3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（六大題型）（解析版）

3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、能說(shuō)明本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)價(jià)值.2、能舉例說(shuō)明圓錐曲線在現(xiàn)實(shí)世界中的廣泛應(yīng)用.3、經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程,能說(shuō)出橢圓的定義,能推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.1、理解并掌握橢圓的定義.2、掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).3、會(huì)求簡(jiǎn)單的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形．【即學(xué)即練1】橢圓上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為．【答案】8【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，結(jié)合橢圓定義，可得.故答案為：8知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡(jiǎn)方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)（），為橢圓上任意一點(diǎn)，則有．（2）點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡(jiǎn)方程由可得，則得方程關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是．這里．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；（3）橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；（4）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)?，所以可以根?jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練2】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】依題意，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則，而橢圓半焦距，因此橢圓短半軸長(zhǎng)，所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題．【即學(xué)即練3】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.則軌跡的方程為；【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由已知得：圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓心，半徑，，經(jīng)分析可得，，則.由題意可知：，兩式相加得，，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)方程為，則，，，，，所以軌跡的方程為.故答案為：題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，P是橢圓上一點(diǎn)，，且C的短半軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓上一點(diǎn)M到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．4 B．6C．8 D．2【答案】B【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，不妨令，由，得.故選：B例3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點(diǎn)【答案】C【解析】因?yàn)椋?，知點(diǎn)C的軌跡是線段AB．故選：C.變式1．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離之和等于8；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【解析】（1）由已知得，因此．又因?yàn)?，所以，易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知得，又因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．從而有，解得或（舍去）．因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】由于點(diǎn)滿足，即點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.變式3．（2023·云南大理·高二鶴慶縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程.（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為由橢圓定義，故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）不妨設(shè)橢圓的方程為：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、故，解得即故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：變式4．（2023·廣東惠州·高二?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)，，曲線上的點(diǎn)到、的距離之和是12，則該曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】由條件可知，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：變式5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由題知：，①又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，②又，③聯(lián)立解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.題型二：橢圓方程的充要條件例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的條件．【答案】必要不充分【解析】當(dāng)時(shí)表示圓，當(dāng)且時(shí)表示橢圓，充分性不成立；當(dāng)為橢圓，則，可得且，必要性成立；綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分例5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是．【答案】答案不唯一【解析】方程表示橢圓,則必有解之得或故答案為：,（答案不唯一，其他等價(jià)情況也對(duì)）例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）平面內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A，B．設(shè)p：為定值，q：點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件【答案】B【解析】當(dāng)為定值時(shí)，若定值大于時(shí)，點(diǎn)M軌跡是橢圓，若定值等于，點(diǎn)M軌跡是線段，若定值小于，則軌跡不存在；當(dāng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓時(shí)，必為定值；所以，但，故p為q的必要不充分條件．故選：B變式6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B變式7．（2023·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）是方程為的曲線表示橢圓時(shí)的A．充分條件 B．必要條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【解析】表示橢圓需滿足，所以是方程為的曲線表示橢圓時(shí)的必要條件考點(diǎn)：1．橢圓方程；2．充分條件與必要條件變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）曲線與的關(guān)系是（

）A．有相等的焦距，相同的焦點(diǎn) B．有不等的焦距，相同的焦點(diǎn)C．有不等的焦距，不同的焦點(diǎn) D．有相等的焦距，不同的焦點(diǎn)【答案】D【解析】由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以兩橢圓有相等的焦距，不同的焦點(diǎn).故選：D.變式9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則【答案】C【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，D錯(cuò)誤，C正確；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形叫作焦點(diǎn)三角形，它們具有下面的性質(zhì).（1）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；（2）當(dāng)時(shí)，最大；（3）；【答案】.【解析】（1）由，得，故.（2），①，在中，由余弦定理得：，把①代入可得，②，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，取最小值時(shí)取最大值.故由以上可得，當(dāng)時(shí)，最大.（3）由②可得，③.，把③代入面積公式，即，故.故答案為：（1）；（2）；（3）.例8．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點(diǎn)為，一直線過(guò)交橢圓于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為；【答案】20【解析】由，得，得，因?yàn)閮牲c(diǎn)都在橢圓上，所以由橢圓的定義可得，，因?yàn)?，所以的周長(zhǎng)為，故答案為：20例9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)是．【答案】34【解析】因?yàn)椋?，故，則，又，故，則，，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：34.變式10．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.【答案】8【解析】由橢圓方程可得，又由圖可得的周長(zhǎng)為.故答案為：8變式11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若＝0，則△P的面積為．【答案】20【解析】因?yàn)椋?，所以⊥，所以△是直角三角形．由橢圓定義知||＋||＝6，①又，②由－②得，因?yàn)?，所?故答案為：20.變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)和為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積是.【答案】/【解析】橢圓，即，所以，，，因?yàn)椋渣c(diǎn)為短軸頂點(diǎn)，所以.故答案為：變式13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為橢圓上的一點(diǎn),和是其左右焦點(diǎn),若,則的面積為.【答案】【解析】設(shè),由橢圓定義在中,由余弦定理得.即所以,,所以故.由題知故答案為：變式14．（2023·河南開(kāi)封·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為.【答案】24【解析】由橢圓的方程可得：，，，，，且根據(jù)橢圓的定義可得：，，，則在中，，，故答案為：24.變式15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，則．【答案】/【解析】由橢圓方程得：，，，；設(shè)，由橢圓定義知：，，，即，解得：或；為橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，即，，；.故答案為：.變式16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為．【答案】4【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以有，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：4變式17．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且，則的值為．【答案】2【解析】，；，，設(shè)，，為橢圓上一點(diǎn)，①，，②，由①②得，．故答案為：2．變式18．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上一點(diǎn)，，則．【答案】或.【解析】由題意可得：，，在中由余弦定理可得：，所以有=，即，，，所以，整理得：，所以或，解得或，又因?yàn)?，所以?故答案為：或.【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即.題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題例10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最大值為，即，又，所以，由，所以；故選：A例11．（2023·江西宜春·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足且，則的最大值為（

）A． B． C．8 D．63【答案】B【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)M在以為圓心，1為半徑的圓上，又因?yàn)?，所以，PM為圓的切線，，所以當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，切線長(zhǎng)PM最大．當(dāng)點(diǎn)P與橢圓的左頂點(diǎn)重合時(shí)，最大，最大值為．此時(shí)的最大值為．故選：B．例12．（2023·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤魹闄E圓上的任意一點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】，，，即.所以的最大值為.故選：D變式19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D.變式20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以．故選：B．變式21．（2023·遼寧·高二期中）設(shè)是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，若的最小值是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，因?yàn)榈淖钚≈禐?，即的最小值為，由橢圓，可得，則，所以，所以，即，令，解得或（舍去），由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，的最小值為，即當(dāng)時(shí)，的最小值為，即，解得，所以.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問(wèn)題例13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點(diǎn)，在中可得：①，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，在中可得：②，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.例14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)橢圓的定義，得，所以，即所求取值范圍為．故選：A例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓方程是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若的最大值為，最小值為，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【解析】由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則，如圖：當(dāng)點(diǎn)P在位置M時(shí)，取到最大值，當(dāng)點(diǎn)P在位置N時(shí)，取到最小值，所以的取值范圍是，即，所以的最大值，最小值，所以.故選：C.變式22．（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓，得，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)是射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．故選：C..變式23．（2023·天津·高二統(tǒng)考期末）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，若P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號(hào)成立.故選：A變式24．（2023·吉林四平·高二四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，兩邊平方后化簡(jiǎn)得，，焦點(diǎn)分別是,的幾何意義是曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的差，如圖表示點(diǎn),根據(jù)橢圓定義可知，當(dāng)三點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí),所以的最小值是.故選：D變式25．（2023·山西·高二校聯(lián)考期中）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，M是橢圓C上任意一點(diǎn)，Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】C【解析】依題意可知，對(duì)于橢圓，，對(duì)于圓，圓心為，半徑，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義有，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與圓交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，其中，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，此時(shí)四點(diǎn)共線，且分別是線段與圓、橢圓的交點(diǎn).故選：C變式26．（2023·高二單元測(cè)試）點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A變式27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)和，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓，所以為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，??三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義．求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解．題型六：利用第一定義求解軌跡例16．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過(guò)點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.例17．（2023·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且，P是圓上任意一點(diǎn).線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡是（

）

A．面積為的圓 B．面積為的圓 C．離心率為的橢圓 D．離心率為的橢圓【答案】D【解析】連接，因?yàn)榫€段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距為2的橢圓，所以橢圓的離心率為，故選：D例18．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，所以該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和為12，而，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，又，，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.故選：C.變式28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.故選：A.變式29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為，所以，即，整理得，故選:C.變式30．（2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且在定圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為，動(dòng)圓的半徑為，則，因?yàn)閯?dòng)圓在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以,所以，即，因?yàn)椋?所以，由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故選：A變式31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在中，已知，若，且滿足，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，因?yàn)椋?，又，則，所以，即，由于，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓的左半部分，由，所以頂點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A.變式32．（2023·河南洛陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)動(dòng)點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，動(dòng)圓的半徑為，則，因?yàn)閯?dòng)圓在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以,所以，即，因?yàn)椋?所以,由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故選：A變式33．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？计谀┮阎闹荛L(zhǎng)為，，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵的周長(zhǎng)為，，∴，，∴頂點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓（不含軸上的頂點(diǎn)），又，，可得，∴頂點(diǎn)的軌跡方程為：．故選：D．變式34．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，,，則,．為線段的中點(diǎn)，，即，．又點(diǎn)在圓上，，即．故點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A變式35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：（圓心為），點(diǎn)，點(diǎn)Р在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓：的圓心，半徑.由于，所以在圓內(nèi)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，所以，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，且，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故選：C變式36．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故選：A．變式37．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)檩S，且，所以，又動(dòng)點(diǎn)在圓上，所以，化簡(jiǎn)，得，即點(diǎn)的軌跡方程為；故選B.變式38．（2023·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因直線AM，BM的斜率之積是，則有，整理為，顯然有，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.故選：A變式39．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）橢圓上有動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求的重心M的軌跡方程.【解析】設(shè)點(diǎn)P，M的坐標(biāo)分別為，，∵在已知橢圓的方程中，，，∴，則已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，.∵存在，∴.由三角形重心坐標(biāo)公式有即∵，∴.∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，∴，故的重心M的軌跡方程為.變式40．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡方程為．變式41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓與已知圓相內(nèi)切且過(guò)點(diǎn)，判斷圓心的軌跡．（2）已知是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，圓心為，半徑．因?yàn)閯?dòng)圓與已知圓相內(nèi)切且過(guò)點(diǎn)，所以，根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓．（2）設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以又點(diǎn)在橢圓上，所以，即．變式42．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【解析】設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，由得，即動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)，的距離之和等于定圓的半徑，∴動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，則，.∴的軌跡方程是．變式43．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，圓A：（x－1）2＋y2＝16，點(diǎn)B（－1，0），過(guò)B的直線l與圓A交于點(diǎn)C，D，過(guò)B作直線BE平行AC交AD于點(diǎn)E.求點(diǎn)E的軌跡τ的方程；【解析】如圖，因?yàn)?，所以＝，|AC|＝|AD|＝4，所以|EB|＝|ED|，所以|EB|＋|EA|＝|ED|＋|EA|＝|AD|＝4>|AB|＝2，所以E的軌跡是焦點(diǎn)為A，B，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，則2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)E不在x軸上，所以y≠0，所以點(diǎn)E的軌跡τ的方程為；【方法技巧與總結(jié)】常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.一、單選題1．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)，，所以，由于，，所以的取值范圍為.故選：A2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可設(shè)橢圓的方程為.又所求橢圓過(guò)點(diǎn)，所以將代入橢圓方程，得，解得（舍去）.故所求的橢圓方程為.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知曲線C：，則“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】將曲線C的方程化為，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：A.4．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知P為橢圓上的點(diǎn)，為其兩個(gè)焦點(diǎn)，則使的點(diǎn)P有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】D【解析】由已知可得，，，，所以，.設(shè)點(diǎn)，假設(shè)存在點(diǎn)使得，即，即，即有.聯(lián)立，可得，顯然無(wú)解.所以，假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在點(diǎn)使得，所以，使的點(diǎn)P有0個(gè).故選：D.5．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．13 B．11 C．9 D．8【答案】D【解析】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)椋傻?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)為和，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則（

）A．8 B．12 C．16 D．64【答案】A【解析】由題意得，，于是，即為△的外心，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)，于是，記，根據(jù)橢圓定義和勾股定理：，于是.故選：A7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（

）A．±3 B．±4 C．±5 D．【答案】B【解析】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相外切，所以，．故選：B．8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)的軌跡為圓：，圓心由于在圓，圓心，故兩圓有公共點(diǎn)即可，故兩圓的圓心距為，故.故選：D二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【解析】由得，不妨，，則，當(dāng)時(shí)，則①平方減去②得，∴，當(dāng)(或者)時(shí)，，令，則，解得，則，.故選：AB.10．（2023·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線，直線的方程為，交于兩點(diǎn)、，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的方程為B．的取值范圍是C．的最小值為8D．可能是直角三角形【答案】ABC【解析】對(duì)A，設(shè)，由題意可得，整理可得，所以A正確；對(duì)B，且圓心的坐標(biāo)，半徑，則圓心到直線的距離，要使有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，即，可得，所以B正確；對(duì)C，聯(lián)立，整理可得：，，即，，，，所以，當(dāng)滿足時(shí)，的值最小，最小值為8，所以C正確；對(duì)D，由的最小值為8，可知不可能為直角頂點(diǎn)，不妨設(shè)在的下方，可知不可能為直角頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)與的直線方程為，由圓心到直線的距離，解得，解得，，故不與垂直，不可能是直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的角平分線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，則（

）A．四邊形的周長(zhǎng)為8B．的最小值為C．直線的斜率之積為D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】連接,,由橢圓的對(duì)稱性可知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，所以，對(duì)于A,四邊形的周長(zhǎng)為,故A正確，對(duì)于B,由于，所以,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，不妨設(shè)為第一象限，，則所以，故C正確，對(duì)于D，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，故直線的方程為，令，，由于是角平分線，所以由等面積法可得,假若，則，則解得或，由于，故舍去，此時(shí)，由于，所以，將其代入，故D錯(cuò)誤，故選：AC12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的面積的最大值為B．以線段為直徑的圓與直線相切C．恒成立D．若，，為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】對(duì)A，，則，由圖得，顯然當(dāng)點(diǎn)位于橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，的面積的最大值，最大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故B正確；對(duì)C，設(shè)，則，且，則，，，則，故C正確；對(duì)D，由C選項(xiàng)知，則，則，若，令，則有，解得，同理若，令，則有，解得，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．（2023·浙江臺(tái)州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，而,故的最小值為，故答案為：14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【解析】方法一：由題意得.因此所求橢