分析】對A，根據(jù)單獨一枚硬幣正面朝上的概率判斷即可；對B，根據(jù)相互獨立事件公式判斷即可；對C，根據(jù)兩事件是否能同時發(fā)生判斷即可；對D，根據(jù)對立事件的定義判定即可；【詳解】對A，第一枚正面朝上的概率是，故A錯誤；對B，第一枚正面朝上的概率，三枚硬幣朝上的面相同的概率，又，因為，故“第一枚正面朝上”與“三枚硬幣朝上的面相同”是相互獨立的，故B正確；對C，“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣正面都朝上”可能同時發(fā)生，不是互斥的，故C錯誤；對D，“至少一枚正面朝上”與“三枚硬幣反面都朝上”是對立的，故D正確；故選：BD10.下列說法正確的是（）A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是B.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)D.甲、乙、丙三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9，則樣本容量為18【答案】ABD【解析】【分析】對于A：統(tǒng)計抽樣中每個個體被抽到的概率為樣本容量與總體容量的比值；對于B：將8個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，找到第70百分位數(shù)的位置，再利用第p百分位數(shù)的定義可得；對于C：易知本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均3，則C錯誤；對于D：根據(jù)甲種個體在樣本中的比例和被抽到的個數(shù)不難得到樣本容量.【詳解】對于A：統(tǒng)計抽樣中每個個體被抽到的概率為樣本容量與總體容量的比值，易知A正確；對于B：將8個數(shù)據(jù)按從小到大順序排列12,14,15,17,19,23,27,30，第70百分位數(shù)的位置為，則第70百分位數(shù)為第6個數(shù)23，則B正確；對于C：本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為3，所以C錯誤；對于D：根據(jù)統(tǒng)計知識可知甲種個體在樣本中所占比例，所以樣本容量為，則D正確.故選：ABD.11.已知向量，，函數(shù)，則（）A.若f(x)的最小正周期為π，則f(x)的圖象關(guān)于點對稱B.若f(x)的圖象關(guān)于直線稱，則ω可能為C.若f(x)在上單調(diào)遞增，則D.若f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象，則ω的最小值為【答案】BC【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的周期，對稱，單調(diào)性，以及圖象平移，即可判斷選項.【詳解】,A.若函數(shù)的最小正周期為，則，即，當(dāng)時，，此時，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故A錯誤；B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，，得，，所以的可能為，故B正確；C.當(dāng)時，，則，解得：，故C正確；D.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到，函數(shù)是偶函數(shù)，則當(dāng)時，，得，，且，所以的最小值是，故D錯誤.故選：BC12.如圖1所示，在邊長為4正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，將和分別沿AE，AF及EF所在的直線折起，使B，C，D三點重合于點P，得到三棱錐P－AEF如圖2所示），設(shè)M為底面AEF內(nèi)的動點，則（）A.PA⊥EFB.二面角P－EF－A的余弦值為C.直線PA與EM所成的角中最小角的余弦值為D.三棱錐P－AEF的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直可判斷線線垂直，故可判斷A,根據(jù)二面角的幾何求法即可求解，根據(jù)線面角是直線與平面內(nèi)的直線所成角的的最小角即可求解C，三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，根據(jù)長方體的外接球半徑即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，，，，平面，故平面，平面，故，故A正確；取為中點，又，所以又，故三角形為等腰三角形，連接，則，根據(jù)二面角的定義，顯然即為所求二面角，在三角形中，，，又，故，故二面角的余弦值為，則B錯誤；設(shè)點到平面的距離為，與平面所成的角為，由平面，,故，因此,因為平面,故是與平面內(nèi)的所有直線所成的最小的角，故，故C正確因為，，兩兩垂直，故三棱錐的外接球半徑和長寬高分別為2,2,4的長方體的外接球半徑相等，故其外接球半徑，故外接球表面積，故D正確故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差為18，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)公式，即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為，則數(shù)據(jù)3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差為，根據(jù)條件可知，得.故答案為：214.如圖，已知菱形的邊長為，，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知建立直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意可知，.設(shè),則，因為，所以，即，解得，，所以，所以.故答案為：.15.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊、，點在以為直徑的半圓上．已知以直角邊、為直徑的兩個半圓的面積之比為3，，則______．

【答案】【解析】【分析】由以直角邊、為直徑的兩個半圓的面積之比為3，可得，進而可得，從而利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】解：因為以直角邊、為直徑的兩個半圓的面積之比為3，所以，所以在直角三角形中，因為，所以，所以，故答案為：.16.有如下解法求棱長為的正四面體BDA1C1的體積：構(gòu)造一個棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，我們稱之為該正四面體的”生成正方體”（如圖一），正四面體BDA1C1的體積．一個對棱長都相等的四面體，通常稱之為等腰四面體，已知一個等腰四面體的對棱長分別，，（如圖二），則該四面體的體積為__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合“生成長方體”的特征，即可求解.【詳解】設(shè)等腰四面體的“生成長方體”的長，寬，高，分別是，由條件可知，，解得：，所以該四面體的體積.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別為棱AB，PC的中點，求證：

（1）MN//平面PAD．（2）MN⊥CD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，取PD的中點E，證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明，即證明平面PAD.【小問1詳解】取PD的中點E，連接．

因為E，N分別是的中點，所以且，又因為，M是AB中點，所以且，所以且，所以四邊形AMNE是平行四邊形，所以．因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問2詳解】因為平面ABCD，所以，又，且，所以平面PAD，平面，所以，又因為，所以．18.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并進行解答．問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，且______．（1）求角；（2）若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①：根據(jù)題意邊角轉(zhuǎn)化得：，再求解即可；若選②：根據(jù)題意邊角轉(zhuǎn)化得：，再求解即可；若選③：根據(jù)題意得：，即，即，再求解即可；（2）根據(jù)題意得：，即，再利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓半徑即可求解.【小問1詳解】若選①：在中，因，所以，即，由正弦定理可得，，又因為，，所以，，所以，則，若選②：在中，因，所以，由正弦定理可得，，所以，又因為，所以，所以，則，若選③：在中，因為，所以，所以，由正弦定理可得，，又因為，所以，所以，又，即，又，所以，所以，所以，又因為，所以，則，【小問2詳解】因為角的平分線為，又，所以，即，即，又，所以，所以，即，故外接圓的面積，19.北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約577秒后，神舟十四號載人飛船與火箭成功分離，進入預(yù)定軌道，順利將陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員送入太空，順利進入天和核心艙．為激發(fā)廣大學(xué)生努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識的熱情，某校團委舉行了一場名為”學(xué)習(xí)航天精神，致航空英雄”的航天航空科普知識競賽，滿分100分，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名同學(xué)得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）用分層抽樣的方法從得分在[60，70），[70，80），[80，90]這三組中選6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中隨機選取2名作為代表參加團委座談會，求這2名學(xué)生的得分不在同一組的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)頻率和為1，求，再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；（2）首先確定各組抽取的人數(shù)，再通過列舉的方法求古典概型的概率.【小問1詳解】根據(jù)題意知，解得，所以這100名同學(xué)得分的平均數(shù)是答：平均數(shù)是．【小問2詳解】由條件知從抽取3名，從中抽取2名，從抽取1名，分別記為，因此樣本空間可記為用A表示“這2名同學(xué)的得分不在同一組”，則A包含樣本點的個數(shù)為11，所以答：這2名同學(xué)的成績分別在各一名的概率是20.某產(chǎn)品在出廠前需要經(jīng)過質(zhì)檢，質(zhì)檢分為2個過程．第1個過程，將產(chǎn)品交給3位質(zhì)檢員分別進行檢驗，若3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為合格，則產(chǎn)品不需要進行第2個過程，可以出廠；若3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格，則產(chǎn)品視為不合格產(chǎn)品，不可以出廠；若只有1位或2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格，則需要進行第2個過程．第2個過程，將產(chǎn)品交給第4位和第5位質(zhì)檢員檢驗，若這2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為合格，則可以出廠，否則視為不合格產(chǎn)品，不可以出廠．設(shè)每位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概率均為，且每位質(zhì)檢員的檢驗結(jié)果相互獨立．（1）求產(chǎn)品需要進行第2個過程的概率；（2）求產(chǎn)品不可以出廠的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分在第1個過程中，1或2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格兩種情況討論，根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（2）首先求出在第1個過程中，3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格的概率，再求出產(chǎn)品需要進行第2個過程，在第2個過程中，產(chǎn)品不可以出廠的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：記事件A為“產(chǎn)品需要進行第2個過程”．在第1個過程中，1位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概率，在第1個過程中，2位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果為合格的概率，故．【小問2詳解】解：記事件B為“產(chǎn)品不可以出廠”．在第1個過程中，3位質(zhì)檢員檢驗結(jié)果均為不合格的概率，產(chǎn)品需要進行第2個過程，在第2個過程中，產(chǎn)品不可以出廠的概率，故．21.如圖，AB是圓O的直徑，C是圓上異于A，B一點，直線PC⊥平面ABC，AB＝PC＝4，AC＝2．（1）求點C到平面PAB的距離；（2）求二面角B－PA－C的正切值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系，以及等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離；（2）因為平面PAC，再根據(jù)垂直關(guān)系，構(gòu)造二面角的平面角，即可求得二面角的正切值.【小問1詳解】因為平面ABC，AC，平面PAC，所