專題12二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題(原卷版+解析)

專題12：二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【題型三】二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系及線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問(wèn)題【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問(wèn)題【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問(wèn)題【題型七】二次函數(shù)與代數(shù)或幾何綜合問(wèn)題二、最新?？碱}組練【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題【典例分析】1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【提分秘籍】對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相等關(guān)系問(wèn)題，解答時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，仔細(xì)研究圖形，分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，解題過(guò)程的一般步驟是：①弄清其取值范圍，畫出符合條件的圖形；②確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計(jì)算中一般由函數(shù)關(guān)系式設(shè)出圖形的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)并結(jié)合圖形作輔助線，畫出所求面積為定值的三角形；③過(guò)動(dòng)點(diǎn)作有關(guān)三角形的高或平行于y軸、x軸的輔助線，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線段長(zhǎng)度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關(guān)系的存在性.④對(duì)于面積的最值問(wèn)題選擇合適的自變量，建立面積關(guān)于自變量的函數(shù)，并求出自變量的取值范圍，用二次函數(shù)或一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決.【變式演練】1．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)求的面積最大值．2．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC周長(zhǎng)的最小值．【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線BC上方拋物線一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），作MN平行于y軸，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，若P為拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【提分秘籍】探究?jī)蓚€(gè)角相等的方法：①可轉(zhuǎn)換為滿足此三角形是等腰三角形時(shí)的點(diǎn)，一般是通過(guò)此動(dòng)點(diǎn)作已知兩點(diǎn)連線的中垂線，再通過(guò)三角形相似以及中垂線的性質(zhì)求出中垂線所在直線的解析式，最后通過(guò)直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)三角形相似，再通過(guò)三角形相似的性質(zhì)建立等式關(guān)系，再通過(guò)直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線BC及拋物線分別交于點(diǎn)D，E．連接．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O，B重合）當(dāng)時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)為軸下方拋物線上一點(diǎn)，為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為該拋物線對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型三】二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系及線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題【典例分析】1．如圖，已知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若線段上有一動(dòng)點(diǎn)不與、重合，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．求當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；【提分秘籍】探究平面直角坐標(biāo)系中線段的數(shù)量關(guān)系的方法：①先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)度，然后分析表示線段長(zhǎng)度的代數(shù)式，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系；②函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法：直線y=kx+b上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，kx+b);拋物線y=ax2+bx+c上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，ax2+bx+c)；雙曲線y=kx上的點(diǎn)的坐標(biāo)為y=（x，k③已知點(diǎn)A(x,y),B(m,n),若AB與x軸平行，則AB=|x-m|;若AB與y軸平行，則AB=|y-n|;若AB既不與x軸平行又不與y軸平行，則AB=（x?m④求線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)(或者求線段的最值時(shí)),可用三角形全等、相似或勾股定理等求線段的長(zhǎng)，然后直接判斷兩條線段是否相等或者利用求出的線段長(zhǎng)度進(jìn)一步計(jì)算得出其他的結(jié)論(或者利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求出線段的最值).【變式演練】1．如圖，在直角坐標(biāo)平面中，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個(gè)單位（），使點(diǎn)M落在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)E，P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E重合），過(guò)P作y軸的平行線交原拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和B點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和B點(diǎn)），軸，交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問(wèn)題【典例分析】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．當(dāng)a為何值時(shí)，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【提分秘籍】在解答直角三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的確定性，分情況討論.(2)找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).②當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).(3)計(jì)算：把圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形的各邊(表示線段時(shí)，還要注意代數(shù)式的符號(hào)),再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo).【變式演練】1．拋物線經(jīng)過(guò)A、、三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，是常數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，求的取值范圍．(3)若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分包括點(diǎn)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．①求的值；②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A、B，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【提分秘籍】解答三角形相似的問(wèn)題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，具體如下：①分情況討論，剔除不符合的情況：探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以確定出三種不同的對(duì)應(yīng)形式，根據(jù)題意或?qū)嶋H情況，剔除不符合的對(duì)應(yīng)形式；②設(shè)未知量，求邊長(zhǎng)：在這種情況下，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出所求三角形的邊長(zhǎng)；③建立關(guān)系式，并計(jì)算：由相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求tan∠ABD的值；(3)設(shè)線段BD與軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在軸上，且與相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)；；(2)連結(jié)，與相似嗎？說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，求的最大面積，并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，以B，C，P，M為頂點(diǎn)、為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【提分秘籍】對(duì)于特殊四邊形的探究問(wèn)題，也會(huì)以探究菱形、矩形、正方形來(lái)命題，解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算.若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；②以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；③若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論.探究菱形：①已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；②已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo).一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式.探究正方形：利用正方形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解.探究矩形：利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.【變式演練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．為第一象限的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍；(4)若點(diǎn)、分別為線段、上一點(diǎn)，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標(biāo)．2．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)D為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)F，H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)F，問(wèn)是否存在以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4，0)，另一交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．(1)求m的值及該拋物線的對(duì)稱軸；(2)若點(diǎn)P在直線AC上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P、點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（P與C不重合）．(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P（C點(diǎn)除外）使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，求的長(zhǎng)．2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)解析式；(2)如圖1，第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數(shù)圖象如圖2所示，若直線與新函數(shù)圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則的值為_(kāi)_____．3．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為B．(1)時(shí)，時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求拋物線與軸的另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)用含a，c的式子表示；(3)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與拋物線交于另一點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．4．（2023·河南許昌·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知L1：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求的解析式．(2)將向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求的解析式．(3)若點(diǎn)，，，在上，且，將上方拋物線沿翻折，翻折后得到一個(gè)新圖象．當(dāng)這個(gè)新圖象與過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線恰好只有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．6．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求的值．(3)點(diǎn)在線段上時(shí)，①連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；7．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綜合與探究．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)求證：．(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度沿著線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023·湖北黃岡·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且，與y軸交于點(diǎn)，其中是方程的兩個(gè)根．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在點(diǎn)F，使以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且是方程兩根（），拋物線頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P、M、O為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B、．(1)求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將沿直線BE翻折，如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的表達(dá)式．11．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．12．（2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模）如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)，設(shè)M是點(diǎn)C，D間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式：(2)當(dāng)m為何值時(shí)，面積S取得最大值？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖②，連接，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖所示拋物線與軸交于，A兩點(diǎn)，，其頂點(diǎn)與軸的距離是．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)頂點(diǎn)為，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的直線與拋物線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)當(dāng)與的面積之比為時(shí)，求的值．14．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，M是拋物線的頂點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱軸，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)已知P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D．若，的面積為S．①求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，在線段上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？如果存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖1，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)B，且與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和點(diǎn)C．(1)求直線和拋物線的解析式．(2)若點(diǎn)P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作軸，交直線BC于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在第（2）問(wèn)的條件下，直線CP上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接BQ，求的最小值．專題12：二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【題型三】二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系及線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問(wèn)題【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問(wèn)題【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問(wèn)題【題型七】二次函數(shù)與代數(shù)或幾何綜合問(wèn)題二、最新模考題組練【題型一】二次函數(shù)與圖像面積的數(shù)量關(guān)系及最值問(wèn)題【典例分析】1．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用函數(shù)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）先求出的面積，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)得到方程求出值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點(diǎn)，∴，二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴，∴設(shè)點(diǎn)，∴，即，∴解得：，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸交點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角形面積，求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】對(duì)于圖形的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相等關(guān)系問(wèn)題，解答時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，仔細(xì)研究圖形，分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)過(guò)程，解題過(guò)程的一般步驟是：①弄清其取值范圍，畫出符合條件的圖形；②確定其存在的情況有幾種，然后分別求解，在求解計(jì)算中一般由函數(shù)關(guān)系式設(shè)出圖形的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)并結(jié)合圖形作輔助線，畫出所求面積為定值的三角形；③過(guò)動(dòng)點(diǎn)作有關(guān)三角形的高或平行于y軸、x軸的輔助線，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線段長(zhǎng)度或面積的代數(shù)式，列方程求解，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定方程的解是否符合題意，從而證得面積等量關(guān)系的存在性.④對(duì)于面積的最值問(wèn)題選擇合適的自變量，建立面積關(guān)于自變量的函數(shù)，并求出自變量的取值范圍，用二次函數(shù)或一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決.【變式演練】1．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)求的面積最大值．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)(3)的面積最大值為【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令，可求出拋物線與軸的交點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于，設(shè)，則，用含的式子表示的面積，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式即可求出最大值．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得，，∴，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸交于，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為，∴的面積最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)特點(diǎn)及面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)觀察函數(shù)圖象，直接寫出當(dāng)x取何值時(shí)，？(3)設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)當(dāng)或時(shí)，；(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】（1）已知了拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)，而拋物線的解析式中也只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此可將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，也就得出了二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象即可解決問(wèn)題；（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，已知了B與A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，因此只需連接，直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)．可根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出直線的解析式，然后聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，∴，解得，∴所求拋物線的解析式為；（2）解：觀察函數(shù)圖象，當(dāng)或時(shí)，，故答案為或；（3）解：在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最?。唛L(zhǎng)為定值，∴要使的周長(zhǎng)最小，只需最小，∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)是，∴Q是直線與對(duì)稱軸直線的交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)B，C的直線的解析式，把代入，∴，∴，∴直線的解析式為，把代入上式，∴，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象的交點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．3．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最小，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，即，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，則，，周長(zhǎng)為，當(dāng)取得最小值時(shí)，周長(zhǎng)最小，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，由兩點(diǎn)之間的距離公式得：，則周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型二】二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)M為直線BC上方拋物線一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），作MN平行于y軸，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，若P為拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)M（，）(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式，即可求解；（2）先求出C（0，3），可得直線BC的解析式為y＝-x＋3，然后設(shè)M的坐標(biāo)（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，連接PC，先求出點(diǎn)P坐標(biāo)（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，從而得到△PBC為直角三角形，進(jìn)而得到tan∠PBC＝，然后設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），∴函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴C（0，3），設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝-x＋3，設(shè)M的坐標(biāo)（m，-m2＋2m＋3），則N（m，-m＋3），∴MN＝-m2＋2m＋3-（-m＋3）＝-m2＋3m＝-（m-）2＋，當(dāng)m＝時(shí)，MN的長(zhǎng)度最大，此時(shí)M（，）；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，連接PC，∵，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，4），∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3），∴PC＝，PB＝，BC＝，∴，∴△PBC為直角三角形，∴tan∠PBC＝，設(shè)點(diǎn)Q（x，﹣x2＋2x＋3），∵，則，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故點(diǎn)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】探究?jī)蓚€(gè)角相等的方法：①可轉(zhuǎn)換為滿足此三角形是等腰三角形時(shí)的點(diǎn)，一般是通過(guò)此動(dòng)點(diǎn)作已知兩點(diǎn)連線的中垂線，再通過(guò)三角形相似以及中垂線的性質(zhì)求出中垂線所在直線的解析式，最后通過(guò)直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)三角形相似，再通過(guò)三角形相似的性質(zhì)建立等式關(guān)系，再通過(guò)直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組求得動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與直線BC及拋物線分別交于點(diǎn)D，E．連接．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O，B重合）當(dāng)時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)2(3)）或．【分析】（1）將代入，即可求函數(shù)的解析式；（2）由題意可求，又由，可得，能求出點(diǎn)，即可求t的值；（3）由題意可得，從而能求出，再由，求出t即可求P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：代入，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：令，則，∴，∴，∴，∵軸，∴，∵，∴，∴，∴t的值為2；（3）解：存在點(diǎn)P，使，理由如下：設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，解得或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為）或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)為軸下方拋物線上一點(diǎn)，為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為該拋物線對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)P的坐標(biāo)為：或【分析】（1）把，代入，再建立方程組即可；（2）由拋物線為的對(duì)稱軸為直線，可得，當(dāng)時(shí)，則，則，可得，設(shè)，如圖，過(guò)作軸交拋物線于，交拋物線的對(duì)稱軸于，則，，，再建立方程求解可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線為．（2）拋物線為的對(duì)稱軸為直線，∴，當(dāng)時(shí)，則，則，∵，，∴，設(shè)，如圖，過(guò)作軸交拋物線于，交拋物線的對(duì)稱軸于，∴，，∴，∵，∴，解得：，（經(jīng)檢驗(yàn)：負(fù)根不符合題意舍去），∴，∴，由對(duì)稱性可得：也符合題意；綜上：P的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，利用銳角相等得到同名三角函數(shù)值相等建立方程是解本題的關(guān)鍵．【題型三】二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系及線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題【典例分析】1．如圖，已知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若線段上有一動(dòng)點(diǎn)不與、重合，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．求當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①先待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)M的坐標(biāo)為，則，進(jìn)而得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求得點(diǎn)的值，即可點(diǎn)M的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：將，代入，得，解得：，∴拋物線解析式為：，當(dāng)時(shí)，，即；（2）解：設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)M的坐標(biāo)為，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，線段最值問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】探究平面直角坐標(biāo)系中線段的數(shù)量關(guān)系的方法：①先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)度，然后分析表示線段長(zhǎng)度的代數(shù)式，得出線段之間的數(shù)量關(guān)系；②函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法：直線y=kx+b上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，kx+b);拋物線y=ax2+bx+c上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，ax2+bx+c)；雙曲線y=kx上的點(diǎn)的坐標(biāo)為y=（x，k③已知點(diǎn)A(x,y),B(m,n),若AB與x軸平行，則AB=|x-m|;若AB與y軸平行，則AB=|y-n|;若AB既不與x軸平行又不與y軸平行，則AB=（x?m④求線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)(或者求線段的最值時(shí)),可用三角形全等、相似或勾股定理等求線段的長(zhǎng)，然后直接判斷兩條線段是否相等或者利用求出的線段長(zhǎng)度進(jìn)一步計(jì)算得出其他的結(jié)論(或者利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求出線段的最值).【變式演練】1．如圖，在直角坐標(biāo)平面中，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖象上，將拋物線向上平移m個(gè)單位（），使點(diǎn)M落在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)E，P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E重合），過(guò)P作y軸的平行線交原拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）先求出A、B的坐標(biāo)，再把A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出在中，當(dāng)時(shí)，y的值即可得到答案；（3）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，設(shè)原拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作交于T，證明四邊形是平行四邊形，推出；再證明，推出此時(shí)不可能存在（當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)D下方時(shí)，同樣可證明不存在），則此時(shí)只有點(diǎn)T與點(diǎn)D重合，設(shè)，則，求出，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可知，解方程即可；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)符合題意．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，把代入中得：，∴，∴拋物線解析式為，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，則，解得或，∵點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的圖像上，∴，在中，當(dāng)時(shí)，，∵將拋物線向上平移m個(gè)單位（），使點(diǎn)M落在內(nèi)，∴；（3）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，設(shè)原拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作交于T，∵軸，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴此時(shí)不可能存在（當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)D下方時(shí)，同樣可證明不存在），則此時(shí)只有點(diǎn)T與點(diǎn)D重合，設(shè)，則，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可知，解得或（舍去），∴；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)符合題意，∴；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和B點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和B點(diǎn)），軸，交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）代入法求解及可；（2）結(jié)合（1）求出直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，即當(dāng)時(shí)，的最大值為．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得：，則，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）由（1）可知，對(duì)稱軸為：，令，解得，令，解得或，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：、、，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得：，故直線的表達(dá)式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，且，則，，∵，故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為；【點(diǎn)睛】本題考查了代入法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)有關(guān)的線段問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【題型四】二次函數(shù)與特殊三角形問(wèn)題【典例分析】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．當(dāng)a為何值時(shí)，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為64；(3)存在點(diǎn)M，使是以為直角邊的直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求出，再把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)H，連接，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，可得，再由的面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：對(duì)于，令，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為；將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)H，連接，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，∴，∴的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積存在最大值，最大值為64；（3）解：存在，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，此時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足分別為N，D，∵，∴，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)M在拋物線上，∴，解得或0（舍），∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，由①知，∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則，∴，∴，解得或8（舍），∴．綜上所述，存在點(diǎn)M，使是以為直角邊的直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】在解答直角三角形的存在性問(wèn)題時(shí)，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的確定性，分情況討論.(2)找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).②當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).(3)計(jì)算：把圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形的各邊(表示線段時(shí)，還要注意代數(shù)式的符號(hào)),再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo).【變式演練】1．拋物線經(jīng)過(guò)A、、三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況：，，討論即可．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)、，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：在y軸上存在點(diǎn)E，使為直角三角形，理由如下：∵拋物線的解析式為，∴，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，，當(dāng)時(shí)，有，∴，解得，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，

，解得，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，，解得或，∴此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．綜上所述，符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與特殊三角形，掌握待定系數(shù)法，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，是常數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，求的取值范圍．(3)若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分包括點(diǎn)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．①求的值；②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)①，；②或或【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖形及（1）可直接進(jìn)行求解；（3）①由題意可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，然后可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分類求解即可；②由①可得，過(guò)點(diǎn)作軸，，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，即，當(dāng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)直接求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得，∴．（2）解：由（1）可令，解得，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵拋物線開(kāi)口向上，∴根據(jù)圖象可知當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方．（3）解：①∵，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，∴，解得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為最低點(diǎn)，將代入得，∴，解得（舍），，∴或．②∵由①可得如圖所示，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，，則，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．當(dāng)，則，則到的距離為，∴或．綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)A、B，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)在x軸上存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分三種情況進(jìn)行討論：①時(shí)；②；③．【詳解】（1）解：對(duì)于直線，令，即，解得：，令，得，∴，，∵A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，∴．將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：存在．如圖2，由得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∵點(diǎn)P在x軸上，∴設(shè)．∵，∴由勾股定理，得：，，，分為三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，即，解得，，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，，即，解得，（不符合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的定義及兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型五】二次函數(shù)與相似三角形存在性問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求PA+PC長(zhǎng)；(3)已知點(diǎn)N（0，﹣1），在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PA+PC的長(zhǎng)為(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，可得C（0，3）．再設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）連接PA、PB、PC，根據(jù)軸對(duì)稱性可得PA＝PB．從而得到PA+PC＝PC+PB．進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．即可求解；（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸，可得點(diǎn)，再由點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴拋物線的解析式為y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．（2）解：如圖，連接PA、PB、PC，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P在直線l上，∴PA＝PB．∴PA+PC＝PC+PB．∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC+AP有最小值．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝．∴PA+PC的最小值＝．（3）解：存在，理由：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1．∵拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于M點(diǎn)．∴點(diǎn)，∵點(diǎn)N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．∴OM=ON=1，OB=OC=3，∴，∴∠CBM=∠MNO，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)N下方時(shí)，∠MNQ=135°，不符合題意，∴點(diǎn)Q在點(diǎn)N上方，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n）．則QN=n+1，∵以M、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似，∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，當(dāng)時(shí)，，如圖（2），∴，∴，解得：，∴點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，如圖（3），∴，∴，解得：，∴點(diǎn)，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】解答三角形相似的問(wèn)題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合的思想，具體如下：①分情況討論，剔除不符合的情況：探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以確定出三種不同的對(duì)應(yīng)形式，根據(jù)題意或?qū)嶋H情況，剔除不符合的對(duì)應(yīng)形式；②設(shè)未知量，求邊長(zhǎng)：在這種情況下，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出所求三角形的邊長(zhǎng)；③建立關(guān)系式，并計(jì)算：由相似三角形的性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).【變式演練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求tan∠ABD的值；(3)設(shè)線段BD與軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在軸上，且與相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），可得拋物線解析式為，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求解；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD為直角三角形，即可求解；（3）先求出直線BD的解析式，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，然后分兩種情況討論即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），∴，解得：，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的解析式為，把A（2，0），，代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為；（2）如圖，連接BD，AD，∵，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵A（2，0），，∴，∴，∴△ABD為直角三角形，∴；（3）設(shè)直線BD的解析式為，把點(diǎn)，代入得：，解得：，∴直線BD的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)△ABP∽△ABC時(shí)，∠ABC=∠APB，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則BQ=3，OQ=1，∵△ABP∽△ABC，∴∠ABD=∠BCQ，由（2）知，∴，∴，∴CQ=9，∴OC=OQ+CQ=10，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；當(dāng)△ABP∽△ABC時(shí)，∠APB=∠ACB，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)；；(2)連結(jié)，與相似嗎？說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)相似，理由見(jiàn)解析(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)求出b，c的值；（2）先求，，，再根據(jù)三角形相似的判定定理證明即可；（3）當(dāng)與相似時(shí)分兩種情況分別進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）把和點(diǎn)代入得∴，（2）；理由如下：∵，∴，，∴，，．∴．∴，在與中，，，∴；（3）∵，∴．∵，∴．∴．即：．∴當(dāng)與相似時(shí)，有兩種對(duì)應(yīng)情況．當(dāng)時(shí)，∴．∴．∴．當(dāng)時(shí)，∴．∴．∴．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或．【分析】（1）將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)，則，求得直線的解析式為，即可得到，根據(jù)三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分和兩種情況列式求解即可.【詳解】（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)，，，∴代入得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）設(shè)，則，設(shè)直線解析式為，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得，∴直線的解析式為，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；（3）存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：設(shè)，則，.∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，由（1）可得：，，∴，∴是等腰直角三角形，∴.∴當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，與為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，，即，解得：或（舍去），∴；②當(dāng)時(shí)，，即，解得：或（舍去），∴綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)系中面積的求法，其中第（3）小問(wèn)，要注意分類求解，避免遺漏．．【題型六】二次函數(shù)與特殊四邊形存在性問(wèn)題【典例分析】1．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上時(shí)，求的最大面積，并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，以B，C，P，M為頂點(diǎn)、為邊的四邊形能否是平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)的最大面積為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）(3)能，點(diǎn)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）求出直線的解析式，過(guò)點(diǎn)P作軸交于Q，設(shè)，則，根據(jù)求出函數(shù)關(guān)系式，即可得到答案；（3）先求出拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再分兩種情況，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分，建立方程求解，即可求出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）知，拋物線的解析式為，令，則，∴，設(shè)直線的解析式為，∵點(diǎn)，∴，∴，∴直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)P作軸交于Q，設(shè)，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）能是平行四邊形；由(1)知，拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)點(diǎn)，假設(shè)存在以B，C，P，M為頂點(diǎn)、為邊的四邊形是平行四邊形，①當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，∵點(diǎn)，∴，得，∴；①當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，∵點(diǎn)，∴，∴，∴，即：滿足條件的點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，坐標(biāo)系中三角形面積的求法，平行四邊形的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】對(duì)于特殊四邊形的探究問(wèn)題，也會(huì)以探究菱形、矩形、正方形來(lái)命題，解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算.若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已經(jīng)確定，則直接利用四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；②以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；③若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論.探究菱形：①已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；②已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo).一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式.探究正方形：利用正方形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解.探究矩形：利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解.【變式演練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．為第一象限的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍；(4)若點(diǎn)、分別為線段、上一點(diǎn)，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)面積的最大值為(3)(4)【分析】（1）設(shè)，將點(diǎn)，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）同（2）得出，證明，得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（4）設(shè)，，表示出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，，，，設(shè)，將點(diǎn)，代入，得：，解得：，；該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，在中，，，軸，，，，又，，，即，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，；（4）設(shè)，，，四邊形是菱形，，，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)D為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)F，H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的最大值；（3）先求出，得到，根據(jù)四邊形是矩形，得到，，則，由軸得到，，則，，同理可得，，則，得到，得到點(diǎn)H的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值是2；（3）解：過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)C，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，∴軸，∴，，∴，∴，∵，，

∴∴∴，∴,∴，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)F，問(wèn)是否存在以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）先根據(jù)求出，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即為3，由此即可得；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：①四邊形是矩形，②四邊形是矩形，先聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，即，把，代入得，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：，，，，，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即為3，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），則．（3）解：存在，求解如下：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，①當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則，∵直線的解析式為，∴設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)代入得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點(diǎn)，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，則，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（即為點(diǎn)，舍去），，四邊形是矩形，且，，，，解得，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，存在以、、、為頂點(diǎn)且以為邊的矩形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵4．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+m與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(4，0)，另一交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．(1)求m的值及該拋物線的對(duì)稱軸；(2)若點(diǎn)P在直線AC上，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P、點(diǎn)Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)m＝4，x=(2)存在，(4，5)或(，)【分析】（1）直接將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式即可求出m的值，寫出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的即可得二次函數(shù)對(duì)稱軸；（2）分AB是正方形的邊、AB是正方形的對(duì)角線兩種情況，通過(guò)畫圖，利用正方形性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把A（4，0）代入二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+m得：∴﹣16+12+m＝0，解得：m＝4，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x＝；（2）解：存在，理由如下：令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，解得x=4或x=-1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）①當(dāng)AB是正方形的邊時(shí)，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的正方形為ABP′Q′，∵A（4，0），AB＝5，∴點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（4，5）；②當(dāng)AB是正方形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的矩形為APBQ，∵AB、PQ是正方形對(duì)角線，∴線段AB和線段PQ互相垂直平分，∴點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，且到x軸的距離為，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣），故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，5）或（，﹣）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意正方形存在性問(wèn)題得分類求解，避免遺漏．1．（2023·湖北黃岡·校考二模）如圖，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（P與C不重合）．(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P（C點(diǎn)除外）使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)存在，(3)2【分析】（1）分別求出時(shí)，的值、以及時(shí)，的值即可得出答案；（2）先根據(jù)三角形的面積公式求出的值，再過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)可得，利用正切的定義求解即可得；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)正切的定義可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：拋物線開(kāi)口向上，，即，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得或，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：由（1）可知，，，，，，，，解得，，由題意可知，點(diǎn)只能在軸的上方，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，即，整理得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，不是所列方程的解，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)除外）使，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：，，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，解得，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和正切的定義是解題關(guān)鍵．2．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)解析式；(2)如圖1，第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值；(3)如圖2，將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數(shù)圖象如圖2所示，若直線與新函數(shù)圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將點(diǎn)，，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，直線的解析式為：，設(shè)，則，然后根據(jù)三角形面積公式得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出在時(shí)，函數(shù)解析式為，即，結(jié)合函數(shù)圖象，可知①當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)與只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，符合題意，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）將點(diǎn)，，代入得，解得：∴（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)，代入得，，解得：，∴直線的解析式為：，設(shè)，則，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∵，∴取得最大值時(shí)，面積取得最大值，∴面積的最大值為（3）解：由與軸交于，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為將該二次函數(shù)圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，∴在時(shí)，函數(shù)解析式為，即，依題意，直線與新函數(shù)圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，①當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，即，解得：，②當(dāng)與只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，∴有個(gè)相等實(shí)數(shù)根即，∴，解得：，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象確定方程的解，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為B．(1)時(shí)，時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求拋物線與軸的另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)用含a，c的式子表示；(3)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且與拋物線交于另一點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．（2）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得，利用兩根之積即可求出答案．（3）根據(jù)點(diǎn)和都在拋物線上可求出b的值，從而得到和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)可聯(lián)立方程求出函數(shù)解析式，即可求出答案．【詳解】（1）解：把，代入拋物線得：，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：把代入拋物線得：，∴，則拋物線，∵兩根之積，∴，∵，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）解：∵點(diǎn)在拋物線上，由（2）得：，∴，∵，∴，由拋物線可得頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得：，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，聯(lián)立①、②并求解得：、或、，∵，∴，，∴拋物線解析式為，如圖所示A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，∴當(dāng)時(shí)，的最小值是，無(wú)最大值，∴的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．4．（2023·河南許昌·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知L1：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求的解析式．(2)將向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求的解析式．(3)若點(diǎn)，，，在上，且，將上方拋物線沿翻折，翻折后得到一個(gè)新圖象．當(dāng)這個(gè)新圖象與過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線恰好只有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）利用平移的規(guī)律即可求得；（3）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)求出翻折后新圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，，解得，的解析式為；（2），將向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的解析式為，即；（3）點(diǎn)，，，，軸，所在直線為，拋物線，沿直線翻折后頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，當(dāng)時(shí)符合題意，解得，．當(dāng)時(shí)，符合題意，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)1(3)2【分析】（1）先求出A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)x軸上的兩點(diǎn)A、B與y軸交于點(diǎn)C，∴，∴可設(shè)拋物線解析式為，把代入中得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為1；（3）解：由（2）得當(dāng)最大時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，求二次函數(shù)解析式等等；靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求的值．(3)點(diǎn)在線段上時(shí)，①連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；【答案】(1)(2)(3)①E（2，5）；②m的值是或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得解；（2）先求得直線的解析式為，從而有，，根據(jù)為線段的中點(diǎn)時(shí)，得方程，解方程即可；（3）①設(shè)出，，列出與的函數(shù)關(guān)系式即可得解；②由，分當(dāng)為直角時(shí)與為直角時(shí)兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：把（，）、（，）代入得，解得∴（2）解：∵（，）、（，）∴直線的解析式為∵，則，∴，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則有即：解得（三點(diǎn)重合，舍去）或∴（3）解：①∵（，），∴∵，∴∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)（，）②∵，，∴由（）可知：（，）、、∵∴以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，分兩種情況討論：①當(dāng)為直角時(shí)，則∴，即：∴，即：解得：（舍去），②當(dāng)為直角時(shí)，則∴，即：∴，即：解得，（舍去）綜上所述，的值是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)與一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形以及解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）綜合與探究．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)求證：．(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度沿著線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)存在，或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”進(jìn)行證明；（3）分三種情況討論，分別根據(jù)利用平行線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)分別求解．【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，，∴，∵，∴；（3）∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)D，則，∵，∴，∴，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，則，∵，，∴，∴，即：，解得：，綜上，當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖北黃岡·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且，與y軸交于點(diǎn)，其中是方程的兩個(gè)根．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸是否存在點(diǎn)F，使以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)為