第六章平面向量及其應(yīng)用章末總結(jié)提升課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第六章平面向量及其應(yīng)用章末總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一平面向量的線性運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算有平面向量及其坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算,以及平面向量的基本定理、共線定理,主要考查向量的線性運(yùn)算和根據(jù)線性運(yùn)算求參問題.2.通過向量的線性運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).D解析

∵AD⊥BC,AB=2,∠ABC=60°,規(guī)律方法

1.向量加法是由三角形法則定義的,要點(diǎn)是“首尾相接”,即2.向量減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算,是相反向量的作用.3.數(shù)乘運(yùn)算即通過實(shí)數(shù)與向量的乘積,實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換.專題二平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容,重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算,利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直,求兩向量的夾角,計(jì)算向量的長度等.2.通過向量的數(shù)量積運(yùn)算,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例2】

(1)(多選題)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),則下列說法正確的是(

)A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2C.向量a+b與a的夾角為30° D.向量a+b在a上的投影向量為2aBD規(guī)律方法

向量數(shù)量積的求解策略(1)利用數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解.在數(shù)量積運(yùn)算律中,有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述兩公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.(2)借助零向量.即借助“圍成一個(gè)封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進(jìn)行向量的移項(xiàng)以及平方等變形,求解數(shù)量積.(3)借助平行向量與垂直向量.即借助向量的分解,將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直關(guān)系或平行關(guān)系的向量數(shù)量積,借助a⊥b,則a·b=0等解決問題.(4)建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積.專題三平面向量的平行與垂直問題1.平行關(guān)系和垂直關(guān)系是平面幾何中兩條直線的兩種最重要的位置關(guān)系,借助向量的數(shù)量積和共線向量可以完美的解決,另外借助共線向量還可以解決三點(diǎn)共線問題.2.兩種位置關(guān)系的判斷可提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例3】

(1)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=

.

解析

∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得(2)設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).變式探究將本例(2)②中的,“平行”改為“垂直”,求實(shí)數(shù)k的值.規(guī)律方法

1.證明向量共線問題常用的方法(1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.(3)向量a與b共線?|a·b|=|a||b|.(4)向量a與b共線?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.2.證明平面向量垂直問題的常用方法a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).專題四利用正弦定理、余弦定理解三角形1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判斷三角形的形狀、求三角形的面積,以及余弦定理、正弦定理的簡單綜合應(yīng)用.2.借助解三角形,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例4】

[2023重慶沙坪壩模擬]已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=3,b+6cosB=2c.(1)求A;(2)M為△ABC內(nèi)一點(diǎn),AM的延長線交BC于點(diǎn)D,

,求△ABC的面積.

請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上,并解決問題.①△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在以M為圓心的圓上,且MD=;②△ABC的三條邊都與以M為圓心的圓相切,且AD=.解

(1)∵a=3,b+6cos

B=2c,由正弦定理得sin

B+2sin

Acos

B=2sin

C,又sin

C=sin(A+B),則sin

B+2sin

Acos

B=2sin(A+B),即sin

B=2cos

Asin

B,∵B∈(0,π),即sin

B≠0,規(guī)律方法

解三角形的一般方法(1)已知兩角和一邊,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a,b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a,b,c,可應(yīng)用余弦定理求A,B,C.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的長.專題五正弦定理、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用1.余弦定理和正弦定理在實(shí)際生活中,有著非常廣泛的應(yīng)用,常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題,關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖,將問題抽象為三角形的模型,然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn).2.將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形模型,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).【例5】

為了測量兩山頂M,N間的距離,飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測量.A,B,M,N四點(diǎn)在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖).飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案,包括:①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標(biāo)出);②用文字和公式寫出計(jì)算M,N間的距離的步驟.解

①需要測量的數(shù)據(jù)有:在點(diǎn)A觀測點(diǎn)M,N的俯角α1,β1,在點(diǎn)B觀測點(diǎn)M,N的俯角α2,β2;點(diǎn)A,B間的距離d(如圖所示).規(guī)律方法

解三角形實(shí)際應(yīng)用問題的步驟

變式訓(xùn)練4如圖,A,B是海面上位于東西方向相